skkn CHUYÊN đề số PHỨC và ỨNG DỤNG

Ví dụ 1: Giả sử Mz là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z... Tuy nhiên để thể thực hiện cách giải như vậy là ta đã dựa váo nhận xét sau: Nếu véctơ ur của mặt phẳng phức biểu

+)Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + bi = bi Đặc biệt i = 0 +

5 Môđun của số phức, số phức liên hợp

+) z = a +bi (a, b  ¡ ) thì môđun của z là z = a +b2 2

+) z = a +bi (a, b  ¡ ) thì số phức liên hợp của z là z = a - bi

+) Số phức z = a + bi (a, b  ¡ ) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ

độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức

Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo

+) Số phức z = a + bi (a, b  ¡ ) cũng được biểu diễn bởi vectơ ur  ( ; )a b , do đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b  ¡ ) cũng có nghĩa là OMuuuur

OMuuuur  ur  z , với M là điểm biểu diễn của z

8 Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k N

0

0 0

0

0 (1 ) 0

1

0 (1 ) 0

x x

y

y y

i z

Để biểu diễn một số phức cần dựa vào định nghĩa và các tính chất sau:

Nếu số phức z được biểu diễn bởi vectơ ur , số phức z' được biểu diễn bởi vectơ uur', thì

z + z' được biểu diễn bởi u urur'z - z' được biểu diễn bởi u ur ur';- z được biểu diễn bởi

u

r

b) Các ví dụ

Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z Tìm tập

hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau

a) z   1 i 2; b) 2 z  i z

Bài giải

a) Đặt z = x + yi suy ra z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i Nên hệ thức z   1 i 2 trở thành

2 2

( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1) 4.

b) Gọi A (- 2 ; 0), B(0 ; 1) Khi đó 2 z  i z     z ( 2) z i hay là

M(z)A = M(z)B Vậy tập hợp các điểm M(z) là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Nhận xét: Với phần b ta có thể thức hiện cách giải như đã làm ở phần a Tuy nhiên để thể thực hiện cách giải như vậy là ta đã dựa váo nhận xét sau:

Nếu véctơ ur của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ ur là

ur  z , và từ đó nếu các điểm A, B theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì

2 9

Ta có z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

điểm M nằm trên đường tròn (C) và gần O nhất Do đó M là giao điểm của (C) và đường thẳng OI, với M là giao điểm gần O hơn

Ta có OI = 4 9   13 Kẻ MH  Ox Theo định lí ta lét có

3 13

Lại có

3 13

2 13 3 26 3 13 2

4 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân;

b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông

PHẦNII:CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC- PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Định nghĩa căn bậc hai của số phức

Cho số phức w mỗi số phức z thoả mãn z2

= w được gọi là một căn bậc hai của số phức w

a) Nếu w là số thực

+ w < 0 thì có hai căn bậc hai: wi &  wi

+ w 0 thì có hai căn bậc hai: w &  w

b) Nếu w là số phức khi đó ta thực hiện các bước:

+ Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy là một căn bậc hai của w tức là: 2

Chú ý: Theo (2) ta có nếu b > 0 thì x, y cùng dấu Nếu b < 0 thì x, y trái dấu

2 Công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức

Sử dụng công thức tính căn bậc hai của số phức để tính căn bậc hai

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm nghiệm của phương trình với chú ý phải đưa về đúng dạng của phương trình

x y

x y

 



  

Vậy -5 + 12i có 2 căn bậc hai là z1 =2+3i và z2 = -2-3i

b) Tương tự ta gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 8+ 6i tức là

x y

x y

 



  

Vậy 8 + 6i có 2 căn bậc hai là 3+i và -3-i

c) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 33 - 56i tức là

x y

x y

 



 

Vậy 2 căn bậc hai của 33 - 56i là 7- 4i và -7+i4

d) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -3 +4i tức là

x y

x y

 



  

Vậy 2 căn bậc hai của -3 + 4i là 1 + 2i và -1-2i

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

 

2 2

) 3 2 0; (1)) 1 0; (2)

a) Ta có = 12- 4.3.2 =-23<0 nên ta có hai căn bậc hai của là: i 23 & i 23

( Các nghiệm của pt (3) được gọi là căn bậc ba của 1)

Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu một phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm

0

a b  c (1) Lấy liên hợp hai vế của (1) và sử dụng tính chất liên hợp của số thực bằng chính nó thì ta được:  2

2

a b   c a  b  c Điều này chứng tỏ  là nghiệm của pt

áp dụng: Chứng tỏ 1+i là một nghiệm của phương trình x2 3x  3 5i 0 Tìm nghiệm còn lại của pt đó

Ví dụ 5: Phát biểu và chứng minh định lí đảo và thuận của định lí Vi-et của phương

Điều này chứng tỏ  ; là nghiệm của (1)

áp dụng: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm   4 3 ;i    2 5i

1 22

Bài 2: Tìm các phần thực phần ảo của: (2- 2i)13

Bài 3: Viết các số phức sau dưới dạng đại số:

a, 7

(1 )

z i  b,

9 5

( 3 1) (1 )

Z  Z

d)CMR Z Z '  Z Z'Bài 5: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức:

thỏa điều kiện:

(1 )

2 1 1

i z i

  



b, Tìm số phức ở trên có mô đun nhỏ nhất, mô đun lớn nhất

Bài 7: Trong các số phực thỏa : 2 2 3

4 5 0

Z  Z  Tính : 2011 2011

b, Giải phương trình: 4Z 3 7i Z 2i

   

 trên C Bài 119: Tìm số phức thỏa: Z   (2 i) 10và Z Z  25

Bài 20: Trong mặt phẳng oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa:

i Z

i





 Tìm mô đun của số phức: Z iZ

PHẦN 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

A Kiến thức cần nhớ

I Số phức dưới dạng lượng giác

1 Acgumen của số phức z 0

Cho số phức z 0 Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Khi

đó số đo (radian) của mỗi góc lượng Giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một

Acgumen của z Chú ý: + Nếu là Acgumen của z thì mọi Acgumen của z đều có dạng:

 + k2, k  Z

+ Acgumen của z 0 xác định sai khác k2, kZ

2 Dạng lượng giác của số phức

Cho số phức Z = a+bi, (a, bR), với r = 2 2

b

a  là modun của số phức z và  là Acgumen của số phức z

Dạng z = r (cos+isin) được gọi là dạng lượng giác của số phức z 0, còn

dạng

z = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức z

II Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Nếu z = r(cos+isin), z' = r' (cos'+isin') (r 0và r'  0) thì

III Công thức Moa-Vrơ và ứng dụng

1 Công thức Moa- Vrơ

r(cos  isin )  n r n(cosn isinn )

cos  isin n  cosn isinn , nN*

r   r từ đó suy ra acgumen của z

Sử dụng công thức lượng giác của số phức cho ta z = r (cos  isin  )

Ví dụ 2: Tuỳ theo góc  , hãy viết số phức sau dưới dạng lượng giác

(1 cos   isin )(1 cos    isin ) 

+ Nếu sin   0, thì từ (*) có z = 2sin cos( ) sin( )

+ Nếu sinh = 0, thì z = 0, nên không có dạng lượng giác xác định

2 Các bài tập tính toán tổng hợp về dạng lượng giác của số phức

9 9

5 9

i

i i i i

2 1

Do đó phương trình trên có đúng ba nghiệm ứng với ba giá trị của k là

Với k = 0 ta có z0 = cos0 + isin0 = 1;

Với k = 1 ta có z1 = cos2 sin2 1 3;

phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z0, z1, z2 Khi đó

AOB BOC

Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác đều

4950C49)3(i

250C2)3(i

150)C3(i

050

C5021

50i

4850C48)3(

4650C46)3(

450C4)3(

250C2)3(

4750C47)3(

550C5)3(

350C3)3(

150C3

13

100πisin

3

100πcos

503

2πisin3

2πcos

50i

32

50C253

4850C243

4650C233

450C23

2503C

050

  20

20C

1920C3i

1820C2)3(

220C18)3(

120C19)3i(

020C20)3(

18203C

1620C23

620C73

420C8220C90

1720C3)3(

320C17)3(

120C

20πcos202

206

πisin6

πcos202

202

1i2

3202

20

i

3

i 3 19 2 19 2 i 2

3 2

1 20 2 3

4π isin 3

18203C

1620C23

620C73

420C83

220C90

2830C28x

330C3x

230C2x

130xC

030

Đạo hàm hai vế ta có:

30C29x30

2930C28x29

2830C27x28

330C2x3

230xC2

130

Cho x = i ta có:

3029C

273027C

253025C

7307C

5305C

3303C

130

3030C

283028C

263026C

8308C

6306C

4304C

230

Mặt khác:

29230

294

πisin4

πcos

29230

  i 15.215 15.215i

2

22

229

273027C

253025C

7307C

5305C

3303C

283028C

263026C

8308C

6306C

4304C

1920C19x)3(

320C3x)3(

220C2x)3(

120x)C3

19319

1720C

17317

520C

535

320C

333

1820C918.3

620C36.3

420C24.3

πcos19.2320

19i2

32

119.2320

i1930.219

.2310

i2

32

119.2320

3

19πisin3

19πcos19

S = 20

20C1020.3

1820C918.3

620C36.3

420C24.3

1415C14x

1315C13x

315C3x

215C2x

115xC

015

Nhân hai vế với x ta có:

15C16x

1415C15x

1315C14x

315C4x

215C3x

115C2x

015

Đạo hàm hai vế ta có:

(1 + x)15 + 15x(1 + x)14 =

1515C15x16

1415C14x15

1315C13x14

315C3x4

215C2x3

115xC

121513C

6157C

4155C

2153C

131514C

7158C

5156C

3154C

115

πcos

14215i

154

πisin4

πcos

152

2

22

215

24

14πisin4

14πcosi715.24

15πisin4

15πcos

15

2

i7287.2i72714.27

15.2i

N = 15

1516C

131514C

7158C

5156C

3154C

1

15

C) Khai triển (1 + x) n , cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị

Căn bậc ba của đơn vị: Giải phương trình: x3 – 1 = 0

Ta được các nghiệm là x1 = 1; i

2

32

12

2

32

13

x   Các nghiệm đó chính là các căn bậc ba của 1

2

32

1

2

32

12

1920C19x

1820C18x

320C3x

220C2x

120xC

020

20C

1920C

1820C

320C

220C

120C

020

C        (1)

Cho x = ε :(1 + ε )20 = 19 ε2C2020

20εC

1820C

320C

220C2ε

120εC

020

Cho x = 2ε :(1 + 2ε )20

20εC

1920C2ε

1820C

320C

220εC

120C2ε

020

Xét khai triển:

20C20x

1920C19x

1820C18x

320C3x

220C2x

120xC

020

1920C21x

1820C20x

320C5x

220C4x

120C3

1920C

1820C

320C

220C

120C

020

1920C

1820C2ε

420C

320C2ε

220εC

120C

020

1920C

1820εC

320εC

220C2ε

120C

020

1920C19x

1820C18x

320C3x

220C2x

120xC

020

Đạo hàm hai vế ta có:

20C19x20

1920C18x19

1820C17x18

320C2x3

220xC2

120

Nhân hai vế (*) với x ta có:

20C20x20

1920C19x19

1820C18x18

320C3x3

220C2x2

120

Cho x = 1 ta được:

20C20

1920C19

1820C18

420C4

320C3

220C2

1

20

Cho x = ε ta có:

20ε (1+ε )19

20C2ε20

1920εC19

1820C81

420εC4

3203C

220C2ε2

120

1920C2ε19

1820C81

420C2ε4

3203C

220εC

3 1

Bài 4: Tìm các căn bậc 5 của 1? CMR tổng của chúng bằng 0?

Bài 5: Rút gọn hết dấu căn ở mỗi biểu thức sau

a, 4  1 b, 8 1 c, 1 i d, 3 i

2

3 2

1 



Bài 6: Cho số phức z = a + bi Một hình vuông tâm là gốc toạ độ 0, các cạnh song

song với các trục toạ độ và có độ dài bằng 4 Xác định a,b để tìm điểm biểu diễn của

số thực z

a, Nằm trong hình vuông

b, Nằm trên đường chéo củahình vuông

Bài 7: Chứng minh rằng

a z1z2  12+ z1z2 2

= (1+ z1 2)(1+ z2 )2

b z1z2

2 2 1

1 2

( 2

1

z

z z

z z

Bài 8: Tính

a cos a + cos (a+b) + cos (a+2b) +…+ cos(a+nb)

b sin a + sin (a+b) + sin (a+2b) +…+ sin (a+nb)

Bài 9:Tính các tổng sau

30C

29329

2730C

27327

530C

535

330C

333

2830C1428.3

630C36.3

430C24.3

222521.22C

8257.8C

6255.6C

4253.4C

2252C

232522.23C

9258.9C

7256.7C

5254.5C

3252.3C

182019C

162017C

6207C

4205C

2203C

172018C

152016C

7208C

5206C

3204C

97100C297

95100C295

7100C27

5100C25

3100C23

98100C298

96100C296

8100C28

6100C26

4100C24

202520C

8258C

5255C

3740C237

1040C210

740C27

440C24

3540C235

1140C211

840C28

540C25

3640C236

940C29

640C26

340C23