Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 3 – HỌC KÌ 20172 NHÓM 2 Lời giải Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 Câu 1 Tính tổng của chuỗi số ∑ 4 5n ∞ n=1 Ta có ∑ 4 5n ∞ n=1 = 4 ∑ 1 5n ∞ n=1 ∑ 1[.]
Trang 1ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 3 – HỌC KÌ 20172 NHÓM 2
Lời giải: Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
Câu 1: Tính tổng của chuỗi số ∑ 4
5n
∞
n=1
Ta có: ∑ 4
5n
∞
n=1
= 4 ∑ 1
5n
∞
n=1
5n
∞
n=1
là dãy cấp số nhân có số hạng đầu là 1
5 và công bội là
1 5
→ ∑ 1
5n
∞
n=1
=
1 5
1 −15
= 1 4
Vậy tổng của chuỗi đã cho là 4.1
4 = 1
Câu 2: Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số sau ∶
a) ∑ n + 2
6n2+ 1
∞
n=1
Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1
Khin n → +∞ ∶ n + 2
6n2+ 1~
1 6n mà ∑
1 6n
∞
n=1
là chuỗi phân kỳ Suy ra chuỗi đã cho là chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh
b) ∑8
n(n!)2
n2n
∞
n=1
Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1
Xét giới hạn ∶
lim
n→+∞
un+1
un = limn→+∞
8n+1[(n + 1)!]2 (n + 1)2(n+1) ÷8
n(n!)2
n2n
= lim
n→+∞8.[(n + 1)!]2
(n!)2 ( n
n + 1)
2n
(n + 1)2 = lim
n→+∞8 (1 − 1
n + 1)
2n
Trang 2= lim
n→+∞8 (1 −
n + 1) = 8 en→+∞ n+1 = 8 en→+∞n+1 =e2 > 1 Suy ra chuỗi đã cho phân kỳ theo tiêu chuẩn Dalembert
c) ∑ sin (1
n− nπ)
∞
n=1
Ta có ∶ ∑ sin (1
n− nπ)
∞
n=1
= ∑(−1)nsin (1
n)
∞
n=1
Xét f(n) = sin1
n có f
′(n) = −1
n2 cos (1
n) < 0, ∀n ≥ 1
và lim
n→+∞sin (1
n) = 0
→ sin1
n đơn điệu giảm dần về 0
Suy ra chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnizt
Câu 3: Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau ∶
n2(x + 1)n
∞
n=1
Đk: x ≠ −1 Đặt t = 1
x + 1 → Chuỗi đã cho trở thành ∑
1
n2 tn
∞
n=1
Ta có an = 1
n2 Bán kính hội tụ của chuỗi hàm là ∶
R = lim
n→+∞| an
an+1| = limn→+∞
(n + 1)2
n2 = 1
Xét tại biên t = 1, ta có chuỗi ∑ 1
n2
∞
n=1
hội tụ
Xét tại biên t = −1, ta có chuỗi ∑(−1)n
n2
∞
n=1
hội tụ theo tc Leibnizt
→ Chuỗi hội tụ khi chỉ khi − 1 ≤ t ≤ 1
1
Trang 3b) ∑ 3x
(1 + 9x2)n
∞
n=1
(1 + 9x2)n
∞
n=1
(1 + 9x2)n
∞
n=1
Với x = 0 → ∑ 3x
(1 + 9x2)n
∞
n=1
= 0, hội tụ
Với mọi x ≠ 0, 1
1 + 9x2 < 1
→ Chuỗi đã cho là tổng của cấp số nhân công bội là 1
1 + 9x2
và có tổng là ∶ S = 3x
1
1 + 9x2
1 + 9x2
= 1 3x, hội tụ Suy ra miền hội tụ của chuỗi là R
c) ∑(−1)nnx+ 1
n2
∞
n=1
∑(−1)nnx+ 1
n2
∞
n=1
= ∑(−1)nnx
n2
∞
n=1
+ ∑ 1
n2
∞
n=1
Ta có ∑ 1
n2
∞
n=1
là một chuỗi hội tụ, suy ra chuỗi đã cho hội tụ khi chỉ khi
∑(−1)nnx
n2
∞
n=1
hội tụ ∑(−1)nnx
n2
∞
n=1
= ∑(−1)n
n2−x
∞
n=1
Với x < 2, chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnizt
Với x ≥ 2, ∄ lim
n→+∞
(−1)n
n2−x nên chuỗi phân kì Vây miền hội tụ là (−∞; 2)
Câu 4: Tính tổng của chuỗi số ∑n
2
4n
∞
n=1
Trang 4Xét ∑ n2xn
n=1
, bán kính hội tụ R = lim
n→+∞|
(n + 1)2| = 1
Tại biên x = ±1, chuỗi phân kì, suy ra miền hội tụ (−1; 1)
Với mọi x ∈ (−1; 1), chuỗi đã cho là khả tích
Gọi S(x) = ∑ n2xn
∞
n=1
= x ∑ n2xn−1
∞
n=1
= x P(x)
∫ P(t)dt
x
0
= ∫ ∑ n2tn−1
∞
n=1
dt
x
0
= ∑ ∫ n2tn−1dt
x
0
∞
n=1
= ∑ nxn
∞
n=1
= x ∑ nxn−1
∞
n=1
= x Q(x)
∫ Q(t)dt
x
0
= ∫ ∑ ntn−1
∞
n=1
dt
x
0
= ∑ ∫ ntn−1dt
x
0
∞
n=1
= ∑ xn
∞
n=1
1 − x
→ Q(x) = ( x
1 − x)
′
(1 − x)2
→ P(x) = (x Q(x))′ = ( x
(1 − x)2)
′
= x + 1 (1 − x)3
→ S(x) = x P(x) = x(x + 1)
(1 − x)3
→ ∑n
2
4n
∞
n=1
= S (1
4) =
20 27
Câu 5: Khai triển hàm số f(x) = 1
√16 − x2 thành chuỗi Maclaurin
f(x) = 1
√16 − x2 =1
4.
1
√1 −16x2
=1
4 (1 −
x2
16)
−12
Trang 5→ f(x) = 1
4 ∑(−1)
n.(2n − 1)‼
(2n)‼ (
−x2
16 )
n
∞
n=0
=1
4 ∑
(2n − 1)‼
(2n)‼ .
1
16n x2n
∞
n=0 Câu 6: Khai triển hàm số f(x) = |sin (x
2)| thành chuỗi Fourier
f(x) là hàm chẵn → bn = 0
a0 = 2
π∫ sin (
x
2) dx
π
0
= −4
π cos
x
2|0
π
=4 π
an = 2
π∫ sin (
x
2) cos nx dx
π
0
= 1
π∫ [sin (n +
1
2) x − sin (n −
1
2) x] dx
π
0
= 1
π [
−2
2n + 1cos
2n + 1
2 x +
2 2n − 1cos
2n − 1
2 x]|0
π
= 1
π
−4
4n2− 1 =
−4 π(4n2− 1)
→ f(x) = 2
π−
4
π∑
1 (4n2 − 1)cos nx
+∞
n=1