053 đề HSG toán 8 củ chi 2018 2019

Gọi M là một điểm di động trên AC.. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O.

TRƯỜNG THCS

CỦ CHI

ĐỀ THI OYMPIC TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1 (6 điểm)

x  x  x  x  x  x  b) Cho , ,a b c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

3

A

b c a a c b a b c

Câu 2 (5 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9

b) Tìm các số nguyên n để n  chia hết cho 5 1 n 3 1

Câu 3 (3 điểm)

a) Cho 3 số dương , ,a b c có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:

1 1 1

9

a b c  

b) Cho ,a b dương và a2000 b2000 a2001b2001 a2002 b2002

Tính a2011b2011

Câu 4 (6 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là một điểm di động trên AC Từ C

vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O Chứng

minh rằng:

a OA OB OC OH

b) OHA có số đo không đổi

c) Tổng BM BH CM CA.  . không đổi

ĐÁP ÁN Câu 1

a) ĐKXĐ: x4;x5;x6;x7

Phương trình trở thành:

13

2

x

x





 b) Đặt b c a x   0; c a b y   0; a b c z   0

a  b  c  Thay vào ta được:

1

A

2

A   

hay A 3 a b c 

Câu 2

a) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a b chia hết cho 3

Ta có: a3 b3 a b a   2  ab b 2 a b   a b 2 3ab

Vì a b chia hết cho 3 nên a b 2 3abchia hết cho 3

Do vậy, a b   a b 2  3ab

b)

2 2

2

n n n n









Hay

2

n n



Xét hai trường hợp:

1

n

n





         



Câu 3.

a.Từ

1 1 1

1 1

b c

a c

a b c

a b

















1 1 1

Dấu “=” xảy ra

1 3

a b c

b) a2001b2001 a b   a2000 b2000ab a 2002 b2002

 

1

1

1

a b ab

a

b







Với

2000 2001 1( ) 1

0( )







Với

2000 2001 1( ) 1

0( )







Vậy a 1;b  1 a2011b2011 2

Câu 4.

K

O

H A

B

C M

a) BOH COA g g  OB OH OA OB OH OC

OC OA

OHA OBC

c) Vẽ MK BC BKM; BHC g g( )

BM BK

BM BH BK BC

BC BH

CB CA

Cộng từng vế của (3) và (4) ta có: