skkn cải tiến phương pháp dạy chuyên đề số phức

Chuyên đề số phức lớp 12

Đ

ỉ

12

ồ ũ ữ ầ ễ ầ bài toán ắ ắ ài toán

, nó ỏ ắ ữ

ỏ ặ ữ ũ ừ

quen Đồ ầ ữ

ỹ Đ ao H ỏ

Chính vì , Đ ẹ

: " Số ứ " N II

ph p c h n l :

D ừ Ứ

ỉ S

chúng ữ :

1 ắ ầ ữ

2 ễ

H g ầ ỏ 3 H sinh không

l en 10

4 H ừ

ph p ớ c n

Đ ắ ữ

:

1 : K ầ c ầ

ễ

é ừ ,

ặ

2 ữ Ứ

3 H cách sáng

g ả ớ : 1 H ắ ũ 2 Ứ

é

ắ ầ Q

bài, các em

ặ 10

3 sáng , gi H

H

K

ẽ ắ

4 H ẽ

t ừ y

C h ơn ph p n h nh I Ả Á 1 C CẤ LÍ T YẾT VỀ SỐ ỨC I.1 CÁC Á

ố ứ a bi 2

, , 1 a b¡ i   số phức Đ z a bi a ph n h c, b ph n z £

:

 a ầ 0: a a 0i  ¡ £

 S bi b¡ số hu n ( ặ số )  S 0 ừ ừ ; i đơn

Số ứ

H ầ ầ

: a bi c di a c b d          Số ứ ố ố ứ

 5: 1 1

2

z

 

 

 

 6: | z z1 2| | z1| |z2|

 7: 1 1

2

| |

| |

z

 8: |z1z2| | z1||z2|

1 4 Ả T T T TẬ Ợ SỐ C

ứ hai

é hai: 2

0 ( 0)

az   bz c a 2

4 b ac     H1:

  0 2 nghi

2 b z a       0 é

2 b z a    2

0 i ( )       ương 2

2 b i z a      TH2:

  0 é

2 b z a    2 0; a bi (x iy)        K hai ( )

2 b x yi z a     2

 2

2

 K '

 z z1, 2 2 2

0 ( 0) az bz c a a

K : 1 2

1 2

b

z z

a c

z z

a



  







Ả Á 2 C T À CÁC C Y Ể Ỏ

1 C Y Ề 1 Tính n rên ập hợp số phức

II.1.1 ạn 1 Th c h ện c c phép ính rên ập hợp số phức X c đ nh ph n

h c, ph n ính ôđun c ộ số phức

A h ơn ph p

 S d ng các qui tắc c ng, trừ, nhân, chia s ph tính toán giá tr các bi u

th c

 Đ nh phần th c, phần o và a s ph c zthì ta ph i s d ng các khái ni n s ph c và các phép toán trên t p h p s ph c

 Nhận xét: V i bài t p trên, h c sinh dễ c Qua bài t p này m c

c sinh nh l i khái ni m s ph c liên h p và bi t cách tính toán

   

:

38 86 13 13 22 79 169 169 71 17 41 41 B i C i D i         hận xét:  B

é é é é ừ  Đ

é

ầ ỏ ỏ

 Sau k , ỏ

: ầ ầ

ắ : ầ ầ

 Đ :

3: ầ ầ z :

a)   2  2 1 2 z i i b)   2    1i 2i z    8 i 1 2i z c) z 1 in, ỏ :

    4 4 log n 3 log n9 3 d) 11 8 1 2 1 1 i i i z i i                L :

:

  2     2 2 1 2 2 2 2 1 2 5 2 5 2 z i i   i i i  i   z i z ầ 5; ầ  2

:  2

2

b)   2   

1i 2i z    8 i 1 2i z

  

8 1 2 

2 3

z ầ 2; ầ 3; 2  2

log4n 3 log4n93 n7( ỏ )

11 ầ ầ

u1 1, q 1 i

Á 11 ầ :

 

11 1

II.1.2 ạn 2 T c n ậc h c ộ số phức

A h ơn ph p:

z a bi, a b, ¡

 z0 z : 0

x y x y

2) (2z i )(1  i) (z 1)(1  i) 2 2i

H ỏ 1 2

ỏ

ũ S

ỏ ừ

ỏ :

 ỉ ặ z

é

 ặ z ặ

un ta :

 G z  a  bi , a, b¡  S



 1 z  a  bi , a, b¡

2 é ẽ

II.2.2 ập nh họ :

a) ( 1).(2 ) 3 2 2 z i i z i      (1) b) 2 0 z  z (2) c) | |z  5 2

(zi)

d)|z 1| 1 (1i z)( 1) ầ 1

e) 2 2 z  z z 1 z 

3   :

