SKKN PHÉP NGHỊCH đảo

OA OB CÁCH XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN QUA PHÉP NGHỊCH ĐẢO.. Một đường thẳng và một đường tròn có thể coi là ảnh của nhau trong hai phép nghịch đảo, nếu đường thẳng không

I-ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Trong chương trình phổ thông, chúng ta được học bốn phương pháp giải toán hình:

1 Hình học tiên đề (được học ở THCS, lớp 11 và 12)

2 Hình học véc tơ

3 Hình học giải tích

4 Phép biến hình

Trong bốn phương pháp trên thì phép biến hình chủ yếu dùng để giải các bài toán về dựng hình, bài toán quỹ tích và bài toán chứng minh các tính chất hình học khó, đặc biệt

là phép nghịch đảo có ứng dụng quan trọng trong việc giải quyết ba dạng bài trên

2.Tuy nhiên phép nghịch đảo không được dạy trong chương trình phổ thông, chỉ dùng cho học sinh giỏi và học sinh chuyên toán Vì lý do trên nên tôi trình bày các tính chất

và ứng dụng thường gặp đối với các dạng toán dựng hình, quỹ tích và tính chất hình học khó, các bài toán trong các đề thi học sinh giỏi và vận dụng để chứng minh các định lý hình học.

II-GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

A- LÝ THUYẾT

1.1.Định nghĩa (phép nghịch đảo trong mặt phẳng).

Cho điểm O và số thực k ≠ 0 Với mỗi điểm M trong mặt phẳng, M khác điểm O, ta tìm được điểm M’ trên đường thẳng OM sao cho OM OM ' =k

Gọi là phép nghịch đảo cực O , phương tích k Ta ký hiệu là f(O, k)

f : mp → mp

M a M’ sao cho OM OM ' =k

M’ gọi là ảnh của M qua f(O, k) Ký hiệu là f(M) = M’

1.2 Tính chất

a) Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp nghĩa là f(M) = M’ thì f(M’) = M vì '

OM OM =k= OM OM'

b) Nếu k > 0 thì hai điểm M, M’ nằm cùng phía với O Đường tròn (O; k ) gọi

là đường tròn nghịch đảo, mọi điểm thuộc đường tròn nghịch đảo đều là điểm kép tức là

f(M) = M Hơn nữa tập hợp các điểm kép này là đường tròn (O; k )

Nếu k < 0 thì hai điểm M, M’ nằm về hai phía đối với O Trường hợp này không

có điểm kép đối với f(O; k), đường tròn (O; k ) gọi là đường tròn ảo Khi đó M→ O

thì M’→ ∞

c) Phép nghịch đảo f(O; k) với k > 0, f : M a M’ thì mọi đường tròn đi qua M, M’ đều trực giao nhau

d) Nếu hai đường tròn (O1) và (O2) lần lượt trực giao với (O; k ) ( k > 0) và

(O1) , (O2) cắt nhau tại hai điểm thì hai điểm này là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo

f(O; k ).

e) Cho phép nghịch đảo f(O; k) Khi đó với hai điểm A, B không thẳng hàng với cực nghịch đảo và f(A) = A’ ; f(B) = B’ thì 4 điểm A, A’, B, B’ cùng thuộc một đường tròn

f) Phép nghịch đảo f(O; k) : A a A’

B a B’ thì A’B’ = k AB.

OA OB

CÁCH XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN QUA PHÉP NGHỊCH ĐẢO.

1.Định lý 1 Cho đường thẳng d và phép nghịch đảo f(O; k) Khi đó nếu d đi qua cực O

thì f(d) = d Nếu d không đi qua O thì f(O; k) biến d thành đường tròn đi qua cực O

2 Định lý 2 Cho đường tròn (C) và phép nghịch đảo f(O; k) Khi đó nếu (C) đi qua cực

O thì f(O; k) biến (C) thành đường thẳng Nếu (C) không đi qua O thì f(O; k) biến (C) thành đường tròn (C’) không đi qua O

3 Định lý 3 Một đường thẳng và một đường tròn có thể coi là ảnh của nhau trong hai

phép nghịch đảo, nếu đường thẳng không tiếp xúc với đường tròn

4 Định lý 4 Phép nghịch đảo bảo toàn góc giữa hai đường tròn ( hay góc giữa đường

tròn và đường thẳng, hay góc giữa hai đường thẳng )

(Định nghĩa góc giữa hai đường cong: hai đường cong (C 1 ) và (C 2 ) cắt nhau.Tại một điểm chung A ta dựng các tiếp tuyến với hai đường cong Khi đó góc giữa hai đường cong là góc giữa hai tiếp tuyến tại A.)

