(SKKN HAY NHẤT) PHÁT TRIỂN tư DUY GIẢI QUYẾT các bài TOÁN cực TRỊ hàm số CHO học SINH KHỐI 12

Hơn nữa, bài toán về cực trị của hàm số trong đề thi của các kỳ thi Trung học phổthông Quốc gia của Bộ giáo dục và Đào tạo đã được đề cập, khai thác ở các mức độ khác nhau, các dạng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Mỗi một nội dung trong chương trình Toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọngtrong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh Trong quá trình giảng dạy, giáo

viên phải đặt ra cái đich là giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương

pháp giải toán, phát triển tư duy logic, từ đó tạo được thái độ và động cơ học tập đúng

đắn Vì vậy việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với mỗi nội dung kiến thức

nhất định là đặc biệt quan trọng Nó vừa giúp người thầy có được sự định hướng trong

việc giảng dạy - tuỳ thuộc vào mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học

sinh,vừa giúp người học dễ dàng tiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức, từ đó biết vận

dụng vào làm bài thi đạt được kết quả cao nhất

Trong dạy học môn Toán, phương pháp tư duy của học sinh phần lớn được hìnhthành và được rèn luyện trong quá trình giải toán, thông qua hoạt động này học sinh hoạt

động tích cực để tìm tòi, khám phá và chiếm lĩnh tri thức mới Trong tác phẩm nổi tiếng

“ Giải toán như thế nào”, G.Polya cho rằng: “Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ

những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán

đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với chúng ta” Là giáo viên dạy Toán, việc hướng dẫn

và rèn luyện cho học sinh biết cách chuyển từ bài toán mới về những bài toán quen

thuộc, bài toán “khó” trở về bài toán “dễ”, biết cách “xử lí” các tình huống có vấn đề về

các tình huống đơn giản là điều rất cần thiết và thiết thực

Hơn nữa, bài toán về cực trị của hàm số trong đề thi của các kỳ thi Trung học phổthông Quốc gia của Bộ giáo dục và Đào tạo đã được đề cập, khai thác ở các mức độ khác

nhau, các dạng tiếp cận khác nhau gây không ít khó khăn cho học sinh trong quá trình

giải quyết bài toán này.Đặc biệt là từ khi Bộ GD và ĐT áp dụng phương thức thi trắc

nghiệm cho môn Toán, đòi hỏi học sinh không những phải có kiến thức sâu, rộng mà còn

phải có các cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh

nhất

Với những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn đề tài:

“PHÁT TRIỂN TƯ DUY GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM SỐ CHO

HỌC SINH KHỐI 12’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học

2020– 2021 Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng

nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là phát triển năng lực tư duy, quy lạ về quen thôngqua một lớp các bài toán về cực trị của hàm số nhằm rèn luyện các kỹ năng toán học và

định hướng phát triển cho học sinh những năng lực sau:

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và năng lực giải quyết cáctình huống thực tiễn

- Năng lực sử dụng máy tính cầm tay casio.

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

- Kỹ năng vận dụng kiến thức về hàm số

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lớp các bài toán về cực trị của hàm số trongchương trình học lớp 12 để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực Toán học

của học sinh

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giảitích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập giải tích- Nâng cao và Cơ bản, tài liệu phân

phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh, đề

minh họa và đề thi THPT Quốc gia từ năm 2017-2021

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thựcnghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toán có vai trò quantrọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khả năng thích ứng

khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết

Giúp học sinh có cái nhìn và phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụng vào thực tế giảitoán, giúp các em có sự tự tin khi gặp dạng toán này đồng thời giúp học sinh phát triển tư

duy cũng như đam mê học toán

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

- Trong quá trình giảng dạy khả năng học phần cực trị hàm số của học sinh còn chưa tốt

