skkn cải tiến phương pháp dạy chuyên đề số phức

Phương pháp tiến hành I... GIẢI PHÁP 2: CHIA THÀNH CÁC CHUYÊN ĐỂ NHỎ II.1... GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP HỢP SỐ PHỨC II... Giáo viên hướng dẫn khai thác: Sau khi học sinh hoàn thiệ

PHẦN I: MỞ ĐẦU

Môn Toán là môn học trang bị cho học sinh kiến thức, kĩ năng và phươngpháp tư duy Thông qua môn học, giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ, khảnăng tư duy, hình thành và phát triển phẩm chất, phong cách lao động khoa học,biết hợp tác lao động, có ý chí và có thói quen tự học thường xuyên, tạo tiền đề chomôn học khác và việc học tập sau phổ thông

Vì vậy khi dạy học chúng tôi luôn trăn trở, tìm tòi phương pháp nhằm cuốnhút các em vào mỗi bài học Ở đó, các em nhận thức được vai trò trung tâm củamình, các em lĩnh hội tri thức thông qua tự giải quyết vấn đề, tự hướng dẫn, tìm tòivà cộng tác với bạn bè

Chuyên đề số phức lớp 12 là một dạng toán mới và lạ đối với học sinh phổ

thông và là bài toán thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp, Đại học, Caođẳng Ở các lớp dưới, các em mới chỉ tính toán, giải Toán trên tập hợp số thực, lênlớp 12 các em phải tính toán và giải toán trên tập hợp số phức Vì tập số thực làtập con của tập số phức nên có nhiều kiến thức tương đồng, nhưng cũng có nhữngđiểm khác biệt nhất định, vì vậy các em rất hay bị nhầm lẫn và dễ hiểu sai yêu cầubài toán nếu không nắm chắc kiến thức Các bài toán về số phức liên quan đếnnhiều kiến thức của các lớp dưới, nó đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thứcở lớp dưới như bài toán giải phương trình, hệ phương trình trên tập hợp số thực,bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, bài toán hình giải tích trong mặtphẳng và phải thấy được mối liên hệ giữa kiến thức cũ và mới, từ đó biết qui lạ vềquen Đồng thời qua các bài toán về số phức, các em một lần nữa được ôn tập, rèn

kỹ năng giải một số dạng toán thường xuất hiện trong các đề thi Đại học, Caođẳng và các đề thi Học sinh giỏi

Chính vì thế, để giúp các em có thể tiếp cận được với các đề thi tốt nghiệp, Đạihọc và tạo tâm lí nhẹ nhàng khi học và tự tin khi thi, chúng tôi xin trình bày một

số sáng kiến về đề tài: "Cải tiến phương pháp dạy chuyên đề Số phức"

PHẦN II: NỘI DUNG

A Giải pháp cũ thường làm.

Trước đây khi dạy chuyên đề số phức, chúng tôi thường dạy như sau:

Dạy theo từng bài Ứng với mỗi bài, chúng tôi cho bài tập áp dụng đơn giản,chỉ đảm bảo kiến thức trong Sách giáo khoa không mở rộng, nâng cao

Vì thế mà chúng tôi thấy rằng phương pháp đó có những hạn chế là:

1 Chưa khắc sâu được khái niệm nên học sinh hay nhầm lẫn giữa tập hợp sốthực và tập hợp số phức

2 Vì hệ thống bài tập dễ nên học sinh chủ quan, không chịu rèn luyện kĩnăng nên tính toán hay sai Học sinh cảm thấy bài tập đơn điệu, nhàm chán, khôngđáp ứng được nhu cầu học của học sinh khá, giỏi

3 Học sinh không thấy được mối liên hệ với các bài toán ở lớp dưới, khôngbiết qui lạ về quen, không được củng cố, ôn tập một số dạng toán cơ bản ở lớp 10

4 Học sinh không biết xây dựng hệ thống bài tập từ một bài tập đã cho

B Giải pháp mới cải tiến.