Đ z 2i K

(1)2(z1)(2  i) (3 i z)( 2 )i 2 (z 1)(4 2 )i 3z 6i iz 2i        (1 3 )i z 2i 4     2 4 (2 4)(1 3 ) 1 7 1 3 10 5 5 i i i z i i           1 7 5 5 z  i    ( ỏ )

z  a  bi , a, b ¡ z a bi ừ :

2

(abi) (abi)0 2 2

(a b a) ( 2ab b i) 0

b

a a

a b

b b

2

1

cos( )31

3sin( )

31

b

b b

ặ ữ :

a) w    z 1 i

b) ũ ừ ừ

c) ầ z ặ ỏ | |z  5 2

(zi) ầ d) ầ z2015

e)

II.2.3 ập ận ụn

1: |z2 |i  5 ễ ( : 3x –y +1 = 0

31

z

 





   

  



b z  z z  z   z z z  

1

2

2 2

z

z

  



 

  



c z z  z   z   z   z   i z 

2

2



Đ : zi :

2 4 2 2 1 1 1 1 1 z i z i z i z i z i z i z i z i z i z i z i i i z i z i z i                                                      0 1 ( ) 1 ( ) z i z i z z i i z z z i z i i z z i z i i                               ( ỏ )

:

 ầ ầ

2 :

é

( )

 K ặ 2 ẽ :

3: :

4 3 2 ) 2 2 2 2 0 a z  z z  z  4 4 ) ( 3) ( 5) 2 b z  z  2 ) ( )( 3)( 2) 10 c z z z z  4 3 2 ) 4 11 14 10 0 d z  z  z  z  2 2 2 2 ) ( 3 6) 2 ( 3 6) 3 0 e z  z  z z  z  z  L :

4 3 2 ) 2 2 2 2 0 a z  z z  z  +) z0

+) z0 :

6 0

t t





   

 2

z   x y  x y 

O 0;0   và bán kính R 1

ên h ớn ẫn khai thác: S k ọ s n oàn n à ậ này, chúng

tôi y ổ g ả ế và ướng dẫn các em là ương ứng

a) z 2 4i  z 2i

b) 2

z c) z i

z i



 d) z 3i 1

hai phân giác yx và y x

0

( ; ) (0;1)

x xy

y x

x



 c) ễ ỏ

L :

S z m (m3) ,i mR  ễ z trên ặ :M m; m 3   

Đ y x thì m 3 m 3

2

m

    

i i



 a) C AB

Vì z1  z2  z3 OAOBOCA B O 1

30

b) O A ễ 1 B ễ ; A’ ễ

z'0 B’ ễ ’ ai tam giác OAB OA’B’ ồ

II.5 C Y Ề 5 C c r c số phức

II.5.1 C c n qu ề n r lớn nhấ , r nhỏ nhấ c

h ộ n

A h ơn ph p

B : z

ỏ

 ừ ồ

 Tìm giá ( ặ ỏ ỳ ầ

ừa

B ập nh h ạ ập 1 z z 1 5i   z 3 i

ỏ

L :

z x yi x y; R 2 2 2 2 1 5 3 ( 1) ( 5) ( 3) ( 1) z  i    z i x  y  x  y 3 4 0 4 3 x y x y        2 2 2 2 2 2 6 8 2 10 (4 3 ) 10 24 16 10 5 5 5 z  x y   y y  y  y  y        Đ 6 2 5 5 y  x z ỏ 2 10 5 khi 2 6 5 5 z  i 2 6 5 5 z  i ầ

ập 2 Tr z ầ ầ :

3 1 1 2 z z i     z

    2 2 2 2 (1 ) (1 ) P z z  z z i z  i z i ỏ

L :

Đ : z 1 2i  *

; z x yi x yR 3 3 1 1 3 1 2 1 2 1 2 z z z z i z i z i               2 2 2 2 (x3)  y  (x1) (y2)   x y 1 ( x1;y 2

z  x yi z z  xy i  z z  xy(vì x y; không âm)

z z i  xy  z z  xy

z  i z  i x y

P x y  xy x y  x y  xy

Đặ

2

1 0

x y

t xy  t    

  , ta có

4

P t  t t  

   

f t  t t f t      t t (

1 1

0;

0;

4 4

B - :

 Bài toán 1: ( )T I A

Đ ( )T H cho AM ỏ

L

 Bài toán 2: ( )T1 có tâm I, bán kính R1; ( )T2

có tâm I, bán kính R2 ( )T1 rên ( )T2 sao

L

 Cách 1

z x yi x y; R M x y( ; ) ễ z O

z  i   x  y   x  y 

ễ ( I(3; 4) , bán kính R = 4

z  x  y OM;OI  5 R O (

z ỏ O ỏ (

( o q Bài toán 1- )