5 Định lý 5 Tích hai phép nghịch đảo cùng cực O : f(O; k) và f’(O; k’) là phép vị tự

tâm O, tỉ số k'

k Ký hiệu f fo '.

M→f(O;k) M'f'(O;k')→M"

'

f fo =V(O;k'

k )

PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC.

Cho f(O; k) trong đó O(0; 0) và M(x; y) ; M’(x’; y’) là ảnh của M qua phép nghịch đảo f(O; k), khi đó OM OM ' = ⇔k OM OMuuuur uuuuur ' =k ⇔x.x’ + y.y’ = k và M’ ∈OM

công thức xác định tọa độ M’ ( Ta sẽ nghiên cứu phần sau)

B- ỨNG DỤNG

Bài 1 Cho tam giác đều ABC và điểm O bất kỳ Chứng minh rằng tổng của hai trong

ba đoạn OA, OB, OC không nhỏ hơn đoạn còn lại

Hướng dẫn:

TH1: O không nằm trên cạnh nào của tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ là ảnh của A, B, C qua f(O; k), khi đó có :

Ta có A’B’ + B’C’ ≥A’C’

⇒

k

AB

k

B C

k AC

⇔ OA + OC ≥ OB (vì ∆ABC đều)

Dấu “=” khi A’B’ + B’C’ = A’C’ hay O nằm trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

TH2 : O nằm trên 1 cạnh của ∆ABC, giả sử là cạnh AB

+) Nếu O nằm trong đoạn AB :

OA + OB = AB = AC ≥ OC (vì ·AOC OAC≥· =600) Trường hợp khác luôn đúng

+) Nếu O nằm ngoài đoạn AB làm tương tự có đpcm

Bài 2

Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong một đường tròn khi và chỉ khi

AC.BD = AB.CD + AD.BC ( Định lý Ptôlêmê)

Hướng dẫn:

Xét f(D; k), gọi A’, B’, C’ là ảnh của A, B, C qua phép nghịch đảo f(D; k)

Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi A’, B’, C’ thẳng hàng

Hình 1

A’, B’, C’ thẳng hàng khi A’C’ = A’B’ + B’C’ (hình 2).

⇔AC.BD = AB.CD + AD.BC (đpcm)

Hình 2

Bài 3.

Chứng minh rằng khoảng cách d giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp của cùng một tam giác ABC thỏa mãn hệ thức :

d =R − Rr ( R và r : là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ABC∆ )

Hướng dẫn:

Gọi P là tâm đường tròn nội tiếp ABC∆ ,

M, N, E là tiếp điểm (hình 3)

Xét phép nghịch đảo f(P ; r2):

Gọi A’, B’, C’ là giao điểm của AP với MN

BP với ME, PC với NE

Khi đó: A’, B’, C’ là ảnh của A, B, C qua

phép nghịch đảo f(P ; r2)

Ta lại có A’, B’, C’ là trung điểm MN, ME,

NE ∆A B C' ' ' nội tiếp đường tròn bán

kính 2r

Ta có ∆A B C' ' ' là ảnh của

ABC

∆ qua phép vị tự tâm P tỉ số 2r2 2

với d là khoảng cách từ P đến tâm đường tròn

ngoại tiếp ABC∆

Hình 3

2 2

r

r

⇒ =

2 = R2 – rR (đpcm)

DẠNG 2 Dựng hình

Bài 1

Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm A, B Trên đường thẳng AB lấy điểm C nằm ngoài hai đường tròn Hãy dựng đường tròn (O) qua C và đồng thời tiếp xúc (O1) và (O2)

Hướng dẫn:

Phân tích

Gọi (O) là đường tròn cần dựng( hình 4)

Xét phép nghịch đảo f(C;k):

với k = CA CB , khi đó f biến (O 1) và

(O2) thành chính nó, biến (O) thành đường

thẳng (d) tiếp xúc với (O1) và (O2)

Cách dựng:

Kẻ đường thẳng (d) là tiếp tuyến chung

của (O1) và (O2) Xét phép nghịch đảo

f(C; k) với k = CA CB , khi đó f(d) = (O)

cần tìm

Chứng minh:

f(C; k) với k = CA CB biến (O 1) và (O2)

thành chính nó, f biến d thành đường tròn

(O) qua C, do d tiếp xúc (O1) và (O2) nên

(O) tiếp xúc (O1) và (O2)