Để khắc phục những hạn chế trên, chúng tôi đã cải tiến phương pháp dạychuyên đề số phức thông qua các giải pháp như sau:

1) Cung cấp lí thuyết về số phức: Khái niệm số phức, phần thực, phần ảocủa số phức, hai số phức bằng nhau, số phức liên hợp, biểu diễn hình học của sốphức và môđun của số phức, các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên tập số phức,căn bặc hai của số thực âm, căn bậc hai của số phức, giải phương trình bậc hai vớihệ số thực, hệ số phức trên tập hợp số phức

2) Chia thành nhiều dạng bài tập, có những bài tập nâng cao Ứng với mỗidạng bài tập, chúng tôi hướng dẫn học sinh phương pháp giải, bài tập minh họa vàcho bài tập tự luyện

3) Hướng dẫn cách sáng tạo ra bài tập mới

Ưu điểm của giải pháp mới:

1 Học sinh được củng cố, khắc sâu kiến thức cũ

2 Ứng với mỗi dạng bài tập, học sinh đều được tiếp cận với các khái niệmliên quan đến số phức, và các phép toán trên tập hợp số phức vì thế mà các kháiniệm được khắc sâu thêm, tránh cho học sinh không bị nhầm lẫn Qua các dạngbài, các em thấy được mối liên hệ của bài toán số phức với các bài toán đại số,hình học giải tích trong mặt phẳng đã được học ở lớp 10 Rèn luyện cho học sinh

tư duy tổng hợp

3 Cách sáng tạo ra bài toán mới, giúp học sinh biết qui lạ về quen Học sinhkhông còn bỡ ngỡ khi giải các bài toán khó về số phức Học sinh còn cảm thấyhứng thú vì mình có thể tự ra được bài tập Khi các em tự ra được các đề toán các

em sẽ nắm vấn đề của bài toán tốt hơn và nhanh chóng đưa ra được lời giải

4 Hệ thống bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết phân tích, đánh giá để lựachọn phương pháp giải thích hợp nhất cho từng bài Rèn luyện cho học sinh kĩnăng vận dụng linh hoạt, sáng tạo

C Phương pháp tiến hành

I GIẢI PHÁP 1: CUNG CẤP LÍ THUYẾT VỀ SỐ PHỨC

I.1 CÁC KHÁI NIỆM

1 Định nghĩa số phức

Mỗi biểu thức dạng a bi , trong đó a b,   ,i2  1 được gọi là một số phức

Đối với số phức z a bi  , ta nói alà phần thực, blà phần ảo của z

Tập hợp các số phức kí hiệu là 

Chú ý:

 Mỗi số thực ađược coi là một số phức với phần ảo bằng 0: a a  0i

 Như vậy ta có   

 Số phức bi với b   được gọi là số thuần ảo ( hoặc số ảo)

 Số 0 được gọi là số vừa thực vừa ảo; số i được gọi là đơn vị ảo.

3 Số phức đối và số phức liên hợp

Cho số phức z a bi  , 2

a b  i 

 Số phức đối của z kí hiệu là  z và  za bi

 Số phức liên hợp của z kí hiệu là z và z a bi 

4 Biểu diễn hình học của số phức

Điểm M a b( ; )trong một hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là

điểm biểu diễn số phức z a bi  .

I.2 CÁC PHÉP TOÁN

1 Phép cộng và phép trừ

Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ hai đa thức

3 Phép chia hai số phức

Với a bi  0, để tính thương c di

Cho số phức z a bi  ,a b,   ,i2  1

 Tính chất 1: Số phức z là số thực  z z

 Tính chất 2: Số phức z là số ảo  zz

 Cho hai số phức z1 a1 b i z1 ; 2 a2 b i a b a b2 ; , , , 1 1 2 2   ta có:

I.1.4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TRƯỜNG TẬP HỢP SỐ PHƯC

1.Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai: az2 bz c  0 (a 0) có  b2  4ac

