031 đề HSG toán 8 bắc ninh 2018 2019

phẳng bờ AB chứa C, dựng hình vuông AMHN Qua.. M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH tại E.Đường thẳng AH cắt DC tại F.. a Chứng minh rằng BM ND.. 3 Chứng minh rằng có ít nhấ

UBND TỈNH BẮC NINH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÈ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC: 2018-2019 Môn thi: Toán – Lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể giao đề)

Câu 1 (2,0 điểm)

Cho ba số a b c khác nhau đôi một và khác 0, đồng thời thỏa mãn diều kiện , ,

a b b c c a

Tính giá trị của biểu thức: A 1 a 1 b 1 c

Câu 2 (4,0 điểm)

1) Giải phương trình:

 2 2

2

x  x  x 

2) Cho hai đa thức P x( )x5 5x3 4x1,   2

Q x  x  x Gọi x x x1, 2, 3,x x4, 5là các nghiệm của P x Tính giá trị của   Q x Q x         1 2 Q x3 Q x4 Q x 5

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n22là ước số của 6

206

n 

2) Cho a b c là các số nguyên khác 0, , , acsao cho

a b a

b c c





 Chứng minh rằng

a b c không phải là số nguyên tố

Câu 4 (7,0 điểm)

1) Cho hình vuông ABCD , gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C, dựng hình vuông AMHN Qua M dựng đường thẳng d

song song với AB, d cắt AH tại E.Đường thẳng AH cắt DC tại F

a) Chứng minh rằng BM ND

b) Tứ giác EMFN là hình gì

c) Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi trên BC

2) Cho tam giác ABC có BAC 90 ,0 ABC20 0 Các điểm E và F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho ABE 100và ACF 30 0 Tính CFE

Câu 5 (3,0 điểm)

1) Cho các số thực , ,a b c1.Chứng minh rằng

3

2a 12b 1 2c 1 a bb cc a

2) Cho hình vuông ABCD và 9 đường thẳng cùng có tính chất là mỗi đường thẳng chia hình vuông ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2

3 Chứng minh rằng có ít nhất 3 đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm

ĐÁP ÁN Câu 1

Nếu a  b c 0thì a b  c b c,   a c,   a b

Do đó, a b b c c a 1 A a b b c c a 1

 

Do đó, a b 2 ,c b c 2 ,a c a 2b  a b c, trái giả thiết

Vậy A 1

Câu 2

2.1 Điều kiện x0;x 1

2 2

2 2

1

0 1

1

2

x

x

x

x











 



Vậy tập nghiệm của phương trình là 1; 1

2

S   

2.2

Ta có :   5 3      

P x x  x  x  xx xx xx xx xx

2

Q x   x  x

Do đó

         

2

Q x Q x Q x Q x Q x

     

           

     

           

   

              

   

Câu 3

3.1

2

2

n  là ước số của

6

206

n

2

198

2 4

2

n



Điều nảy xảy ra khi 2

2

n  là ước nguyên dương của 2

1982.3 11gồm:

2;3;6;9;11;18;22;33;66;99;198

Từ đó ta tìm được n1;2;3;4;8;14

3.2

Ta có: 2 2    

a b a

a c b ac b ac

b c c



2

a b c a acc a  acc b  ac b  a c b a c b

Ta thấy a2 b2 c2 3do đó nếu 2 2 2

a b c là các số nguyên tố thì xảy ra các trường hợp sau:

a c b a c b a b c a b c a c

a c b a c b a b c a b c a c

 

                

           

                

           

Câu 4

4.1

a) Do ABCD là hình vuông nên  A1MAD90 (1)0

mà AMHN là hình vuông A2 MAD90 (2)0

Từ    1 ; 2 suy ra A1 A2

1

AND AMB c g c B D

      và BM ND

2 1

3

2 1

2

1

O

F E

H

M d

b) Do ABCD là hình vuông D2 900

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AH MN của hình vuông , AMHN

O

 là tâm đối xứng của hình vuông AMHN

AH

 là đường trung trực đoạn MN, mà ,E FAH

EN EM

Từ    3 ; 4 EM NENF FM MEMFlà hình thoi (5)

c) Từ (5) suy ra FM FN FDDN

Mà DN MBMF DFBM

Gọi chu vi tam giác MCF là p và cạnh hình vuông là a

Ta có:

PMCCFMF MCCFBM DF(Vì MF DFMB)

MC MB CF FD BC CD a a 2a

Do đó, chu vi tam giác MCF không đổi khi M thay đổi trên BC

4.2

ACF

Gọi D là trung điểm của BC và G là điểm trên AB sao cho GDBC

Khi đó, ABC DBG BD BA

BG BC

GCBGBC  GCF

Do đó CG và BE lần lượt là tia phân giác của BCF và ABC nên:

FC BC BA AE

FG  BG BC  EC

Do đó,

2FC 2BC

FG  FG  BG  BG  BC  EC  FG  EC

Từ đó suy ra CG/ /EF (Định lý Talet đảo)CFEGCF 200

Câu 5

5.1

Ta có:  2 2

2

2 1



Nên VT 12 12 12 3

a b c

Ta lại có:

  2 2

a b  ab  a b a b   a b a b   a b

Tương tự: 12 12 2 8 ; 12 12 2 8

b  c  b c c a   c a

Suy ra: 12 12 12 3 4 4 4

a b c  a b b cc a

2a 12b 1 2c 1  a b b cc a

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

5.2

Các đường thẳng đã cho không thể cắt các cạnh kề nhau của hình vuông, bởi vì nếu thế chúng chia hình vuông thành một tam giác và ngũ giác (chứ không phải chia hình vuông thành hai tứ giác)

Do đó, mỗi đường thẳng (trong số chín đường thẳng) đều cắt hai cạnh đối của hình vuông và không đi qua một đỉnh nào của hình vuông cả

Giả sử một đường thẳng cắt hai cạnh đối BC và AD tại các điểm M và N

Ta có:

1

1

2

ABMN

MCND



    



(ở đây E và F là các trung điểm của AB và CD tương ứng)

Gọi , , ,E F P Q tương ứng là các trung điểm của AB, CD, BC, AD Gọi J J J J1, 2, 3, 4là các điểm sao cho J J1, 2nằm trên EF J J, 3, 4nằm trên PQ và thỏa mãn:

2 3

EJ FJ PJ QJ

J F  J F  J Q  J P 

E

C B

M

Khi đó từ đó lập luận trên ta suy ra mỗi đường thẳng có tính chất thỏa mãn yêu cầu của

đề bài phải đi qua một trong 4 điểm J J J J1, 2, 3, 4nói trên Vì có 9 đường thẳng, nên theo nguyên lý Dirichle phải tồn tại ít nhất một trong 4 điểm J J J J1, 2, 3, 4sao cho nó có ít nhất ba trong 9 đường thẳng đã cho đi qua

Vậy có ít nhất 3 đường thẳng trong 9 đường thẳng đã cho đi qua một điểm

F E

B

P

J4

J2 J3

J1