Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 ĐỀ THI GIỮA KÌ MÔN GIẢI TÍCH 3 – HỌC KÌ 20182 NHÓM NGÀNH 2 K63 Lời giải Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 Câu 1 Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ 1 √n (3 1 n +∞ n=1 − 1) ∑ 1 √n (3 1 n[.]
Trang 1ĐỀ THI GIỮA KÌ MÔN GIẢI TÍCH 3 – HỌC KÌ 20182 NHÓM NGÀNH 2 K63
Lời giải: Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64
Câu 1: Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ 1
√n(3
1 n +∞
n=1
− 1)
√n(3
1 n +∞
n=1
− 1) = ∑ 1
√n(e
ln 3
n − 1)
+∞
n=1
Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1
Khi n → +∞ ∶ 1
√n(e
ln 3
n − 1) ~ln 3
n32
∑ln 3
n32
+∞
n=1
là chuỗi hội tụ do α = 3
2> 1
→ chuỗi đã cho là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh
Câu 2: Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ 2n(n − 1
n )
n2 +∞
n=1 Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1
Áp dụng tiêu chuẩn cauchy, ta có:
lim
n→+∞ √2n(n − 1
n )
n2 n
= lim
n→+∞2 (1 −1
n)
n
= lim
n→+∞2 e−1 < 1
→ Chuỗi đã cho hội tụ
Câu 3: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số sau ∑ n
n2− 2(
2x − 1
x )
2n +∞
n=1
Đặt (2x − 1
x )
2
= t ( t ≥ 0 ) Chuỗi đã cho trở thành ∑ n
n2− 2 t
n = ∑ antn
+∞
n=1
+∞
n=1
Bán kính hội tụ là R = lim
n→+∞| an
an+1| = limn→+∞| n
n2− 2:
n + 1 (n + 1)2− 2|
= lim
n→+∞|n[(n + 1)
2− 2]
(n2− 2)(n + 1)| = 1
Trang 2Tại t = 1 ∶ khi n → +∞ n
n2− 2~
1
n phân kỳ Suy ra chuỗi hội tụ khi chỉ khi t ∈ [0,1)
Xét 0 ≤ (2x − 1
x )
2
< 1
→ −1 < 2 −1
x < 1
→ 1 < 1
x < 3
→ 1
3< x < 1
Suy ra miền hội tụ là ( 1
3; 1)
Câu 4: Khai triển hàm số f(x) = x
x + 4 thành chuỗi lũy thừa của x − 1
Đặt t = x − 1 → x = t + 1
→ f(t) = t + 1
t + 5= 1 −
4
t + 5= 1 −
4
5.
1 t
5+ 1 Khai triển maclaurin f(t)tại t = 0 là
1 −4
5∑ (
−1
5 )
n
tn
+∞
n=0
Suy ra chuỗi taylor của f(x) tại x = 1 là
1 −4
5∑ (
−1
5 )
n
(x − 1)n
+∞
n=0 Câu 5: Giải phương trình vi phân
√x + 1dy + y ln2y dx = 0
→ dx
√x + 1 = −
dy
y ln2y Tích phân 2 vế
→ ∫ dx
√x + 1= ∫ −
dy
y ln2y 1
Trang 3→ Tích phân tổng quát là u(x, y, C) = 2√x + 1 − 1
ln y+ C = 0
Câu 6: Giải phương trình vi phân
(x y′ − 1) ln x = 2y
→ x ln x y′ − 2y = ln x
→ y′ − 2y
x ln x =
1 x thừa số tích phân là
p(x) = e∫ −x ln x2dx = e−2 ln ln x = 1
ln2x nhân cả 2 vế với p(x), ta có:
1
ln2x y
′− 2 ln x
x ln3x y =
1
x ln2x
→ ( 1
ln2x y)
′
x ln2x lấy tích phân 2 vế
ln2x y = −
1
ln x+ C
→ y = − ln x + C ln2x
Câu 7: Giải phương trình vi phân toàn phần sau
(y3+ x3 (1 + ln y))dy + 3x2 (1 + y ln y)dx = 0
Ta có ∶
(y3+ x3 (1 + ln y))x′ = (3x2 (1 + y ln y))
y
′
= 3x2 (1 + ln y)
→ thỏa mãn điều kiện ptvp toàn phần
u(x, y) = ∫ 3x2 (1 + y ln y) dx = x3 (1 + y ln y) + g(y)
→ uy′ = x3 (1 + ln y) + g′(y) = (y3+ x3 (1 + ln y))
→ g′(y) = y3 Chọn g(y) =y
4
4
→ Tích phân tổng quát là u(x, y) = x3 (1 + y ln y) +y
4
4 = C
Trang 4Câu 8: Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ ln
2n
n3+ 3n2+ 1
+∞
n=1
Xét lim
n→+∞
ln2n
n3/2 = 0 ( do hàm loga < hàm lũy thừa khi tiến ra vô cực )
2n
n3 + 3n2 + 1<
n32
n3+ 3n2+ 1 kể từ n nào đó trở đi
n32
n3+ 3n2+ 1~
1
n32
khi n → +∞
n32
+∞
n=1
hội tụ → chuỗi đã cho hội tụ
Câu 9: Khai triển fourier của hàm số sau:
f(x) = {−x , −π < x < 0
2, 0 < x < π , tuần hoàn chu kì 2π
a0 = 1
π ∫ f(x)dx
π
−π
= 1
π( ∫ −xdx
0
−π
+ ∫ 2xdx
π
0
) = 3π 2
an = 1
π ∫ f(x) cos nx dx
π
−π
= 1
π( ∫ −x cos nx dx
0
−π
+ ∫ 2x cos nx dx
π
0
)
= 1
π(
− cos nx − nx sin nx
−π
0
+2 cos nx + 2nx sin nx
0
π
)
= 1
π(
−1 + cos nπ
n2 +2 cos nπ − 2
n2 ) = 3 (−1 + (−1)
n)
0 nếu n chẵn
− 6
πn2 nếu n lẻ
bn = 1
π ∫ f(x) sin nx dx
π
−π
= 1
π( ∫ −x sin nx dx
0
−π
+ ∫ 2x sin nx dx
π
0
)
= 1
π(
nx cos nx − sin nx
−π
0
+−2nx cos nx + sin nx
0
π
)
= 1
π(
nπ cos nπ
n2 +−2nπ cos nπ
n2 ) = (−1)n−1
−1
n nếu n chẵn 1
Trang 5Suy ra chuỗi fourier của f(x) tuần hoàn chu kì 2π là
f(x) = 3π
4 + ∑ −
1 2n sin 2nx
+∞
n=1
π(2n + 1)2 cos(2n + 1)x + 1
2n + 1sin(2n + 1) x
+∞
n=0
Bài 10: Tính tổng ∑ n
5n +∞
n=1
5n
+∞
n=1
=1
5∑
n
5n−1 +∞
n=1
Xét S(x) = ∑ xn−1 n
+∞
n=1
chuỗi này có miền hội tụ là |x| < 1
với mọi x ∈ (−1; 1), tổng của chuỗi là khả tích trên [0, x]
Ta có:
∫ S(t)dt = ∫ ∑ tn−1 ndt
+∞
n=1
x
0
x
0
= ∑ ∫ tn−1
x
0
ndt
+∞
n=1
= ∑ xn
+∞
n=1
1 − x
→ S(x) = ( x
1 − x)
′
(1 − x)2
→ ∑ n
5n +∞
n=1
= 1
5.
1 (1 −15)
2 = 5 16