 TH1: a, b, c là các số thực

 Nếu   0 thì phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt

2

b z

a

   



 TH2: a, b, c là các số phức

   0 thì phương trình có nghiệm kép thực

2

b z a

 Khi b là số chẵn ta có thể tính '

 và công thức nghiệm tương tự như trongtập hợp số thực

 Gọi z z1 , 2 là 2 nghiệm của phương trình az2 bz c  0 (a 0)a, b, c là cácsố thực hoăc số phức Khi đó ta có:

II GIẢI PHÁP 2: CHIA THÀNH CÁC CHUYÊN ĐỂ NHỎ

II.1 CHUYÊN ĐỀ 1: Tính toán trên tập hợp số phức

II.1.1.Dạng 1: Thực hiện các phép tính trên tập hợp số phức Xác định phần thực, phần ảo và tính môđun của một số phức

để biến đổi số phức z a bi a b  ( ;  R ) Khi đó: z có phần thực bằng a; phầnảo bằng 2 2

;

b z  a b

 Trong khi tính toán về số phức ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đángnhớ như trong số thực

B Bài tập minh họa

Bài 1: Cho số phức 3 1

 Nhận xét: Với bài tập trên, học sinh dễ dàng tính được Qua bài tập này mục

đích giúp học sinh nhớ lại khái niệm số phức liên hợp và biết cách tính toánđơn giản về phép cộng, phép trừ số phức và phép tính luỹ thừa của một sốphức

Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

 Sau khi cho học sinh làm xong bài, chúng tôi thay đổi cách hỏi nhưsau: Tìm phần thực, phần ảo của số phức và tính mô đun của số phứcđể khắc sâu cho học sinh các khái niệm: phần thực, phần ảo, môđuncủa số phức

 Để học sinh ghi nhớ kĩ hơn, chúng tôi cho học sinh làm bài tập:

Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức z biết:

Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng  2

và có môđun: z  5 2   22  3 3

c) Giải phương trình log 4n 3  log 4n 9  3 tìm được n 7(thỏa mãn điều kiện)

Vậy z có phần thực bằng  1; phần ảo bằng 16; z  ( 1) 2  16 2  257

Bài 4: Tính biểu thức sau:

 Nhận xét: Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài trên theo cách phân tích

lũy thừa của i như ý a) Tuy nhiên, việc sử dụng hằng đẳng thức ở đây ta sẽtính toán nhanh hơn và thuận tiện hơn

c) Ta có C là tổng của 11 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là

u  công bội q  1 i

Áp dụng công thức tính tổng 11 số hạng đầu tiên của cấp số nhân, ta có:

 Cách 1: Đối với học sinh học ban cơ bản

Phân tích 1 i11  1 i251 i    2i 5 1 i  32i5 32i6 32 32  i

 Cách 2: Đối với học sinh học ban nâng cao

Phân tích 1 2 1 1 2 cos sin

Thay vào biểu thức, ta có: C  32 33  i

 Nhận xét: Để làm bài tập này đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng biến đổi

biểuthức lượng giác và công thức tính tổng của cấp số nhân.Qua đó giúp họcsinh ôn lại các kiến thức về công thức lượng giác, về cấp số nhân

 Nhận xét: Qua các bài tập trên, giáo viên nêu phương pháp tính các bài toán

chứa các biểu thức sau:  1 in; 3 i n;   1 i 3n

 Cách 1: Phân tích

   

2 3 3

Với cách làm tương tự, giáo viên yêu cầu học sinh về nhà làm bài sau: Hãy biểu

diễn các biểu thức sau dưới dạng lượng giác:

1  in; 1  i 3 ; n 3  in

 Trong tính toán trên tập hợp số phức, công thức nhị thức Niu-tơn ( )n

a bvẫn đúng khi ta thay hai số thực a b; bởi hai số phức Để học sinh hiểu rõ

hơn và biết áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn vào tính toán trên tập hợp sốphức, chúng tôi cho học sinh làm bài tập sau:

Bài 5: Tính tổng

Mặt khác :

2015 2015

Cho số phức z a bi  , a b,   Tìm căn bậc hai của z

 Nếu z 0 thì zcó một căn bậc hai là: 0

 Nếu z a  0thì z có hai căn bậc hai là:  a

 Nếu z a  0 thì z có hai căn bậc hai là: i a

 Nếu z a bi b  ,  0

 Gọi z1  x yi x y,   là căn bậc hai của z

 Khi đó ta có:

2 1

 Giải hệ tìm x, y Từ đó kết luận số căn bậc hai của z

Chú ý: Mỗi một số phức khác 0 luôn có hai căn bậc hai là hai số đối nhau

B Bài tập minh họa

Bài 1:Tìm căn bậc hai của số phức sau:

a) w  4 6 5i

b) w  1 2 6i

Lời giải:

a) Gọi z x yi x y ,   là một căn bậc hai của

Khi đó ta có: 

x y x y

b) Tương tự, ta có số phức w  1 2 6i có hai căn bậc hai là:

z1  2  i 3; z2  2 i 3

II.1.3 Bài tập tự luyện

Bài 1: Tính biểu thức sau:

2015 2015

II.2 CHUYÊN ĐỀ 2: Tìm số phức z thoả mãn điều kiện cho trước

II.2.1 Phương pháp:

2) (2z i )(1 i) (  z 1)(1 ) 2 2  i   i.

Học sinh khá giỏi có thể phát hiện ra cách làm của ý 1 nhưng ý 2 học sinh rất khóđịnh hướng cách làm Nhưng khi thay đổi cách hỏi thì ngay cả học sinh có lực họctrung bình cũng có thể định hướng được cách làm bài Sau khi học sinh làm songbài tôi mới thay đổi lại câu hỏi như trên, từ đó đưa ra phương pháp cụ thể của dạngcâu hỏi tìm số phức z như sau:

 Nếu trong điều kiện đề bài chỉ có duy nhất một kí hiệu z hoặc z thì ta quyvề bài toán thực hiện phép tính

 Nếu trong điều kiện đề bài có nhiều hơn một kí hiệu z hoặc z hoặc có kíhiệu môđun ta giải theo phương pháp sau:

 Gọi z a bi , a, b    

 Sử dụng giả thiết bài toán và khái niệm về số lập hệ hai phương trìnhvới hai ẩn a,b

 Giải hệ phương trình lập được trên tập hợp số thực và kết luận

 Có học sinh khá làm ý 1 bằng cách gọi z a bi , a, b     Tôi đã phântích cả 2 cách làm và các em nhận thấy ngay là việc quy về thực hiện phéptoán sẽ đơn giản hơn

II.2.2 Bài tập minh họa

Tìm số phức z biết:

a) ( 1).(2 ) 3

2 2

(z i ) là số ảo

d)|z  1| 1 và (1 i z)(  1) có phần ảo bằng 1

e) z2  2z là số thực và z 1

   (thỏa mãn điều kiện)

b) Gọi z a bi , a, b      z a bi  Từ giả thiết ta có:

2

(a bi )  (a bi ) 0   (a2 b2a) ( 2   ab b i )  0

Để (z i ) 2 là số ảo thì a2  (b 1) 2  0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

d) Gọi số phức z cần tìm dạng: z a bi , a, b      2 2

| |z  a b Từ giả thiếtta

e) Gọi số phức z cần tìm dạng: z a bi , a, b      | |z  a2 b2 Từ giả thiết

2 2

1

cos( ) 3 1

3 sin( )