Đa số học sinh khi gặp bài toán này thường làm sai trong khi đó trong các đề thi THPT

của những năm gần đây xuất hiện rất nhiều câu cực trị hàm ẩn phức tạp Do vậy học sinh

rất lo ngại và tỏ ra sợ hãi trước nhưng câu hỏi này Một trong cách cho bài toán như vậy

là yêu cầu học sinh làm việc với các hàm số ẩn, không cho định nghĩa hàm số đó một

cách tường minh mà chỉ cho những tính chất đặc trưng, buộc người học phải giải bằng

chính hiểu biết và năng lực bản thân

- Học sinh ít chú ý đến các tính chất cơ bản của cực trị, không nắm rõ mục tiêu, bản chất

của các phương pháp tính tích phân Đối với học sinh, nếu việc giải các bài tích cực với

các hàm số được cho một cách tường minh là đã khó thì việc sử lý các bài cực trị hàm ẩn

lại càng khó khăn rất nhiều lần Do đó các em mất nhiều thời gian làm bài mà hiệu quả

lại không cao

- Việc học quá nhiều môn gây cho các em học sinh cảm giác chán nản, không tập trung

trong học tập Các hình thức dạy học truyền thống làm hạn chế sự phát triển kỹ năng

sống toàn diện ở học sinh, học sinh giảm hứng thú và thiếu sự say mê trong học tập nói

chung và môn Toán nói riêng

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2.3.1 Kiến thức cơ bản về cực trị hàm số:

Định lý: Giả sử hàm số liên tục trên khoảng chứa điểm và có đạo hàm trên

các khoảng và Khi đó :

Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm

Điểm cực đại , cực tiểu của hàm số gọi chung là điểm cực trị của hàm số

Như vậy : Điểm cực trị của hàm số phải là một điểm trong của tập hợp là

điểm cực trị của hàm số nếu qua đạo hàm đổi dấu

Chú ý : Nếu là một điểm cực trị của hàm số thì:

1 Điểm được gọi là điểm cực trị của đồ thịhàm số

2 được gọi làgiá trị cực trị của hàm số ( còn gọi là cực trị của hàm số)

2.3.2 Hướng dẫn học sinh phương pháp nhận dạng bài tập và vận dụng giải các bài tập liên quan.

2.3.2.1.Dạng bài tập cơ bản để học sinh nhận biết và làm quen:

Dạng 1: Cho biết đồ thị (hoặc BBT) của hàm số Xác định số điểm cực trị của hàm số

Bài tập 1.1: (Đề thi THPTQG năm 2018-Mã đề 101)[1]

như hình vẽ bên

A B .

Bài tập 1.2:(Đề minh họa THPTQG năm 2019)[1]

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số đã cho có mấy điểm cực đại?

A B C D

của hàm số

Bài tập 2.1: (Đề thi thử THPTQG trường THPT Phan Đình Phùng – Hà Tĩnh)[2]

Cho hàm số liên tục trên Biết đồ thị của hàm số như hình vẽ

Số điểm cực trị của hàm số là:

A B C D

Bài tập 2.2:Cho hàm số có đạo hàm liên tục

trên R Đồ thị của hàm số được cho bởi

hình vẽ bên.Số điểm cực trị của hàm số là

Nhận xét: Ở dạng 2 này học sinh thường mắc một số sai lầm:

- Lấy số điểm cực trị của hàm số là số điểm cực trị của hàm số

- Số điểm chung của đồ thị với trục Ox là số điểm cực trị của hàm số

Để tránh được những sai lầm, GV nhấn mạnh đối với dạng này ta chỉ cần tìm số giao

điểm của đồ thị và trục , không kể các điểm mà đồ thị tiếp xúc

với trục

Nếu yêu cầubài toán hỏi cụ thể điểm cực đại, cực tiểu thì GV hướng dẫn học sinh lập

bảng xét dấu của hàm số , từ đó đưa ra kết luận.

Bảng xét dấu đạo hàm được lập từ đồ thị có thể dựa theo nguyên tắc: Trên

khoảng đồ thị nằm phía trên trục thì trên khoảng đó đạo hàm nhận

giá trị dương và trên khoảng đồ thị nằm phía dưới trục thì trên

khoảng đó đạo hàm nhận giá trị âm Tại “điểm nối” giữa hai khoảng đó đạo hàm nhận

giá trị bằng không.

Dạng 3: Cho biểu thức của Xác định số điểm cực trị của hàm số

số đạt cực đại tại

cực đại của hàm số là:

Nhận xét: Ở dạng 3, giáo viên cần chú ý cho học sinh qua nghiệm kép của pt

thì không đổi dấu; khi đó giá trị nghiệm kép không được gọi là điểm cực trị.

