089 đề HSG toán 8 bình dương 2013 2014

2,5 điểm Cho tam giác ABC Từ điểm M thuộc cạnh AC kẻ các đường thẳng song song với.. các cạnh AB và BC cắt BC tại E và AB tại F.. Hãy xác định vị trí của M trên AC sao cho hình bình hành

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BÌNH DƯƠNG

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI TOÁN TUỔI THƠ TOÀN QUỐC Năm học : 2013-2014

MÔN: TOÁN Câu 1 (2,5 điểm)

Cho

1 1 1

0

a b c   với , ,a b c  và 0

2 2 2 2 2 2

M

Chứng minh rằng: M 3abc

Câu 2 (2,5 điểm)

a) Chứng minh rằng x23   1 x x2 x3với mọi giá trị x

b) Giải phương trình tìm nghiệm nguyên: 1 x x  2 x3 y3

Câu 3 (2,5 điểm)

Cho biểu thức 3 2

3 3

1

x A





  

a) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên

b) Tìm giá trị lớn nhất của A

Câu 4 (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC Từ điểm M thuộc cạnh AC kẻ các đường thẳng song song với.

các cạnh AB và BC cắt BC tại E và AB tại F Hãy xác định vị trí của M trên AC sao cho hình bình hành BEMF có diện tích lớn nhất

ĐÁP ÁN Câu 1.

Đặt

a  b  c  thì x y z  0

Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  3 3 3

b c c a a b

M a b c a b c x y z

a b c a b c

Từ : x y z   0 x y  z x3 y3 3xy x y     z3

3 3

x y xyz z

x y z xyz

Vậy

2 2 2 2 2 2 1 1 1

a b c

Câu 2.

2

10 20

suy ra x23   1 x x2 x3

b) Ta nhận thấy

2

      

  với mọi x

Nên x3   1 x x2 x3 y3

Theo câu a): x23   1 x x2 x3

Suy ra : x3  y3x23

0

x

y x x x x x x x

x







  



   



Vậy phương trình có các nghiệm nguyên 1;0 ; 0;1  

Câu 3.

Ta có:

 

x x





Muốn A nhận giá trị nguyên thì x  phải là ước của 3 Mà Ư(3)=2 1  1; 3

- Nếu x2   1 1 x thì 0 A 3

- Nếu

1 3

x  

 thì không có giá trị x thỏa mãn

- Nếu x2   1 3 x2  2 x 2 thì A 1

Vậy tập hợp các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên là  2;0; 2

b)

2

3

1

A

x



 nhận giá trị lớn nhất khi x  nhận giá trị nhỏ nhất 2 1

Mà x2   1 1 x2 1 1 min Khi đó A 3.

Vậy Amax  3 x0

Câu 4.

y x

H

I F

E

A

M

Ta có tứ giác BEMF là hình bình hành Kẻ AH BC AH, cắt MF tại I

AI MF Gọi 'S là diện tích hình bình hành BEMF và S là diện tích tam giác ABC

S IH MFvà

1 2

Ta có:

 

1 2

Đặt AM x MC, y

BC  AC x y AH AC x y

Thay vào (1) ta có:  2

2

S  x y x y   x y

Vì ,x y là hai số không âm nên ta có: x y 2 xy  x y 2 4xy

 2

'



Dấu " " xảy ra khi x y ,tức là khi M là trung điểm cạnh AC thì diện tích hình bình hành BEMF đạt giá trị lớn nhất là

1

2Skhông đổi