Giải tích 3 gk 20172 nhóm 1

Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 ĐỀ THI GIỮA KÌ GIẢI TÍCH 3 – HỌC KỲ 20172, NHÓM NGÀNH 1 K62 Lời giải Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 Câu 1 Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số a) ∑ 3n2 + 1 (√3) n ∞ n=0 Chu[.]

ĐỀ THI GIỮA KÌ GIẢI TÍCH 3 – HỌC KỲ 20172, NHÓM NGÀNH 1 K62

Lời giải: Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64

Câu 1: Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số

a) ∑3n

2+ 1

(√3)n

∞

n=0

Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 0

Áp dụng tiêu chuẩn Dalembert, ta có:

lim

n→+∞

3(n + 1)2+ 1

(√3)n+1

÷3n

2+ 1 (√3)n = limn→+∞

1

√3.

3(n + 1)2+ 1 3n2+ 1 =

1

√3< 1

→ Chuỗi đã cho hội tụ

b) ∑ √n + 1 ln (n

2+ 3

n2+ 1)

∞

n=0

Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 0

Khi n → +∞, ta có:

√n + 1 ln (n

2+ 3

n2+ 1) = √n + 1 ln (1 +

2

n2+ 1) ~

2√n + 1

n2 + 1 ~

2

n32

Mà ∑ 2

n32

∞

n=1

là chuỗi hội tụ

→ Chuỗi đã cho hội tụ

Câu 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số

∑(−1)n−1(n + 1)

n2 3n (x + 4)n

∞

n=1

Đặt ∑(−1)n−1(n + 1)

n2 3n (x + 4)n

∞

n=1

= ∑ untn

∞

n=1

với un =(−1)n−1(n + 1)

n2 3n , t = 1

x + 4 (x ≠ −4) Bán kính hội tụ của chuỗi là ∶

R = lim

n→+∞| un

un+1| = limn→+∞|(n + 1)

n2 3n ÷ (n + 2)

(n + 1)2 3n+1| = lim

n→+∞|3 (n + 1)

3

n2 (n + 2)| = 3

Xét tại biên t = 3, chuỗi đã cho trở thành

∑(−1)n−1(n + 1)

n2

∞

n=1

hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnizt Xét tại biên t = −3, chuỗi đã cho trở thành

− ∑(n + 1)

n2

∞

n=1

~ − ∑1

n

∞

n=1

là chuỗi phân kỳ

→ Chuỗi hội tụ khi − 3 < t ≤ 3

→ −3 < 1

x + 4 ≤ 3

→ x < −13

3 ∪ x ≥ −

11 3 Vậy miền hội tụ của chuỗi là x ∈ (−∞; −13

3) ∪ [−11

3 ∪ +∞)

Câu 3: Khai triển f(x) = 1

3x + 2 thành chuỗi Maclaurin

f(x) = 1

3x + 2 =

1

2.

1 3

2 x + 1 Đặt3

2x = u

Khai triển Maclaurin của f(u)là

f(u) = 1

2.

1

u + 1 = ∑

1

2 (−1)

n un

∞

n=0

, −1 < u < 1

Thay t = 3x

2 , suy ra chuỗi maclaurin của f(x) là:

f(x) = ∑1

2 (−1)

n (3

2x)

n

∞

n=0

= 1

2 ∑(−1)

n (3

2)

n

xn

∞

n=0

, −2

3< x <

2 3

Câu 4: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số ∑ n x

4n

(n + 1)3n

∞

n=1 Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1, x ∈ R

Đặt ∑ n x

4n

(n + 1)3n

∞

n=1

= ∑ untn

∞

n=1

với un = n

(n + 1)3n, t = x4 , (t ≥ 0)

Bán kính hội tụ của chuỗi là ∶

R = lim

n→+∞

un

un+1 = limn→+∞

n (n + 1)3n÷ n + 1

(n + 2)3n+1 = lim

n→+∞

n(n + 2) 3n+1

(n + 1)2 3n = 3

Xét tại biên t = 3, chuỗi đã cho trở thành ∑ n

(n + 1)