Đ OI ắ (

3 4 27 36 ; ; ; 1; 9 5 5 5 5 A   B  OA OB         ( : OA OM OB 1 OM 9  1 z 9  O ỏ A; O B z ỏ 1 3 4 5 5 z   i; z 9 27 36 5 5 z  i  Cách 2 z x yi x y; R M x y( ; ) ễ O 3 4i   A(3; 4) ễ 

; 5; z OM  OA z  AM; z 3 4i     4 z  4 AM 4 Ta có: 4 4 4 4 1 9 OMOA  AM   OM OA   OAOM  OA OM  1 z 9    ; z 1 khi 3 4 5 5 z   i; z 9 27 36 5 5 z  i z ỏ 1 3 4 5 5 z   i; z 9 27 36 5 5 z  i  :

B - ặ iác hoá Bài 2: z z z(  2 4 )i

z sao cho  z 1 i

L

z x yi x y; R M x y( ; ) ễ O     ( 2 4 ) ( ) ( 2) ( 4) ( 2) ( 4) ( 4) ( 2) z z  i  xyi x  y i x x y y  x y y x i ( 2 4 ) z z  i

2 2 2 2 ( 2) ( 4) 0 2 4 0 ( 1) ( 2) 5 x x y y x y x y x y                 ễ z (T) có tâm I( 1;2) , bán kính R 5 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) z i x y i x y AM              A(1;1) 5 ( ) IA  A T (Bài toán q Bài toán 1 - )

Vì ( A A (

 A I I A

z    i z  i   a  b  I(1; 1), bán kính R = 1

2 2

z   i   z   i   c  d   tròn tâm J(6; 6), bán kính R' = 6

ỏ 18 3 2 khi 1 2 2 ; 2 3 3

z   i z   i

Bài 7: z tho z   3 z 3 10

x y x

ễ z ẽ bài t

 h ơn ph p 2: ừ 2 t ỉ ầ

t 2 z

Ví ụ ừ : 2

3 4 0 t   t Thay 2 tz : 4 2 3 4 0 z  z   Thay 2 1 z  z : 2 2 2 (z  z 1) 3(z   z) 1 0 Thay t z 1(z 0) z    : 4 3 2 3 2 3 1 0 z  z  z  z  ừ 2

3 4 0 ( 3) 4 t    t t t  2

4 tz  z

trình: z z.( 1).(z3)(z 4) 4  h ơn ph p 3 ừ 2 2

2

Ví ụ ừ 2 2 5 6 0 t  tz z  , thay 2 2 3 t z  z ta có : 2 2 2 2 (2z  z 3) 5(2z  z 3)z6z 0  ố ớ chuyên đề 4  r ập u n h nh học c z z h ãn đ ều k ện ch r ớc

 Chọn r ớc quỹ ích ( : ỹ :

L

ỹ

hypebol, )

 C n cứ ph ơn r nh đ n đã chọn đ h lập ố qu n hệ số phức z c n h ãn Ví ụ 1: ừ I(0; 1) , bán kính R 2 2 2 ( ) :C x (y1) 2 (*) Coi z x yi, ( ,x y¡ ) (*

2 2 ( 1) ( 1) x  y  x y i     x yi i z i bài toán: ặ ễ cho

z z i 2 ũ ừ (*

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 2 1 0 2 1 2 2 ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) (1 )( ) (1 ) x y x y y x y y x xy y x xy y x y x y x y x y x y x y x y i x y x y i x yi i i x yi z i i z                                                  bài toán: ặ ễ

z t z i  (1 i z)

Tương ự ến ổ (*) ằng ê ớ ộ số ạ lượng sẽ ó n ề ố

l ên k , ừ ó ó n ề à ậ ú vị ơn

2: Đ ỹ ( : 6x8y250

ph n

Ví ụ: ừ hình ặ : “C ứng n rằng 4

A(1; 2), B(1 3;1), C(1 3; 1), D(1; 2)  lậ àn ộ ứ g nộ ế ường tròn” ồ t ễ :

A B C D, , , ầ ễ :

1 2 ;1 i  3i;1 3i;1 2 i

A B, C

ễ nào?

ẾT Q Ả ẠT ỢC

2010-2011; 2011 - 2012; 2012-2013 :

ẾT L Ậ

B chúng tôi : "

ố ứ "

ắ

ễ

H ữ

ỏ n

ẹ

s 100%

ữ , chúng tôi

ừ ầ :

ầ

ừ ỏ , ầ

B

ũ ồ

ồ

ên nh, ng 4 nă 2015 h c h ện B L B L ầ U

Đ

ũ