SKKN CHUYÊN đề số PHỨC

Vì nhiều lý do khác nhau, rất nhiều học sinh, thậm chí là học sinh khá, giỏi sau khi học xong phần số phức cũng chỉ hiểu một cách rất đơn sơ: sử dụng số phức, có thể giải được mọi phương

SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN

I-ĐẶT VẤN ĐỀ

1.Lịch sử số phức

Nhà toán học Italia R Bombelli (1526-1573) đã đưa định nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó

được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" trong công trình Đại số (Bologne, 1572) công

bố ít lâu trước khi ông mất Ông đã định nghĩa các số đó (số phức) khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa ra căn bậc hai của − 1

Nhà toán họcPhápD’Alembert vào năm 1746 đã xác định được dạng tổng quát "a + bi" của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc n Nhà toán học Thụy Sĩ L Euler (1707-1783) đã đưa ra ký hiệu "i" để chỉ căn bậc hai của − 1, năm

1801Gauss đã dùng lại ký hiệu này

2 Chương trình toán học ở bậc Trung học phổ thông của hầu hết các nước đều có phần kiến thức

số phức Ở nước ta, sau nhiều lần cải cách, nội dung số phức cuối cùng cũng đã được đưa vào chương trình Giải tích 12, tuy nhiên còn rất đơn giản Vì nhiều lý do khác nhau, rất nhiều học sinh, thậm chí là học sinh khá, giỏi sau khi học xong phần số phức cũng chỉ hiểu một cách rất đơn sơ: sử dụng số phức, có thể giải được mọi phương trình bậc hai, tính một vài tổng đặc biệt, Việc sử dụng số phức và biến phức trong nghiên cứu, khảo sát hình học (phẳng và không gian) tỏ ra có nhiều ưu việt, nhất là trong việc xem xét các vấn đề liên quan đến các phép biến hình, quỹ tích và các dạng miền bảo giác Nhìn chung, hiện nay, chuyên đề số phức và biến phức (cho bậc trung học phổ thông và đại học) đã được trình bày ở dạng giáo trình, trình bày lý thuyết Sau đây tôi xin trình bày một số ứng dụng cơ bản trong chương trình PTPH giúp học sinh hiểu sâu hơn về số phức

II- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

A- TÓM TẮT LÝ THUYẾT :

1 Định nghĩa : Số phức là một biểu thức có dạng a bi với a b, là những số thực và i

thỏa

mãn i 2 1 Ta kí hiệu z a bi 

Như vậy Ca bi a b R | ,   i gọi là đơn vị ảo, a là phần thực, b gọi là phần ảo

2 Hai số phức bằng nhau: a + bi = c + di  a = c và b = d

Hai số phức liên hợp: cho z = a + bi thì z= a – bi

3 Môđun của số phức: cho z = a + bi thì |z| = a2b2

4.Các phép toán với số phức

(a + bi)  (c + di) = (a  c) + (b  d)i z1z2  z1 z2

(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i ; z z1 2 = z1.z2 ; z.z= |z|2

= ;

1 2

z

z = z1 2

1

z

12 12

 



 

  5.Căn bậc hai của một số phức:

Cho số phức z = a + bi

*nếu b ≥ 0 thì = 

*nếu b < 0 thì = 

6 Dạng lượng giác của số phức

*Cho z = a + bi thì môđun r và argument  được tính bởi công thức sau:

r = a2b2 ; cos = a

r ; sin = b

r

* Cho z = a + bi thì có thể viết z = r(cos + i.sin)

7.Công thức MOAVRƠ

Cho hai số phức z1 = r1(cos1 + i.sin1) và z2 = r2(cos2 + i.sin2)

khi đó: z1.z2 = r1.r2[cos(1 + 2) + i.sin(1 + 2)]

1

z= 1

r[cos(– ) + i.sin(– )]

1

2

z

z = 1

2

r

r [cos(1 – 2) + i.sin(1 – 2)]

Công thức MOAVRƠ:

Cho z = r(cos + i.sin) thì zn = rn(cosn + i.sinn)

căn bậc n của z có n giá trị là n số phức được xác định như sau:

zk = n r(cos k2

n

 

+ i.sin k2

n

 

) với k = 0,1,….n – 1

B - CÁC CHUYÊN ĐỀ

I - CÁC TẬP HỢP ĐIỂM THƯỜNG GẶP.