(O1) và (O2) cắt nhau nên có 2 tiếp tuyến

Vậy bài toán có hai nghiệm

Bài 2

Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhau và đường thẳng d tiếp xúc với (O1)

và (O2) Dựng đường tròn (O) tiếp xúc với (O1) và (O2) và tiếp xúc d

Hướng dẫn:

Phân tích:

Gọi (O) là đường tròn cần dựng A, B là tiếp điểm của d và (O1) và (O2) ( hình 5)

Xét phép nghịch đảo f(A; k) với k = AB2 Khi đó f(A; k) biến (O2) thành chính nó, biến

d thành d , biến (O1) thành d1 // d và tiếp xúc với (O2), f(A; k) biến (O) thành (O’) tiếp xúc với d, d1 và (O2)

Cách dựng:

Xét phép nghịch đảo f(A; k) với k = AB2 , gọi d1 là ảnh của (O1), dựng đường tròn (O’) tiếp xúc d, d1 và (O2) Khi đó đường tròn (O) là ảnh của (O’) qua f(A; k)

Chứng minh :

Phép nghịch đảo f(A; k) với k = AB2 biến (O’)

thành (O) Do (O’) tiếp xúc với d, d1 và (O2) nên

(O) tiếp xúc với (O1), (O2) và d

Biện luận :

Nếu A, B phân biệt (hình 5) thì có 2 đường

thẳng d như thế, do đó có hai đường tròn(O)

cần tìm

Nếu A và B trùng nhau thì bài toán có vô số

nghiệm

Hình 5

Bài 3

Cho đường tròn tâm O đường kính AB Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại A,

M là một điểm thuộc đường tròn Dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với đường tròn (O) tại

M và tiếp xúc với đường thẳng d

Hướng dẫn:

Phân tích :

Giả sử dựng được đường tròn (I) Xét phép nghịch

đảo f(A; k) với k = AB2 , khi đó ảnh của (O) là đường

thẳng d1 tiếp xúc (O) tại B f(M) = M’ ⇒M'∈d1.

Khi đó ảnh của (I) là đường tròn (I’) tiếp xúc d1 tại M’

và tiếp xúc d (hình 6)

Cách dựng :

Dựng d1 là ảnh của (O) qua phép nghịch đảo f(A; k)

với k = AB2 , M’ là ảnh của M qua f(A; k)

Dựng (I’) tiếp xúc d1 tại M’ và tiếp xúc với d, khi đó (I)

là ảnh của (I’) qua f(A; k)

Chứng minh:

Do (I’) tiếp xúc với d1 tại M’ nên (I) tiếp xúc (O) tại M

Lại có (I’) tiếp xúc với d nên (I) tiếp xúc với d

Biện luận:

Do có một đường tròn (I’) nên bài toán có một nghiệm

Hình 6

DẠNG 3: Tính các đại lượng hình học

Bài 1.

Cho đường tròn (I; r) nội tiếp trong tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q là tiếp điểm của (O;r) với AB, BC, CD, DA Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R), gọi a là khoảng cách giữa hai tâm của hai đường tròn Tính tổng MP2 + NQ2

Hướng dẫn:

Xét phép nghịch đảo f(I; r2) :

1 1 1

→

→

→

→

A1, B1, C1, D1 là các điểm xác định trên (hình 7)

Có A1, B1, C1, D1 là trung điểm của MQ, MN, NP

PQ ⇒tứ giác A1B1C1D1 là hình bình hành Do

tứ giác ABCD nội tiếp ⇒tứ giác A1B1C1D1

cũng nội tiếp ⇒hình bình hành A1B1C1D1 là

hình chữ nhật

A1B1C1D1 nội tiếp đường tròn bán kính Hình 7

R’ = 2R r. 2 2 2R r. 22

2R’ = A1C1 = 1 12 1 12 1 2 2

2

2

16 'R MP NQ MP NQ 16 2R r 2

− .

