PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 2017 MÔN TOÁN 6 Bài 1 (4,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức 2) Tìm số tự nhiên biết Bài 2 (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 MÔN TOÁN 6
Bài 1 (4,0 điểm)
1) Tính giá trị biểu thức
1 3 5 19
21 23 25 39
2) Tìm số tự nhiên ,x biết:
18 0
5 5 5x x x 1000 0 : 2
chu so
Bài 2 (4,0 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì UCLN21n4;14n3 1
2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2 p cũng là số 1
nguyên tố thì 4p là hợp số1
Bài 3 (4,0 điểm)
1) Chứng minh rằng số viết bởi 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27
2) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết rằng n là số chính phương và n là bội
của 147
Bài 4 (6,0 điểm)
1) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB OC sao cho,
AOB AOC Gọi OM là tia phân giác của BOC
a) Tính ^AOM
b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM Chứng minh rằng OA là tia phân giác của góc CON
2) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox Ox Ox1, 2, 3, ,Ox n sao cho
góc xOx2 2xOx xOx1; 3 3xOx xOx; 4 4xOx1; ;xOx n nxOx1 Tìm số n nhỏ nhất để trong các tia đã vẽ có một tia là tia phân giác chung của 2017 góc
Bài 5 (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều tối giản.
Trang 2ĐÁP ÁN Bài 1.
a) Ta có:
1 3 5 19 1 19 3 17 9 11 20 20 20 100
21 23 25 39 21 39 23 27 29 31 60 60 60 300
100 1
300 3
A
b) Ta có:
18 0
1 2 18 18 3 3 18
5 5 5 1 000 0 : 2
x x x
chu so
Vậy x 5
Bài 2.
a) Gọi d là UCLN 21n4;14n3 21n 4 d và 14n 3 d
2 21n 4 d
và 14n 3 d
2 21n 4 d
và 3 14 n3 d
3 14n 3 2 21n 4 d 1 d d 1
Vậy UCLN21n4;14n3 1
b) Vì p là số nguyên tố, p 3 4 p không chia hết cho 3
Ta có 4p 2 2 2 p1
Theo bài ra p 3 2p và là số nguyên tố 21 7 p không chia hết cho 3 1 Suy ra 4p không chia hết cho 3.2
Mà 4 ;4p p1;4p là ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 3, 2
do đó 4p chia hết cho 3.1
Vì 4p 1 13 nên 4p là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.1
Suy ra 4p là hợp số.1
Bài 3.
Trang 3a) Trước hết ta chứng minh số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27
Thật vậy: 27 1 9 / 1 8 / 0 8 / 0
111 11 11 1 1000 01000 01
c so
Mà 9 / 1
11 1 9
c so
và 8 / 0 8 / 0 27 / 1
1000 01000 01 3 111 1 27
c so c so c so
Từ đó suy ra nếu một số viết bởi 27 chữ số a thì số đó bằng 27 / 1
.111 1
c so
a
nên số đó chia hết cho 27
b) Vì n là số tự nhiên có 4 chữ số nên 1000 n 9999
Theo bài ra n là bội của 147 nên n147k 7 32 k
Do n là số chính phương nên khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì lũy thừa các
thừa số nguyên tố phải có số mũ chẵn k3 k 3m n7 3 2 2m441m
1000 441m 9999 2 m 22
Để n là số chính phương thì m là số chính phương m4;9;16
Suy ra các số tự nhiên cần tìm là : 1764;3969;7056
Bài 4.
O
A N
a) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có AOC AOB (800 120 )0
Tia OC nằm giữa hai tia OA và OB
Trang 4Vì OM là tia phân giác của
0
0
40
20
2 2
BOC
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OB có BOM BOA200 1200
nên tia OM nằm giữa hai tia OA và OB
hay 200 MOA1200 MOA1000
b) Vì OM ON là hai tia đối nhau nên hai góc AOM và AON là hai góc kề bù,
Suy ra AOCAON800 (1)
Vì hai tia OM và ON nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là tia OA nên tia
OA nằm giữa hai tia OM và ON (2)
Từ (1) và (2) suy ra tia OA là tia phân giác của CON
c) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox Ox Ox1, 2, 3, ,Ox n sao cho
2 2 1; 3 3 1; 4 4 1; ; n 1
1 1 2 2 3 n 1 n
Vậy khi n nhỏ nhất là n 2017.2 4034 thì lúc đó Ox2017 là tia phân giác chung của 2017 góc: xOx4034 x Ox1 4033 x Ox2 4032 x2016Ox2018
Bài 5.
Các phân số đã cho đều có dạng 2
a
a n , vì các phân số này đều tối giản nên 2
n và a phải là hai số nguyên tố cùng nhau.
Như vậy n phải là số nguyên tố cùng nhau với lần lượt các số 7;8;9; ;100 và2
2
n phải là số nhỏ nhất.