Cuc tri ham so on thi thpt qg mon toan 7lkal

Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0... Tìm cực trị của các hàm số sau:... Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0... Chứng minh rằng hàm số luôn

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng toán 1 TÌM CỰC TRỊ

Khi đó f x 0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f kí hiệu y CĐ

b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm

0

x sao cho  a b; D và

   0

f x  f x với mọi x   a b; \ x0

Khi đó f x 0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f kí hiệu y CT

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá tri cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị , nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm

 

x0 ;f x0  được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f

Điều kiện cần để hàm số có cực trị:

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0

Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x0 thì f x0  0

Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: có hai dấu hiệu:

- Cho y f x  liên tục trên khoảng (a; b) chứa x0, có đạo hàm trên các khoảng a x; 0 và

x b0 ; :

Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tại x

7 / 3



- Cho y f x  có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b) chứa x0

Nếu f x0  0 và f x0  0 thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f x0  0 và f x0  0 thì f đạt cực đại tại x0

Nếu f x i  0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x i

Nếu f x i  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x i

Bài toán 1 Tìm cực trị của các hàm số sau:

Bài toán 4 Tìm cực trị của hàm số

Vậy hàm số đạt cực đại tại x  2, yCĐ   4 và đạt cực tiểu tại x 0, yCT  0

Bài toán 5 Tìm cực trị của hàm số

x y x

Ta có y k   2 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm: xk ,k ,y CT   2

Bài toán 8 Tìm cực trị của hàm số

a) y x sin 2x 2 b) y  3 2cosx cos 2 x

Giải

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0

Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x0 thì f x0  0

Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: có hai dấu hiệu:

- Cho y f x  liên tục trên khoảng (a;b) chứa x0, có đạo hàm trên các khoảng a x; 0và

x b0 ; :

Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tại x

- Cho y f x  có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b) chứa x0:

Nếu f x0  0 và f x0  0 thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f x0  0 và f x0  0 thì f đạt cực đại tại x0

Chú ý:

1) Giá trị cực đại (cực tiểu) f x 0 của hàm số f nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D; f x 0 chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm

số f trên một khoảng (a;b) nào đó chứa điểm x0

2) Bài toán đơn điệu, cực trị không được đặt ẩn phụ

Bài toán 1 Chứng minh hàm số f x  x không có đạo hàm tại x 0 nhưng đạt cực trị tại điểm đó

Bài toán 2 Chứng minh hàm số   2 0

BBT trên khoảng    ; 

Vậy hàm số đạt cực đại tại x 0 và y CĐ y 0  0.

Bài toán 3 Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu:

Vậy hàm số luôn luôn có một cực đại và một cực tiểu

Bài toán 4 Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu:

vậy hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu

Bài toán 6 Chứng minh đồ thị  

và khoảng cách giữa cực đại, cực tiểu không đổi

DẠNG TOÁN 3 BÀI TOÁN CÓ THAM SỐ

Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0

Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x0 thì f x0  0

Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: có hai dấu hiệu:

- Cho y f x  liên tục trên khoảng (a;b) chứa x0, có đạo hàm trên các khoảng a x; 0 và

x b0 ; :

Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tại x0

- Cho y f x  có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b) chứa x0:

Nếu f x  0 và f x  0 thì f đạt cực tiểu tại x

Nếu f x0  0 và f x0  0 thì f đạt cực đại tại x0

Hàm đa thức: chia đạo hàm yq x y   r x y0 r x 0

Hàm hữu tỉ: đạo hàm riêng tử, riêng mẫu

u x u x y

Với m 1 thì y   36x 12 nên y 1    24 0, hàm số đạt cực đại tại x 1

Với m  2 thì y  36x 24 nên y 1  12  0, hàm số đạt cực tiểu tại x 1 (loại)

Vậy với m 1 thì hàm số đạt cực đại tại x 1

f    Hàm số đạt cực đại tại điểm x 1: thỏa mãn

Bài toán 4 Tìm các số thực p và q sao cho hàm số  

BBT:

y Hàm số đạt cực đại tại điểm 2; 2   khi và chỉ khi

các điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O

Điều kiện CĐ, CT cách đều d y:   2x là d hoặc song song với d hoặc d đi qua trung

điểm I1;m 1 của đoạn nối CĐ, CT

y  x  mx m       x nên đồ thị luôn luôn có CĐ và CT với hoành độ x x1, 2

nên đường thẳng qua CĐ, CT là y  2x m 

DẠNG TOÁN 4 ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH

Từ BBT cho ta các giá trị của y, nếu y nhận giá trị từ âm sang dương hay ngược lại trên một miền thì y 0 có đúng 1 nghiệm trên miền đó

Phương trình bậc ba f x  0 có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hàm số f có CĐ; CT

Vậy phương trình đã cho luôn có 3 nghiệm phân biệt

Bài toán 3 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình: 3

tiểu của hàm số cùng dấu:

x y x

Bài toán 3 Cho a b c, ,  0 thỏa mãn 2 2 2

3 3

1 3

DẠNG TOÁN 6 TOÁN TỔNG HỢP

- Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0

Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x0 thì f x0  0

- Cho y f x  liên tục trên khoảng (a;b) chứa x0, có đạo hàm trên các khoảng a x; 0 và

x b0 ; :

Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tại x0

- Cho y f x  có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b) chứa x0:

Nếu f x0  0 và f x0  0 thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f x0  0 và f x0  0 thì f đạt cực đại tại x0

- BBT cho ta các giá trị của y, từ đó có đánh giá về hàm số y và tạo nên các bất đẳng thức cũng như số nghiệm phương trình

Bài toán 1 Tìm cực trị của các hàm số sau:

sin 2 sin 1 cos

x a x y

 

Bài toán 5 Biện luận theo tham số k về số nghiệm của phương trình:

với số nghiệm của phương trình (*)

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

0

yax bx  cx d a

Chứng minh rằng nếu hàm số có 2 cực trị thì: 1  

1 2

4

2 2

x x y

phương hay đường thẳng MN đi qua điểm B

Cho 0 5

2

y   x

Bảng biến thiên:

a) Lấy y chia y thì được: yg x ,y r x 

Hỏi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm?