043 đề hsg toán 8 tân uyên 22 23

ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 8 – TÂN UYÊN NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị lớn nhất của Bài 2 (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử b) Tìm các số[.]

ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 8 – TÂN UYÊN

NĂM HỌC 2022-2023

Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức

   

.

A

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử : 3x3 7x2 17x 5

b) Tìm các số tự nhiên kđể 2k 2 4 2 7

  là một số chính phương c) Cho đa thức f x ax3bx2cx d Tìm a b c d, , , biết rằng khi chia đa thức

 

f x lần lượt cho x1 , x 2 , x 3đều có số dư là 6 và tại x 1thì đa thức đó nhận giá trị bằng  18

Bài 3 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình 4x2 4x 5 2x1 5 0 

b) Cho các số a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c   0 Chứng minh rằng :

Bài 4 (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC.Trong nửa mặt phẳng bở ABchứa C dựng hình vuông AMHN Qua M dựng đường thẳng

dsong song với AB AH, cắt dở E, cắt DCở F

a) Chứng minh rằng BM ND

b) Chứng minh rằng N D C, , thẳng hàng

c) EMFN là hình gì

d) Chứng minh DF BM FM và chu vi tam giác MFCkhông đổi khi M thay đổi vị trí trên BC

Bài 5 (2,0 điểm ) Cho x y, là các số thực không âm thỏa mãn x2y2  x y.Tìm giá

trị lớn nhất của biểu thức 1 1

M

ĐÁP ÁN

Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức

   

.

A

c) Rút gọn biểu thức A

ĐKXĐ: x1,x2,x3

   

           

   

 

2

4 2

.

.

A

x



d) Tìm giá trị lớn nhất của A

Với x  0 A 0

Với

2 2

2 0

1 1

x x

  

 

Ta có

2 2

1 2

x x

với mọi x thỏa mãn điều kiện

1 3

x

Bài 2 (4,0 điểm)

d) Phân tích đa thức thành nhân tử : 3x3 7x2 17x 5

3 1 2 3 1 5 3 1 3 1 2 5

e) Tìm các số tự nhiên kđể 2k 2 4 2 7

  là một số chính phương

Ta có 24 16, 27 128 2427 144 12 2

Để 2k 2 4 2 7

  là một số chính phương thì với q  

2 2

2k 12 q 2k q 12 q 12

Đặt q12 2 , m q12 2 nvới m n k q  ; 12 q 12 n m

12 12 2n 2m 2n 2m 24

2 2m n m 1 24 8.3

Vì 2n m 1

 là số lẻ nên 2m   8 2 3  m 3

Suy ra 2n m 1 3 2n m 4 22 2 5

Vậy k   3 5 8là giá trị cần tìm

f) Cho đa thức f x  ax3bx2cx d Tìm a b c d, , , biết rằng khi chia đa thức f x lần lượt cho x1 , x 2 , x 3đều có số dư là 6 và tại x 1thì

đa thức đó nhận giá trị bằng 18

Vì f x chia cho các đa thức x1 , x 2 , x 3 đều có số dư là 6 nên ta có

 

 

 

3 6

a b c d f





Lại có tại x 1thì f x có giá trị bằng  18nên a b c d    18

      

Thử lại ta thấy f x thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Vậy a1,b6,c11,d 0là giá trị cần tìm

Bài 3 (4,0 điểm)

c) Giải phương trình 4x2 4x 5 2x1 5 0 

2

2

2

4 4 5 2 1 5 0

4 4 1 5 2 1 6 0

2 1 5 2 1 6 0 1

    

Đặt t2x1 ,t0 Khi đó phương trình (1) trở thành :

2

1( )

7

6 2 1 6

2

t ktm

x

x

x















Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

7 5

;

2 2

S  

d) Cho các số a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c   0 Chứng minh rằng :

2 a b c  5abc a b c

Có a b c    0 a b c Khi đó a b 3 c3

 

3 3 3

3

3

a b c ab a b abc

a b c a b c abc a b c

a b c a b c b a c c b a abc a b c

Mà a b  c a b 2 c2  a2b2 c2 2ab

Chứng minh tương tự, ta có : b2c2 a2 2 ;bc a2c2 b2 2ac Nên :

a b c a a bc b b ac c c ab abc a b c

a b c abc a b c abc a b c

a b c abc a b c

Bài 4 (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC.

Trong nửa mặt phẳng bở ABchứa C dựng hình vuông AMHN Qua M dựng đường thẳng dsong song với AB AH, cắt dở E, cắt DCở F

F E

H N

C

D A

e) Chứng minh rằng BM ND

Xét ABM và ADNcó : AB AD (vì ABCDlà hình vuông)

BAM DAN

  (cùng phụ với MAD);AM AN (vì AMHN là hình vuông)

( )

f) Chứng minh rằng N D C, , thẳng hàng

Vì ABM ADNnên ABM ADN

Mà ABM  90  nên ADN  90   ADDN, mà ADDC

Vậy N D C, , thẳng hàng

g) EMFN là hình gì

Vì AM / /HN MAEFHN

Có ABM ADNnên BAM DAN

Mà FNH DAN (cùng phụ với AND))

  (hai góc so le trong do AB EM/ / )  AMEFNH

Xét AEM và HFN có :

,

   (AMHN là hình vuông), MAEFHN

( )

Xét tứ giác EMFN có : EM / /FN (cùng // AB), EM=FN

Suy ra tứ giác EMFNlà hình bình hành

h) Chứng minh DF BM FMvà chu vi tam giác MFCkhông đổi khi M thay đổi vị trí trên BC

Có BM ND DF BM DF ND FN  FM EMFN là hình thoi)

Chu vi MFC MF MC CF MB MC CF DF        2BC(không đổi)

Vậy chu vi tam giác MFCkhông đổi khi M thay đổi vị trí trên BC

Bài 5 (2,0 điểm ) Cho x y, là các số thực không âm thỏa mãn x2y2  x y.Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1

M

Ta có :  

 2

0

2

x y

x y   x y  

, mà x2 y2  x ynên

 2 2

x y

x y  

Đặt t x y t   0do x y, 0  t2 2t t t  2 0

Mà t  0 t 2 0   t 2 x y 2 Ta có :

1 1 1 1

M

Vì x y,  0 x 1 0;y 1 0ta có :

x  y x y     x y      