Trong bài này, để cho gọn, thay vì nói “ điểm M biểu diễn số phức z ” ta nói “ điểm M có tọa vị z ” và ký hiệu là M z , tương tự thay vì nói “ véctơ u biểu diễn số phức w ” ta nói

“ véctơ u có tọa vị w ” và ký hiệu là u w 

1.Tập hợp điểm là đường tròn hoặc hình tròn:

Trong mặt phẳng phức cho điểm A có tọa vị a và số thực dương R.

a) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a R là đường tròn tâm A, bán kính R b) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a R là hình tròn tâm A, bán kính R

( không kể đường tròn biên )

c) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a R là phần của mặt phẳng nằm bên

ngoài hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể đường tròn biên ).

Chứng minh: Giả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z Khi đó tọa vị của véctơ AM

là z a , suy ra AM AM  z a

a) Ta có z a R  AM R M thuộc đường tròn tâm A bán kính R.

b) Ta có z a R  AM R  M thuộc hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể

đường tròn biên )

c) Từ đó suy ra tập hợp điểm M có tọa vị z thỏa mãn z a R là phần của mặt

phẳng nằm bên ngoài hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể đường tròn biên ).

Ví dụ : Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức

1i 3z2 trong đó z  1 2

HD:Đặt w 1 i 3z2 thì 2

w z i





 Do đó theo giả thiết z  1 2 2 1 2

w i





3 3 2 1 3

      w 3i 3 4 Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn có tâm

3 3

I i , bán kính R 4 kể cả đường tròn biên Đó là hình tròn có phương trình

x  y  {I3i 3:nghĩa là điểm E có tọa độ (3; 3)}

2) Tập hợp điểm là đường thẳng:

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A, B theo thứ tự có tọa vị a, b và k là tham

số thực

Nếu k 1 thì tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a k

z b





 là đường thẳng AB, trừ điểm B.

HD : Giả sử M là điểm có tọa vị z thỏa mãn z a k

z b





 Khi đó véctơ AM

có tọa vị là

z a ,

véctơ BM có tọa vị là z b Nếu z b và k 1 thì z a k

z b





  z a k z b    

AM k BM

MA k MB

 Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k 1  M thuộc đường thẳng AB, trừ điểm B ( vì z b )

3 Tập hợp điểm là đường trung trực hoặc nửa mặt phẳng:

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A và B lần lượt có tọa vị a và b.

a) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a 1

z b





 là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

b) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a 1

z b





 là nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là

đường trung trực của đoạn thẳng AB ( không kể đường trung trực ).

c) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a 1

z b





 là nửa mặt phẳng không chứa điểm A

có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB ( không kể đường trung trực ).

HD: Giả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z Khi đó tọa vị của véctơ AM là z a , tọa vị của véctơ BM là z b , suy ra AM AM  z a



và BM BM  z b



a) Ta có z a 1

z b





  z a  z b  AM BM  M thuộc đường trung trực của

đoạn thẳng AB.

b) Ta có z a 1

z b





  z a  z b  AM BM (1)

Ta chứng minh tập hợp các điểm M thỏa mãn (1) là nửa mặt phẳng chứa điểm A

có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

+ Thật vậy, giả sử điểm M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB Khi đó hiển nhiên đoạn thẳng MB cắt đường trung trực tại điểm

N nằm giữa M và B Từ bất dẳng thức trong tam giác AMN ta có

AM MN NA MN NB MB    ( vì N thuộc đường trung trực nên NA NB ) Vậy (1) được thỏa mãn

+ Ngược lại, giả sử điểm M thỏa mãn AM BM(1)

- Nếu M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB thì AM BM ( mâu thuẩn với (1))

- Nếu M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm B có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Khiđó theo phần thuận ta có BM AM( cũng mâu thuẩn với (1))

Vậy M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB

c) Chứng minh tương tự cho trường hợp z a 1

z b





Ví dụ : Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa

mãn từng điều kiện sau:

a) z i 1 b) z i 1

z i





 c) z  z 3 4 i

HD:a) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z i 1 là đường tròn tâmE i  bán kính R 1

, tức là đường tròn có phương trình 2  2

x  y 

b) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z i 1

z i





 là đường trung trực của đoạn thẳng

AB, với A i  vàB i  Đường trung trực này đi qua trung điểm O 0 của đoạn thẳng AB

và nhận véctơ AB2i



làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là 2y 0 0 0

y

c) Vì z z nên z  3 4 i  z 3 4 i  z 3 4 i , suy ra z  z 3 4 i

3 4

1

z

 

  Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z 3 4i 1

z

 

 là

đường trung trực của đoạn thẳng OA, với O 0 và A3 4 i Đường trung trực này đi qua trung điểm 3 2

2

K  i

  của đoạn thẳng OA và nhận véctơ OA3 4 i



làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là: 3 3 4 2 0

2

25

2

x y

4.Tập hợp điểm là đường tròn đường kính AB:

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A, B theo thứ tự có tọa vị a, b và

là tham số thực

Nếu 0 thì tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a i

z b 





 là đường tròn đường kính

AB, trừ hai điểm A và B Đường tròn này có tâm

2

a b

E  

  là trung điểm của đoạn thẳng

AB và có bán kính là 1

2

R a b

HD:Giả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z thỏa mãn z a i

z b 





 , với z b Khi đó ta có 1

a bi

z

i









  z a ( vì0) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AB thì E có tọa vị là

2

a b

e  Do đó tọa vị của véctơ EM :

a bi a b

z e

i







2 1

i





2 1

a b a b i

i





  





1

2 1

i







a b

2

z e  a b  M thuộc đường

tròn tâm

2

a b

E  

  bán kính 1

2

R a b , trừ hai điểm A và B ( vì z a và z b )

5.Tập hợp điểm là đường tròn Appollonius:

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A, B lần lượt có tọa vị a, b và k là số thực

dương khác 1

Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a k

z b





 là đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng

AB theo tỷ số k Đường tròn này có tâm

2 2 1

a k b E

k



  và bán kính 1 2

k a b R

k





HD:Giả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z thỏa mãn z a k

z b





Gọi P và Q lần lượt là điểm chia ngoài và điểm chia trong đoạn thẳng AB theo tỷ số k

Khi đó ta có PA k PB

và QAk QB

Suy ra tọa vị của các điểm P, Q lần lượt là: ,

a kb a kb

Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng PQ thì tọa vị của E là:  

2 2

1

a k b

k



Suy ra tọa vị của véctơ EM là: 22

1

a k b

z e z

k



  



2

2 1

z a k z b

k



 (4)

Từ giả thiết z a k

z b





 , suy ra

2 2

z a

k

z b







2

z a z a

k

z b z b

  (5) Thế (5) vào (4) ta được

2

1

1

z a z a

2

1 1

z a z a

z a

 

2 1 1

z a

z a



   

2 1

z b z a

z a



2 1

a b

z a

k z b







2 1

a b z a

k z b



Suy ra z e  

2 1

a b z a



1

a b z a

z b k





a b k a b k

tròn tâm

2 2 1

a k b

E

k



1

k a b R

k







Đường tròn này gọi là đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k.

Chú ý: Đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng AB cho trước theo tỷ số k cho trước là

tập hợp các điểm M thỏa mãn MA k

MB  , với k là số thực dương khác 1

Ví dụ : Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa

mãn

z k

z i  ( k là số thực dương cho trước )

HD:Gọi O, A lần lượt là các điểm trong mặt phẳng phức có tọa vị là 0, i Khi đó ta có: + Nếu k 1 thì tập hợp các điểm có tọa vị z thỏa mãn z 1

z i  là đường trung trực của

đoạn thẳng OA Phương trình đường trung trực này là 1 0

2

y   + Nếu k 1 thì tập hợp các điểm có tọa vị z thỏa mãn z k

z i  là đường tròn

Appollonius chia đoạn thẳng OA theo tỷ số k 1.Đường tròn này có tâm E có tọa vị là

2

2

0

1

k i

e

k







2

2 1

k i k



0

R



  Suy ra phương trình đường tròn

Appollonius là

2

2

2



BÀI TẬP

1.Giải hệ phương trình trong tập hợp số phức:

Ví dụ : Giải hệ phương trình sau với ẩn là

số phức z và  là tham số thực khác 0

4 2

(1) 2

2

1 (2) 2

i z

z

z i



 











 



HD: + Gọi A, B theo thứ tự là các điểm trong mặt

phẳng phức có tọa vị là 4 2i , 2 Khi đó tập hợp

điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường

tròn đường kính AB, trừ hai điểm A và B Đường tròn này có tâm E biểu diễn số phức