Bài 2

Cho đường tròn (I; R) và điểm O∉(I; R), khi đó phép nghịch đảo f(O; k) biến (I; R) thành (I’; R’) Tính R’

Hướng dẫn:

Gọi A, B là giao điểm của OI với (I; R)(hình 8)

Gọi A’, B’ là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo f(O; k)

Khi đó

−

Bài 3 Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d tạo với (O; R) một góc α Gọi (O’) là ảnh của d qua phép nghịch đảo f(O; R2)

a) Tính bán kính của đường tròn (O’) theo R và α

b) Chứng minh rằng hai đường tròn (O) và (O’) có tiếp tuyến chung Tính độ dài tiếp tuyến chung đó.( độ dài đoạn thẳng nối hai tiếp điểm)

Hướng dẫn:

a) (O’) là ảnh của d qua f(O; R2) (hình 9)

(xác định ảnh của 3 điểm trên d)

Do tính chất bảo toàn góc nên góc giũa (O) và (O’)

bằng α nên R’ =

2cos

R

α .

do d cắt (O) mà ảnh của d là (O’) ảnh của (O) là (O)

nên (O’) cắt (O) ⇒hai đường tròn có tiếp tuyến

chung

Áp dụng tính chất tiếp tuyến chung của hai đường

tròn nên khoảng cách giữa hai tiếp điểm của tiếp Hình 9

tuyến chung : R 1 os

os

c

α

DẠNG 4: Tập hợp điểm.

Bài 1.

Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định của (O) Điểm M di động trên (O), qua

M dựng đường tròn (O1) tiếp xúc AB tại A Đường tròn (O2) qua M và tiếp xúc AB tại

B Gọi M’ là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2) Tìm tập hợp M’ khi M thay đổi

Hướng dẫn:

Có MM’ là trục đẳng phương của (O1) và (O2)

Gọi I là trung điểm của AB nên I ∈MM’,

có IM IM '=IA2=IB2 (hình 10)

Xét phép nghịch đảo f(I; IA2) nên M’ là ảnh của

M qua f(I; IA2)

Gọi (O’) là ảnh của (O) qua f(I; k) với k = IA2

Do M∈( )O ⇒M' ( ')∈ O

Vậy tập hợp M’ là đường tròn (O’)

Cách xác định (O’)

Xét OAH∆ vuông tại A (hình 10)

Đường tròn (O’) cũng là ảnh của (O) qua phép vị

tự tâm I tỉ số 1

k

IA IB=− nên O’ đối xứng O qua AB Hình 10

α

Bài 2

Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, d là đường trung trực của AB Đường tròn (O) thay đổi qua A, B cắt d tại D và E, các đường thẳng CD và CE cắt đường tròn tại D’ và E’ Tìm tập hợp điểm D’ và E’

Hướng dẫn :

Xét phép nghịch đảo f(C; k) với k = CA CB

Khi đó f(D) = D’ và f(E) = E’ (hình 11)

Gọi (I) là ảnh của d qua f(C; k)

Do D, E nằm trên d nên D’, E’ nằm trên (I)

Vậy tập hợp D’, E’ nằm trên (I)

Cách xác định (I) :

d AB⊥ tại H ⇒H là trung điểm của AB

Vậy H là điểm cố định ⇒ f(H) =I

Khi đó CI CH CA CB =

Hình 11

Bài 3.

Cho hai đường tròn (O; R), (O’; R’) với (R > R’) và nằm ngoài nhau Trên đường tròn (O), lấy điểm M Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O’) Với A, B là tiếp điểm Gọi H là giao điểm của AB và MO’ Tìm tập hợp H khi M thay đổi trên (O) Hướng dẫn:

Xét phép nghịch đảo f(O’; R’2), khi đó

f(M) = H

Thật vậy có O H O M O A' ' = ' 2=R'2

Gọi (O1) là ảnh của (O) qua f(O’; R’2)

⇒H (∈ O1) (hình 12).

Vậy tập hợp điểm H là đường tròn (O1)

Hình 12

Bài 4:

Cho (O) và điểm S nằm ngoài (O) Hai cát tuyến lưu động của S lần lượt cẳt (O) tại A, A’ và B, B’ Gọi M giao điểm thứ hai của (SAB’) và (SBA’) Tìm quỹ tích điểm M

Hướng dẫn:

SA SA =SB SB =SO −R =k

Xét phép nghịch đảo f(S; k) :

f :

' ' ( ) ( )

→

→

→

→

→

Gọi M’ là giao điểm A’B và AB’ (hình 13)

Vậy M là ảnh của M’ qua f(S; k)

Bài 5

Cho đường tròn (O; R), điểm M cố định không trùng với O và không nằm trên (O) Đường thẳng d qua M cắt (O) tại A, B Gọi C là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A, B Tìm tập hợp điểm C khi d biến thiên

Hướng dẫn:

Gọi H là giao điểm của OC và AB (hình 14)

Ta có OH OC R = 2 Xét phép nghịch đảo f(O; R2):

f(H) = C Vì H thuộc đường tròn đường kính OM

mà ảnh của (OHM) qua f(O; R2) là đường thẳng

d nên C nằm trên d

Gọi H1 và H2 là giao điểm của (O) và ( OMH)

M’ là ảnh của M qua f(O; R2) ⇒OM.OM’ = R2

+) Nếu OM < R thì OM’ > R thì d và (O) không có

điểm chung, lúc đó tập hợp C là cả đường thẳng d

+) Nếu OM > R thì OM’ < R thì d cắt (O) tại H1 và H2

Khi đó tập hợp C là đường thẳng d, bỏ đoạn H1H2

Hình 14

C- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO.