3 1

b

b b

 Nhận xét: Với dạng toán này học sinh chỉ cần nắm được các khái niệm

cơ bản của số phức như: hai số phức bằng nhau, mođun của số phức, điềukiện để số phức là số ảo, số thuần ảo, số thực, xác định được phần thực,phần ảo của một số phức, dạng lượng giác của số phức và đặc biệt là cácphép toán và sự cẩn thận khi tính toán là các em có thể biết cách làm vàlàm đúng Sau khi học sinh đã làm tốt được dạng toán trên chúng tôithay đổi đề để bài tập không đơn điệu và quan trọng là giúp các em cóthể linh hoạt để định hướng cách giải khi gặp những bài tập cùng dạng.Cụ thể là:

a) Tính mođun của số phức w z 1 i   

b) Tính tổng lũy thừa bậc 4 của tất cả các số phức vừa tìm được

c) Tìm phần ảo của z hoặc hỏi là | |z  5 và (z i ) 2 là số thuần ảo

d) Tìm phần ảo của z2015

e) Viết dạng lượng giác của z

Bài 5: Tìm số phức z thoả mãn: z3là số thực và z 2

Bài 6: Tìm số phức z thoả mãn:

1 1 3 1

II.3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP HỢP SỐ PHỨC

II 3.1 Phương pháp giải phương trình az2 bz c  0 (a 0)

 Tính  b2  4ac

 Dựa vào giá trị của  để xác định công thức nghiệm (dựa vào mục I.1.4 )

II 3.2 Bài tập minh họa

Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

2

a z  z 

 Ngoài cách giải chuẩn mực là tính  hoặc '

 sau đó đọc nghiệm theo côngthức, thì ngay ở ý a tôi đã hướng dẫn học sinh cách làm như sau:

Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

 Kĩ năng đặt ẩn phụ để quy phương trình đã cho thành phương trình bậc 2 sẽđược minh họa trong bài tập sau:

Bài 3: Giải các phương trình:

+) z 0  không là nghiệm của phương trình

+) z 0 phương trình tương đương với:

6 0

t t

 TH1: Kiểm tra z 0 có là nghiệm của phương trình

 TH2: z 0,chia cả hai vế của phương trình cho z2 ta được:

t z  a b z , đưa phương trình đã cho thành phương trình bậc 2 ẩn t

 Khi giải phương trình đa thức trên tập hợp số phức thực chất chúng tôi đã ôntập cho học sinh các phương pháp giải phương trình trên tâp hợp số thực

Bài 4: Giải hệ phương trình với ẩn phức z z1 , 2 sau: 12 22

II.3.3 Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải các phương trình sau:

IV CHUYÊN ĐỀ 4: Biểu diễn hình học của số phức

IV.4.1 Dạng 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện cho trước

A Phương pháp

 Gọi z x yi x y R( ,  )  M x y( ; ) biểu diễn cho số phức z trong mặt phẳngtoạ độ

 Dựa vào dữ kiện bài toán, thiết lập mối liên hệ giữa x và y

 Dựa vào mối liên hệ đó, để kết luận tập hợp điểm trong mặt phẳng biểu diễncho số phức z

B Bài tập minh hoạ

Bài 1: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O 0;0   và bán kính R 1 

Giáo viên hướng dẫn khai thác: Sau khi học sinh hoàn thiện bài tập này, chúng

tôi thay đổi giả thiết và hướng dẫn các em cách làm tương ứng.

a1 ) z   1 x2 y2  1 Vậy tập hợp các điểm M là hình tròn tâm O, bán kính

R 1 

a2 ) z   1 x2 y2 1 Vậy tập hợp các điểm M là miền trong hình tròn tâm O, bán kính R 1 

miền trong hình tròn tâm O, bán kính R 1 

bán kính R 1 

Từ đó học sinh có thể tự trình bày lời giải cho bài tập:

b)1  z   2 Tập hợp những điểm M là những điểm nằm ngoài hình tròn tâm

( ; ) (0;1)

x xy

Ta có z 3i   z i MA MB Vậy M nằm trên đường trung trực của AB tức là

M nằm trên đường thẳngy 1 

Bài 3: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều

Suy ra tập hợp M là elíp (E) có 2 tiêu điểm là F F1 , 2

Gọi (E) có phương trình