2.3.2.2 Giới thiệu bài toán với tư cách là một tình huống gợi vấn đề để cho vấn đề

trở nên hấp dẫn, tạo khả năng kích thích hoạt động tích cực của học sinh; từ đó

định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương pháp cho dạng toán.

Tình huống gợi vấn đề là tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay

thực tiễn mà họ cần thiết và có khả năng vượt qua nhưng không phải là ngay tức khắc

làm được nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán mà phải trải qua quá trình tích cực suy

nghĩ, đòi hỏi tính sáng tạo để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức

sẵn có…

Bài toán đưa ra cần làm cho học sinh thấy rõ tuy chưa có ngay lời giải nhưng đã có một

số kiến thức, kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và các em học sinh tin rằng nếu tích

cực suy nghĩ, vận động tích cực sáng tạo, tư duy thì sẽ giải quyết được.

Dạng 1: Cho đồ thị hoặc BBT của hàm số Xác định số điểm cực trị của

hàm số

Từ dạng bài tập cho đồ thị Xác địnhsố điểm cực trị của hàm số , GV mở

rộng vấn đề cho đồ thị hoặc BBT của hàm số Xác định số điểm cực trị của

hàm số

Bài tập1.1:(Đề thi thử THPTQG năm 2018-Trường THPT Triệu Sơn 1 – Thanh Hóa)[2].

đồ thị của hàm số như hình vẽ dưới

Số điểm cực trị của hàm số là

A B C D .

Phân tíchvà lựa chọn đáp án:

- Đối với phép suy luận tìm bảng xét dấu của ta có thể thực hiện như sau:

Ví dụ trên khoảng cho ta có:

- Từ đó ta có bảng xét dấu của như sau

3/2

- Vậy hàm số có 1 điểm cực trị (cực đại) tại Chọn D.

( số điểm cực trị của hàm số bằng số điểmcực trị của )

Bài tập 1.2:Cho hàm số có đồ thị của nó trên khoảng như hình vẽ Khi

đó trên hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A 1 B 4 C 3 D 2.

( số điểm cực trị của hàm số bằng số điểm cực trị của )

Nhận xét:Với ,số cực trị của các hàm số , và

là bằng nhau nhưng mỗi hàm số đạt cực trị tại các giá trị khác nhau

mà thôi Tuy nhiên, với cách suy luận này thì các em chưa thấy rõ được mấu chốt của

vấn đề Ví dụ ta chỉ cần thay đổi yêu cầu của bài là xác định số điểm cực tiểu, cực đại

của hàm số , ; nếu không hiểu rõ bản chất là các em chọn

sai đáp án Để hiểu rõ hơn, GV giới thiệu cho học sinh một số bài tập sau:

Bài tập1.3:( Đề thi thử THPTQG năm 2019-Trường THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh)[2]

bên.Tìm số điểm cực trị của hàm số

Nhận thấy các nghiệm và là các nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi

dấu; các nghiệm là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy tiếp xúc

với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng nên qua nghiệm không đổi dấu

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.

Bài tập 1.4:[3]Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và

điểm cực trị của hàm số là

Phân tích và lựa chọn đáp án:

Dựa vào đồ thị, ta có

Bảng biến thiên của hàm số

Xét

Bảng biến thiên của hàm số

Vậy hàm số có điểm cực trị Chọn C.

Qua các ví dụ trên, GV định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương pháp cho

dạng toán 1:

+ Từ đồ thị hàm số hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành.

+ Tính đạo hàm của hàm số + Dựa vào đồ thị của và biểu thức của để xét dấu

Nhận xét:Việc rèn luyện giải toán có tính chất quan trọng, nhưng việc rèn luyện khả

năng tìm phương pháp, lời giải của bài toán là khâu có tính chất quyết định trong toàn

bộ công việc rèn luyện giải toán Do vậy, khi dạy học sinh giải toán, giáo viên ngoài việc

cung cấp lời giải của bài toán, cần dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ, tư duy tìm ra

con đường hợp lý để giải toán.Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, học sinh

cần phải suy nghĩ để vận dụng những kiến thức nào, cần xem xét đến mối liên hệ nào để

tìm ra lời giải của bài toán.