∞

n=1

có lim

n→+∞

n (n + 1)= 1 ≠ 0

→ Chuỗi phân kì tại t = 3 Suy ra chuỗi đã cho hội tụ khi chỉ khi t < 3

→ 0 ≤ x4 < 3

→ −√34 < x < √34

Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là (−√34 ; √34 )

Câu 5: Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ 1

√n2+ 1

∞

n=0

cos (nπ

2 )

Viết lại chuỗi:

√n2+ 1

∞

n=0

cos (nπ

2 ) = 1 −

1

√22 + 1+

1

√42+ 1−

1

√62+ 1+

1

√82 + 1+ ⋯

= ∑ (−1)n

√(2n)2+ 1

∞

n=0

Xét f(n) = 1

√(2n)2+ 1 Có f

′(n) = −4n

√(4n2+ 1)3 < 0 , ∀n > 0

Và lim

n→+∞

1

√(2n)2+ 1 = 0

→ f(n) là một dãy đơn điệu , tiến tới 0 khi n → +∞

Vậy chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz

Câu 6: Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm số ∑ nx

2

n6+ 4x4

∞

n=1

trên R

Theo định lí Cauchy, ta có n6+ 4x4 ≥ 4n3x2

→ nx

2

n6+ 4x4 ≤ nx

2

4n3x2 = 1

4n2

Mà ∑ 1

4n2

∞

n=1

là chuỗi hội tụ

→ Chuỗi đã cho hội tụ đều và tuyệt đối trên R

Câu 7: Khai triển f(x) = 1

(x + 1)(x + 3) thành chuỗi lũy thừa của x + 2

Đặt x + 2 = t → x = t − 2

(t − 1)(t + 1) =

1

t2− 1 =

−1

1 − t2

Khai triển Maclaurin của f(t) là ∶

f(t) = ∑ −(t2)n

∞

n=0

= ∑ −t2n

∞

n=0

, −1 < t < 1 Thay t = x + 2 , khai triển Maclaurin của f(x) là ∶

f(t) = ∑ −(x + 2)2n

∞

n=0

, −3 < x < −1

Câu 8: Cho f(x) = ∑ n enx

∞

n=1

với x < 0 Tính ∫ f(x)dx

− ln 3

− ln 4

Ta có: ∫ f(x)dx

− ln 3

− ln 4

= ∫ ∑ n enx

∞

n=1

dx

− ln 3

− ln 4

= ∑ ∫ n enxdx

− ln 3

− ln 4

∞

n=1

= ∑enx|− ln 4− ln 3

∞

n=1

= ∑ 1

3n

∞

n=1

− ∑ 1

4n

∞

n=1

=

1 3

1 −13

−

1 4

1 −14

= 1 6

Câu 9: Tính tổng của chuỗi hàm số ∑(−1)n−1n2xn

∞

n=1

với − 1 < x < 1

Với − 1 < x < 1, chuỗi đã cho là khả vi, khả tích với mọi x thuộc khoảng đang xét Gọi S(x) = ∑(−1)n−1n2xn

∞

n=1

= x ∑(−1)n−1n2xn−1

∞

n=1

= x P(x)

∫ P(t)dt

x

0

= ∫ ∑(−1)n−1n2tn−1

∞

n=1

dt

x

0

= ∑ ∫(−1)n−1n2tn−1dt

x

0

∞

n=1

= ∑(−1)n−1nxn

∞

n=1

= x ∑(−1)n−1nxn−1

∞

n=1

= x Q(x)

∫ Q(t)dt

x

0

= ∫ ∑(−1)n−1ntn−1

∞

n=1

dt

x

0

= ∑ ∫(−1)n−1ntn−1dt

x

0

∞

n=1

= ∑(−1)n−1xn

∞

n=1

1 + x

→ Q(x) = ( x

1 + x)

′

(x + 1)2

→ P(x) = (x Q(x))′ = ( x

(x + 1)2)

′

= 1 − x (1 + x)3

→ S(x) = x P(x) = x(1 − x)

(1 + x)3

Vậy ∑(−1)n−1n2xn

∞

n=1

=x(1 − x) (1 + x)3 , với x ∈ (−1; 1)