1 i và bán kính 1 6 2

2

R  i   3 i 10 nên có phương trình làx12 y12 10 (1’)

+ Gọi C, D theo thứ tự là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức

2, 2i Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (2) là đường trung trực của đoạn thẳng CD Đường trung trực này đi qua trung điểm H1 i của đoạn thẳng CD và

nhận CD 2 2i



làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là 2x1 2y10 0

x y

   (2’)

Suy ra giao điểm của đường tròn và đường trung trực là nghiệm của hệ đã cho Đó là các điểm

x y;  thỏa mãn (1’) và (2’), tức là nghiệm của hệ phương trình sau

0

x y





y x





 

y x x





 





2 2

x y





 



2

x y









 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là z 2 2i và z 2 2i

Ví dụ :Giải hệ phương trình sau với z là ẩn số

1 4 3 (3)

3 2

2 (4) 3

2





  





  



HD: + Gọi E là điểm trong mặt phẳng phức có tọa vị là 1 4i Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (3) là đường tròn tâm E, bán kính R 3

Phương trình đường tròn này là:

x12y 42 9 (3’)

+ Gọi A, B theo thứ tự là các điểm có tọa vị

là 3 2 , 3

2

    Khi đó tập hợp điểm M biểu

diễn số phức z thỏa mãn (4) là đường tròn

Appollonius chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k 2

Đường tròn Appollonius có tâm F là điểm có tọa

vị

2

2

1

a k b

f

k







3

3 2 4

2

1 4

i  i

     





1 2i

 

và có bán kính 1 2

k a b R

k







3

2 3 2

2

1 4

   





1 2i 5

   

Phương trình đường tròn Appollonius là

x12y 22 5 (4’)

Suy ra nghiệm của hệ đã cho là giao điểm của hai

đường tròn (3’) và (4’), tức là các điểm x y;  thỏa

mãn hệ phương trình sau:

   







2 2

2 2



 

2 0

x y



 



2

2

 



 

2

2 0

x x

 



 

  



1 1

x y





 



4

x y









Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là z 1 i và z 2 4i

2 Giải hệ bất phương trình trong tập hợp số phức

Ví dụ : Giải hệ bất phương trình sau với ẩn là số phức z : 3 2 (5)

2 9 2 5 (6)

   







HD:Gọi z= +x yi x y ,( Î ¡ ) là tọa vị của điểm M bất kỳ trong mặt phẳng phức

+ Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (5) là hình tròn tâm

A i , bán kính R 2 ( kể cả biên )

Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn

(6) là phần của mặt phẳng nằm bên ngoài

hình tròn tâm 9

2

B i

 , bán kính 5

2

R 

( kể cả biên )

Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

là giao của hai tập hợp trên Đó là “ hình trăng

lưỡi liềm ” không bị bôi đen trong hình vẽ

Ví dụ :

Giải hệ bất phương trình sau với ẩn là số phức z :

3 2

1 (7) 1

1 2 2 (8)

z

  











HD:Gọi z x yi x y IR  ,   là tọa vị của

điểm M bất kỳ trong mặt phẳng phức.

+ Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa

mãn (7) là nửa mặt phẳng không chứa điểm A

có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB

( kể cả đường trung trực ), với A 3 2i và

 1

B 

+ Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa

mãn (8) là hình tròn tâmE1 2 i, bán kính

2

R  ( kể cả biên )

Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là

giao của hai tập hợp trên

Đó là phần hình tròn kể cả biên không bị bôi

đen trong hình

Ứng dụng số phức để tính tổng của các C k n

1.Khai triển nhị thức Newton: (1 + x)n = 0C +xC +x C + +xn 1n 2 2n n-1 n-1Cn +x Cn nn

(Với  n IN*)

.2- Các tính chất của số phức dùng trong phần này:

+ Hai số phức bằng nhau: a + bi = c + di  a = c và b = d

+ Cho z = r(cos + i.sin) thì zn = rn(cosn + i.sinn)

3- Khi nào thì dùng số phức để tính tổng của các Cn k?

Đây là vấn đề lớn nhất cần chú ý cho học sinh Ta dùng số phức để tính tổng của các Ckn khi tổng này có hai đặc điểm:

* Các dấu trong tổng xen kẽ đều nhau

* k luôn lẻ, hoặc luôn chẵn hoặc khi chia k cho một số ta luôn được cùng một số dư (trong chương trình phổ thông ta chỉ cho HS làm với k = 3l, k = 3l + 1, k = 3l + 2)

4- Các tổng của Cn k được tính như thế nào ?

Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i) So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính

Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là

6



4



3



 ) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i) Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính

Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị Cộng vế theo vế các đẳng thức thu được Suy ra giá trị của tổng cần tìm

Điều quan trọng là phải quan sát tổng cần tìm có những đặc điểm gì để lựa chọn một trong các cách trên Chủ yếu là căn cứ vào hệ số của các Cn k trong tổng Để nói chi tiết được điều này đòi hỏi phải có lượng lớn những nhận xét, sẽ vượt quá khuôn khổ cho phép của một đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tôi chỉ đưa ra một số ví dụ minh hoạ cho

từng dạng, qua đó người đọc sẽ tự trả lời được câu hỏi: Để tính tổng này ta phải làm gì?

MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ:

Dạng 1:Khai triển (1 + x) n , cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp hoặc khai triển trực tiếp các số phức

Ví dụ :Tính tổng

A = C02009 2009-C2 +C42009 2009-C6 + +C2004 20062009 2009-C +C20082009

B = 1-C2009+C32009 2009-C5 +C72009- -C20052009+C20072009 2009-C2009

HD : Xét khai triển:

(1 + x)2009 = 0C2009xC12009x C2 22009 x 2008 2008C2009x2009 2009C2009

Cho x = - i ta có:

(1 – i )2009 = C02009iC12009i C2 22009 i 2008 2008C2009i2009 2009C2009

= ( 0C2009 C22009C42009 C62009 C 20042009 C20062009C20082009) +

+ (C12009 C32009 C20095 C72009 C 20052009C20072009 C20092009)i

Mặt khác:

2009

= ( 2)2009 cos -isinπ π =( 2)2009 2-i 2 =21004 1004-2 i

So sánh phần thực và phần ảo của (1 – i )2009 trong hai cách tính trên ta được:

A = 0C2009 C22009C42009 C62009 C 20092004 C20062009C20082009 = 21004

B = 1-C2009+C32009 2009-C5 +C72009- -C20052009+C2007 20092009-C2009 = - 21004

Ví dụ : Tính tổng: C = 1 C -3C +3 C - -3 C0 2 2 4 23 46+3 C -3 C24 48 25 50

50 2

HD:

Xét khai triển:

50

- + i = 50 C -(i 3)C +(i 3) C + -(i 3) C50 50 50 50+(i 3) C50 =

= 50 C -( 3) C +( 3) C - -( 3) C50 50 50+( 3) C -( 3) C50 +

2

+ 1  3C1 ( 3) C3 3 ( 3) C5 5 ( 3) C47 47 ( 3) C49 49i

Mặt khác:

So sánh phần thực của

50

i

 

trong hai cách tính trên ta được:

C = 1 C0 3C2 3 C2 4 3 C23 46 3 C24 48 3 C25 50 1

Ví dụ : Tính tổng: D = 3 C10 020-3 C9 220+3 C8 420-3 C7 620+ +3 C2 1620-3C1820+C2020

HD:Xét khai triển:

 3 i 20 ( 3) C20 020i( 3) C19 120 ( 3) C18 220 ( 3) C 2 1820 i 3C1920C2020 =

= ( 10 03 C20 3 C9 2203 C8 420 3 C7 620 3 C 2 1620 3C1820C2020) +

Mặt khác: 

220 cos4π isin4π 220 1 3i 219 219 3 i

So sánh phần thực của  3 i 20 trong hai cách tính trên ta có:

D = 10 03 C20 3 C9 2203 C8 420 3 C7 620 3 C 2 1620 3C1820C2020 = - 219

Dạng 2: Khai triển (1 + x) n , đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp

Ví dụ :

Tính tổng: D = C -3C +5C -7C + +25C -27C130 330 530 730 2530 2730+29C3029

E = 2C -4C +6C -8C + +26C302 304 630 830 2630-28C3028+30C3030

HD:(1 + x)30 = C300 xC130x C2 230x C3 330 x C 28 2830x C29 2930x C30 3030

Đạo hàm hai vế ta có:

30(1 + x)29 = 1C +2xC +3x C + +28x C30 302 2 330 27 2830+29x C28 2930+30x C29 3030

Cho x = i ta có:

30(1 + i)29 = ( 1C30 3C3305C530 7C730 25C 2530 27C302729C2930) +