136 đề hsg toán 8 than uyên 22 23

Lấy M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BCM khác B, C.. Tia AMcắt đường thẳng CDtại N.. Tia AM cắt đường thẳng CD tại N.. Trên cạnh ABlấy điểm E sao cho BE CM.. Chứng minh rằng a OEM vuông cân

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THAN UYÊN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022-2023

MÔN TOÁN LỚP 8

Bài 1 (4 điểm) Cho biểu thức

2

Q

a) Rút gọn biểu thức Q

b) Tính giá trị của Q khi biết x y, thỏa mãn 4x29y2 4x6y 2 0

Bài 2 (5 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:A4x5 x6 x10 x12 3x2

b) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn : x24x y 2 1

c) Đa thức f x chia cho x 1dư 4 chia cho x 2 1dư 2x 3.Tìm phần dư khi chia

 

f x

cho x1 x21

Bài 3 (3,0 điểm)

a) Giải phương trình :

241 220 195 166

10

b) Cho a3b3c3  3abcvà abc 0

Tính giá trị biểu thức 1 1 1

M

     

        

     

Bài 4 (6,0 điểm)

4.1) Cho hình vuông ABCD AB a   Có ACcắt BDtại O Lấy M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC(M khác B, C) Tia AMcắt đường thẳng CDtại N Tia AM cắt đường thẳng CD tại N Trên cạnh ABlấy điểm E sao cho BE CM Chứng minh rằng

a) OEM vuông cân

b) ME BN/ /

c) Xác định vị trí điểm M trên BC để diện tích tam giác MOEnhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

4.2) Cho điểm O thuộc miền trong tam giác ABC.Các tia AO BO CO, , cắt các cạnh của tam giác ABCtheo thứ tự là D E K, , Chứng minh rằng :

2

OA OB OC

Bài 5 (2 điểm) Cho a b , 0và a b 1 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 2

P

 

ĐÁP ÁN Bài 1 (4 điểm) Cho biểu thức

2

Q

c) Rút gọn biểu thức Q

2 2 2

2

4

x y x x y x

x y x x y

 

d) Tính giá trị của Q khi biết x y, thỏa mãn 4x29y2 4x6y 2 0

Ta có :

4x 9y  4x6y  2 0 2x1  3y1 0 1

Vì

2

2

1

1

1

3 1 0

3

x

Q y





 



 



Bài 2 (5 điểm)

d) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:A4x5 x6 x10 x12 3x2

Đặt x216x60t

2t x 2x 2t x 2x 2t x 2t 3x 2x2 31x 120 2  x2 35x 120

Vậy A2x2  31x 120 2  x2  35x 120

e) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn : x24x y 2 1

Ta có :

Vì x y, nguyên do đó x 2 y x,  2 ythuộc tập hợp các ước của 5

2 1 2 4 6 1 2 5 2 4 6 1







f) Đa thức f x chia cho x 1dư 4 chia cho x 2 1dư 2x 3.Tìm phần dư khi chia

 

f x cho x1 x21

Ta có f x   x1  A x 4 1 ; f x x2  1B x  2x 3 2 

f x  x x  C x ax bx c

       

Từ (1) và (2) suy ra  

2 5 3

b

c a







 

 Cho x 1  1  f x 4

Từ  3  f 1  a b c  a b c   4 a c 6 6 

Từ (5) và (6) suy ra

,

Vậy khi chia f x cho x 1 x2  1

dư

2

2

2x  x2

Bài 3 (3,0 điểm)

c) Giải phương trình :

241 220 195 166

10

241 220 195 166

10

258 258 258 258

0

         

d) Cho a3b3c3 3abcvà abc 0

Tính giá trị biểu thức 1 1 1

M

     

        

     

   

3

2 2 2

0

0

a b c ab a b c a b c c a b a b c ab a b c

a b c a b c ac bc ab a b c a b c ab bc ca

a b c

a b c ab bc ca

  



 



Th a b c a b c b c a a c b

         

                 

                     

                 

2 2 2

8

a b c M

Bài 4 (6,0 điểm)

4.1) Cho hình vuông ABCD AB a   Có ACcắt BDtại O Lấy Mlà điểm bất kỳ thuộc cạnh BC(M khác B, C) Tia AM cắt đường thẳng CDtại N Tia AM cắt đường thẳng CDtại N Trên cạnh ABlấy điểm E sao cho BE CM Chứng minh rằng

2 3 1

1

1

K E

N

O

C

B A

D

M

a) OEM vuông cân

Vì ABCDlà hình vuông nên ta có

OB OC EB MC  B C    OEBOMC c g c  OE OM ,O1O3

Lại có O2 O3BOC90(vì ABCDlà hình vuông)

      Kết hợp với OE OM  OEM vuông cân tại O

b) ME BN/ /

Từ gt ABCDlà hình vuông nên ta có : AB CD và AB CD/ /

(Định lý Talet) (1)

Mà BE CM gt   và AB CD  AE BM Thay vào (1) ta có :

/ /

ME BN

 (Định lý Talet đảo)

c) Xác định vị trí điểm M trên BC để diện tích tam giác MOEnhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Kẻ

.

OEM

Dấu bằng xảy ra khi M trùng với trung điểm K của cạnh BC, khi đó diện tích tam giác

OMEcó giá trị nhỏ nhất là

2 2 min

1

a

S  OK 

4.2) Cho điểm O thuộc miền trong tam giác ABC.Các tia AO BO CO, , cắt các cạnh của tam giác ABCtheo thứ tự là D E K, , Chứng minh rằng :

2

OA OB OC

S 3

S 2

S 1

K

E

D

A

O

Gọi S là diện tích ABC S S S, 1, ,2 3theo thứ tự là diện tích OBC OAC OAB, , như hình vẽ

Ta có :

 

2

1

1

ODC ODB

S

OA



 

1 2

ODC ODB ODC ODB

ADC ADB ADC ADB

OD





Từ (1) và (2) suy ra

2 3

OA





Do đó

Bài 5 (2 điểm) Cho a b , 0và a b 1 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 2

P

 

Vì a b , 0và a b 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si , ta có :

1 26 3

1

2

ab

 



 

 

Áp dụng bất đẳng thức Swatch, ta có :

 

2

1

1 a b 2ab 1 a b 2ab 1 a b 1 1 9



Dấu bằng xảy ra khi

1 4

a b 