1 Ảnh của một điểm.

Cho hệ trục Oxy M(x; y), O(0; 0), phép nghịch đảo f(O; k): f(M) = M’(x’ ;y’)

⇒ = ⇔uuuur uuuuur=

⇔x x y y k '+ '= (1) Lại có O, M, M’ thẳng hàng nên ' (2)

'

λ λ







=

Từ (1) và (2) 2k 2

λ

⇒ =

+

k x x

k y y















= +

⇒

= + (k ≠0, 2x +y2≠0)

2 Ảnh của đường thẳng qua phép nghịch đảo

Trong hệ trục Oxy cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và phép nghịch đảo f(O; k)

Với O(0; 0) Gọi d’ là ảnh của d qua phép nghịch đảo f(O; k) Viết phương trình d’

Lấy M(x; y) bất kỳ thuộc d Gọi f(M) = M’(x’; y’), do phép nghịch đảo có tính chất đối

hợp nên M = f(M’)

'

'

k x x

k y y















= +

⇒

= +

M d∈ '2akx''2 '2bky''2 c 0

Phương trình d’ : akx bky c x+ + ( 2+y2) 0=

TH1:

Nếu c = 0 ⇔ ∈O d thì phương trình d’: akx bky+ =0, khi đó d’ là đường thẳng trùng d TH2 :

Nếu c≠0 ⇔ ∉O dthì phương trình d’ : 2x y2 ak x bk y 0

+ + + = , khi đó d’ là đường tròn tâm I( ; )

− − , bán kính R = 2 2

2

c + và O∈d’

Kết luận:

+) Nếu d đi qua cực của phép nghịch đảo thì ảnh của d là chính nó

+) Nếu d không đi qua cực của phép nghịch đảo thì ảnh của d là đường tròn qua cực nghịch đảo

3 Ảnh của đường tròn qua phép nghịch đảo.

Trong hệ trục Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 +2ax + 2by + c = 0 và phép nghịch đảo f(O; k) với O(0; 0) và k ≠0 Xác định ảnh của (C) qua phép nghịch đảo f(O; k)

Lấy M(x; y) bất kỳ thuộc (C), f(M) = M’(x’; y’), khi đó M = f(M’)

'

'

k x

x

k y

y















=

+

⇒

=

+

M( 2 ' 2

k x

'

k y

x +y ) ∈(C)

0

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép nghịch đảo f(O; k) M ( )∈ C ⇔M' ( ')∈ C

Phương trình (C’) : c x( 2+y2) 2+ kax+2kby k+ 2=0

+) Nếu c = 0 ⇔ ∈O ( )C thì phương trình (C’): 2kax+2kby k+ 2=0, khi đó (C’) là

đường thẳng

+) Nếu c 0≠ ⇔ ∉O ( )C thì phương trình (C’): x2 y2 2ka x 2kb y k2 0

Khi đó (C’) là đường tròn tâm I( ka; kb

− − ), bán kính R’ = k a b c2 2

c R.

Kết luận:

a) Ảnh của một đường tròn đi qua cực nghịch đảo là một đường thẳng

b) Ảnh của một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo là một đường tròn không qua cực nghịch đảo

Chú ý:

+) Từ cách xác định ảnh của đường tròn ở trên ta thấy ảnh của đường tròn qua phép nghịch đảo f(O; k) và phép vị tự V(O; k

p ) là trùng nhau, trong đó p là phương tích của

O đến đường tròn

+) Phép nghịch đảo biến đường tròn thành đường tròn thì tâm có thể không biến thành tâm

D- BÀI TẬP ÁP DỤNG.

Bài 1 :

Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Giả sử M là một điểm không thuộc (O) Các đường thẳng MA, MB, MC cắt lại đường tròn (O) lần lượt tại các điểm A’, B’, C’

a) Chứng minh rằng với M ở trong (O) ta có: S A B C' ' ' MA MB MC' . ' . '

b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho tam giác A’B’C’ vuông

HD: Xét phép nghịch đảo f(M; k) với k = MA MA '