Dạng 2: Cho đồ thị hoặc BBT của hàm số Xác định số điểm cực trị của

hàm số

có đồ thị của hàm số như hình vẽ Hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?

Khi đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm, ta chọn đáp án A

Cách 2: Số cực trị của hàm bằng tổng số nghiệm đơn và bội lẻ của phương trình

một nghiệm đơn Vậy hàm sô có 1 cực trị

Bài tập2.2: Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra phương trình có nghiệm

đơn duy nhất Suy ra hàm số có điểm cực trị Chọn A.

Nhận xét: Cách giải 1 chỉ phù hợp với là hàm số bậc nhất.Nếu không phải

hàm số bậc nhất thì ta nên phân tích bài toán theo cách 2.

Bài tập 2.3:[3]Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như hình vẽ

Phân tíchvà lựa chọn đáp án:

Ta có

là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số và

parapol

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên tathấy đạt cực đại tại

Chọn C.

Chú ý Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: trên khoảng ta thấy đồ thị hàm

nằm phía trên đường nên mang dấu

Nhận thấy các nghiệm là các nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi

dấu

Bài tập 2.4 : [3]Cho hàm số và đồ thị

hình bên là đồ thị của hàm Hỏi đồ thị của

nhiêu điểm cực trị ?

1 0

∞

h(x) h'(x) x

Đồ thị hàm số có nhiều điểm cực trị nhất khi có nhiều giao điểm với trục

hoành nhất, vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại nhiều nhất 6 điểm, suy ra đồ thị

hàm số có tối đa 11 điểm cực trị.Chọn B.

Qua định hướng tìm lời giải của các bài tập trên, GV cho học sinh chốt phương pháp

cho dạng toán 2:

+ Từ đồ thị hàm số , tìm hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành.

+ Tính đạo hàm của hàm số + Dựa vào đồ thị của và biểu thức của để xét dấu Chú ý: * Nếu trong khoảng đồ thị hàm số nằm trên đồ thị hàm số thì

* Nếu trong khoảng đồ thị hàm số nằm dưới đồ thị hàm số thì

Dạng 3: Cho biểu thức Xác đinh số điểm cực trịcủa hàm số

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?

Phân tíchvà lựa chọn đáp án:

Ta có

Ta thấy và là các nghiệmđơn còn là nghiệm kép

Vậy hàm số có điểm cực trị Chọn B.

Chú ý:Nếu bài toán hỏi điểm cực đại ( cực tiểu) của hàm số thì ta phải lập bảng xét dấu

của để kết luận.

Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại ?

Phân tíchvà lựa chọn đáp án:

Ta có

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại Chọn B.

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?

Phân tíchvà lựa chọn đáp án:

Ta có

Ta thấy và là các nghiệm bội lẻ hàm số có điểm cực trị

Chọn B.

Bài tập 3.4:Cho hàm số có đạo hàm với mọi Hàm số

có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

Vậy hàm số có điểm cực tiểu là Chọn A.

Qua định hướng tìm lời giải của các bài tập trên, GV cho học sinh chốt phương pháp

cho dạng toán 3:

+ Tính đạo hàm của hàm số +Từ biểu thức của và hãy xét dấu rồi suy ra số điểm cực trị của

Dạng 4: Cho đồ thị Xác định số điểm cực trị của hàm số

Bài4.1:[3]Cho hàm số có đạo hàm trên R và có

đồ thị như hình bên Đồ thị của hàm số cóbao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A điểm cực đại, điểm cực tiểu.

B điểm cực đại, điểm cực tiểu.

C điểm cực đại, điểm cực tiểu.

D điểm cực đại, điểm cực tiểu.

Dựa vào BBT, ta kết luận có điểm cực đại, điểm cực tiểu.Chọn C.

Bài 4.2:Cho hàm số có đạo hàm trên R và có

đồ thị như hình vẽ bên Hàm số có baonhiêu điểm cực trị ?

Dựa vào đồ thị suy ra:

và

- Phương trình có một nghiệm