ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 2

ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 20122013 Bộ môn Toán Ứng Dụng MÔN THI : GIẢI TÍCH 2 ____________________________ NGÀY THI : 15062013 THỜI GIAN : 90 phút ______________ (Không sử dụng tài liệu) CA 1 Câu 1: Cho hàm ( , ) ln| 2 | x f x y y y e . Tính , 2 3 A f f B f f f x y xx yy xy           tại M(0,1) Câu 2:Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 4 1 1 1 3 2 3 3 1 n n n n n    ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 20122013 Bộ môn Toán Ứng Dụng MÔN THI : GIẢI TÍCH 2 ____________________________ NGÀY THI : 15062013 THỜI GIAN : 90 phút ______________ (Không sử dụng tài liệu) CA 1 Câu 1: Cho hàm ( , ) ln| 2 | x f x y y y e . Tính , 2 3 A f f B f f f x y xx yy xy           tại M(0,1) Câu 2:Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 4 1 1 1 3 2 3 3 1 n n n n n    ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 20122013 Bộ môn Toán Ứng Dụng MÔN THI : GIẢI TÍCH 2 ____________________________ NGÀY THI : 15062013 THỜI GIAN : 90 phút ______________ (Không sử dụng tài liệu) CA 1 Câu 1: Cho hàm ( , ) ln| 2 | x f x y y y e . Tính , 2 3 A f f B f f f x y xx yy xy           tại M(0,1) Câu 2:Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 4 1 1 1 3 2 3 3 1 n n n n n    

Trường Đại học Bách Khoa Tp HCM Đề thi Học kỳ II: 2011-2012

Bộ môn: Toán Ứng Dụng Môn: Giải tích 2-CA1

Ngày thi 16 tháng 06 năm 2012

Thời gian 90 phút

(Sinh viên KHÔNG được sử dụng tài liệu) Câu 1 (1,5đ) Cho hàm số f (x, y) = xex+y − 2y sin(y − x) Tính df, d2f tại x = 1, y = 1

Câu 2 (1,5đ) Khảo sát cực trị tự do của hàm

z(x, y) = 2x3 + y2 − x2 − 2y + 3

Câu 3 (1,5đ) Tính diện tích phần mặt nón z = px2 + y2 nằm trong hình cầu x2 + y2 + z2 6 2

Câu 4 (1,5đ) Tính tích phân đường loại hai

I = Z

C

(x2 + 3y)dx + (x + y)dy,

với C là nửa bên trên của đường tròn x2 + y2 = 2y, phần y > 1, hướng theo chiều cùng chiều kim đồng hồ

Câu 5 (1,5đ) Tính tích phân mặt loại hai

I =

Z Z

S

(x3 + 1)dydz + (y3 + 2)dzdx + (z3 + 3)dxdy,

với S là phần mặt cầu x2+ y2+ z2 = 2, bị cắt bởi mặt phẳng z = 1, lấy phần

z > 1, mặt phía trên theo hướng trục Oz

Câu 6 (1đ) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

∞

P

n=1

(2n)!!

3n.(n!)2

Câu 7 (1,5đ) Tính tổng của chuỗi số

∞

P

n=1

(−1)n+1π2n

22n+1.(2n + 1)!

Chủ nhiệm bộ môn

PGS.TS Nguyễn Đình Huy

Đáp án đề thi Học kỳ II: 2011-2012

Môn: Giải tích 2-CA1 Ngày thi 16 tháng 06 năm 2012 Câu 1 (1,5đ)

df (1, 1) = (2e2 + 2)dx + (e2 − 2)dy (0, 75đ)

d2f (1, 1) = 2e2)dx2 + 4(e2 + 1)dxdy + (e2 − 4)dy2 (0, 75đ) Câu 2 (1,5đ)

2 điểm dừng P1(0, 1), P2(1/3, 1) (0,75đ)

P1 không là điểm cực trị, P2 là cực tiểu, fCT = 53

27 (0,75đ) Câu 3 (1,5đ)

S =RRx2 +y 2 61

√ 2dxdy (0,75đ), = √

2 (0,75đ) Câu 4 (1,5đ)

I = −RR

D

(1 − 3)dxdy −

−1

R

1

(x2 + 3)dx (0,75đ) = π + 20

3 (0,75đ) Câu 5 (1,5đ)

I = 3RRR

V

(x2 + y2 + z2)dxdydz − R R

S1

(0,5đ)

I = 8

√

2 + 18

5 π (1,0đ)

Câu 6 (1đ)

D = lim

n→∞

an+1

an = 0 < 1 (0,5đ) Theo dấu hiệu D’Alambert chuỗi này hội tụ (0,5đ)

Câu 7 (1,5đ)

∞

P

n=1

(−1)n+1π2n

2n+1.(2n + 1)! = −

1 π

 sinπ

2 − π 2

 (0,75đ) = −1

π + 1

2 (0,75đ)

Trường Đại học Bách Khoa Tp HCM Đề thi Học kỳ II: 2011-2012

Bộ môn: Toán Ứng Dụng Môn: Giải tích 2-CA2

Ngày thi 16 tháng 06 năm 2012

Thời gian 90 phút

(Sinh viên KHÔNG được sử dụng tài liệu) Câu 1 (1,5đ) Cho hàm số f (x, y, z) = x3y2+2xy+z3 và điểm M0(1, −1, 1) a) Tính đạo hàm của hàm f theo hướng véc-tơ −→

` = (1, 2, −2) tại M0 b) Tìm hướng mà đạo hàm của f tại M0 theo hướng đó đạt giá trị lớn nhất Tính giá trị lớn nhất này

Câu 2 (1,5đ) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = 2x4 + y4 − 2x2 + y2 Câu 3 (1,5đ) Tính diện tích phần mặt z = 2xy nằm trong hình trụ

x2 + y2 = 1

Câu 4 (1,5đ) Chứng minh rằng, tích phân sau không phụ thuộc vào các đường đi không cắt trục hoành

I = Z

C



x + ex/ydx +



1 − x y



ex/ydy

Tính I với C là đường nối từ điểm (0, 1) đến (−2, 2)

Câu 5 (1,5đ) Tính tích phân mặt loại hai

I =

Z Z

S

(y − x)dydz + (z − y)dzdx + (x − z)dxdy,

với S là phần mặt biên phía ngoài của vật thể giới hạn bởi x2 + y2 = 1,

z = 1 + x2 + y2, z = 3

Câu 6 (1đ) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

∞

P

n=1

5n



1 − 2 n

n 2 sin 1

n. Câu 7 (1,5đ) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa

∞

P

n=1

n.x2n (n + 1)! Chủ nhiệm bộ môn

PGS.TS Nguyễn Đình Huy

Đáp án đề thi Học kỳ II: 2011-2012

Môn: Giải tích 2-CA2 Ngày thi 16 tháng 06 năm 2012 Câu 1 (1,5đ)

f− →0

` (M0) = −5

3 (0, 75đ)

−

→

` = (1, 0, 3), f− →0

`(M0) =√

10 (0, 75đ) Câu 2 (1,5đ)

3 điểm dừng P1(0, 0), P2(1/√

2, 0), P3(−1/√

2, 0) (0,75đ)

P1 không là điểm cực trị, P2, P3 là cực tiểu (0,75đ)

Câu 3 (1,5đ)

S =R02πdϕR01r√

1 + 4r2dr (0,75đ), = 5

√

5 − 1

6 π (0,75đ) Câu 4 (1,5đ)

u = 1

2x

2 + yex/y, (0,75) I = 1

2x

2 + yex/y

(−2,2) (0,1)

= 1 + 2

e (0,75đ) Câu 5 (1,5đ)

I = −3RRR

V

dxdydz = −3R02πdϕR01drR1+r3 2rdz (0,75đ)

I = −9π

2 (0,75đ)

Câu 6 (1đ)

|an| 6 |5n(1 − 2

n)

n 2

| (0,5đ)

C = lim

n→∞

n r

5n(1 − 2

n)

n 2

= 5

e2 < 1

Chuỗi này hội tụ tuyệt đối nên hội tụ (0,5đ)

Câu 7 (1,5đ)

S =

∞

P

n=1

x2n n! −

∞

P

n=1

x2n (n + 1)! (0,75đ) = e

x 2

−e

x2

x2 + 1

x2, nếu x 6= 0 (0,5đ) Nếu

x = 0 thì S = 0 (0,25đ)

Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2012-2013

THỜI GIAN : 90 phút

Câu 1: Cho hàm f x y( , ) yln | 2y e x | Tính A f x  f y , B f xx  2f yy  3f xy tại M(0,1)

Câu 2:Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

4 1 1

3

n n

n

n n











Câu 3: Tính tổng chuỗi số

1

( 1)

3 (2 1)

n n

Câu 4:Tính tích phân | 2 2 |

D

x y dxdy

 với D là nửa hình tròn x2 y2  2,y 0

Câu 5:Tính diện tích phần mặt paraboloid z   1 x2  y2 giới hạn bởi các mặt phẳng

z y  x x y với x, y dương

S

I  xdydz yzdzdx z x dxdy với S là mặt biên phía trong vật thể giới hạn bởi z x2 y2 ,z 1,z 2

Câu 7: Tính tích phân   2  2  2

C

I z dx xdy ydz với C là giao tuyến của 2 mặt

z x  y z x lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z dương

CN Bộ môn duyệt

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CA 1

Câu 1: A=1 (0.5đ),

Câu 2:

4

3

n

n n

u





n e

  (0.5đ) Chuỗi HT (0.5đ))

Câu 3: (1đ)

2 1 1

n n

n

S

6

Câu 4:

2

D



(0.5đ)

3

3

3

| cos 2 |d r dr cos 2 d cos 2 d cos 2 d

S  z z dxdy   x  y dxdy (0.5đ) 3 1 2

0 6

1 4



(0.5đ) ( 125 1)

72



I  xdydz yzdzdx z x dxdy   z z dxdydz (0.5đ)

2.V

  , với V là thể tích nón cụt (0.5đ)hoặc

1

14

3



  (0.5đ)

Câu 7: Chọn S là phía trên phần mp nằm trong paraboloid, 1 ( 2, 0,1)

5

S

n   (0.5đ)

5

=

2 2

2

2

 

Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2012-2013

THỜI GIAN : 90 phút

Câu 1: Tìm đạo hàm theo hướng vector u 1, 2, 2   tại điểm M 1,0,1 của

 , ,  arctan x2 z22

f x y z

x y



D

I  x  y  dxdy , trong đó D là hình tròn tâm O 0,0 , bán kính

2

R

C

J  xdxx ydy , trong đó C là biên của miền phẳng giới hạn bởi các đường y ln ,x y 0,xe,lấy theo chiều kim đồng hồ

S

K xzdydzx zdzdx ydxdy , trong đó S là phần mặt cầu

6

x y z  z ứng với z 3 lấy phía trên nhìn từ phía dương trục Oz

Câu 5: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:

2

2 2

2 1

1 1

n n

n

n n

Câu 6: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:

2 1

2

2 ( !)

n

n n

n

n

Câu 7: Tính tổng của chuỗi số:  

1

1 1

1 3

n

n n

S

n







CN Bộ môn duyệt

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CA 2

Câu 1: gradf( 1,0,1)  1,0, 2(1đ), f  M 1

u

2

I 

 (0.5đ), 2 9

2

 , (0.5đ), hoặc bằng cách tính khác ra I  5 (1đ)

Câu 3:

Cách 1: tham số hóa đường cong : J 1e 2x x2ln x 1 dx 10e ydy2 e12xdx J1 J2 J3

x

2

J   J   J  e (0.5đ +0.5đ+0.5đ) Đáp số :

2

1

4 4

e

1 0

1

4 4

D

e

J   xy dxdy  dx xydy  (0.5đ +0.5đ+0.5đ) Câu 4: gọi S1 là phía dưới phần mp bị chắn bên trong mặt cầu và  là nửa dưới của khối cầu

1

2

0 0

S S

xzdydz x zdzdx ydxdy z dxdydz

4 (0.5đ)

1

0

Câu 5: xét chuỗi trị tuyệt đối

3 1 2

2 2 1

1

n

n

n n







2

2

2 4

n n

n





KL: hội tụ (0.5đ)

Câu 6: Bán kính hội tụ 1

6

R (1đ).Tại

1

u

, chuỗi phân kỳ theo

d’Alembert MHT: 2 1, 2 1

6 6 (0.5đ)

Câu 7:

 

 

 

1

1

1 2

1 1

1 3 1

1

n

n n

n n

n

n

n

S

n

n

n













 

 



 

 





(1đ)

Trường Đại học Bách Khoa Tp HCM Đề thi cuối kỳ năm học 2013-2014

Bộ môn: Toán Ứng Dụng Môn: Giải tích 2-Ca 1

Ngày thi 21 tháng 06 năm 2014

Thời gian 90 phút

(Sinh viên KHÔNG được sử dụng tài liệu) Câu 1 Tính vi phân cấp hai của hàm số f (x, y) = x2y + x sin y tại điểm (1, π)

Câu 2 Tính tích phân I = RR

S

xdydz + zpx2 + y2dxdy, trong đó S là mặt biên của vật thể Ω giới hạn bởi các mặt x2+ y2 = 1, z = x2+ y2 và z = 0, lấy phía ngoài

Câu 3 Tính tích phân đường I = R

C

(y2− x2+ 2xy)dx + (y2+ x2− 2xy)dy, trong

đó C là nửa đường tròn x2 + y2 = 1, đi từ điểm A(0, 1) đến điểm B(0, −1) theo chiều ngược chiều kim đồng hồ

Câu 4 Tính tích phân I = RR

S

p

1 − x2 − y2ds, trong đó S là phần mặt cầu

x2+y2+z2 = 1 bị chắn bởi các mặt phẳng y = x, y = 0, lấy phần x > 0, y > 0, z > 0 Câu 5 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

+∞

P

n=1

7n.(n!)2

n2n

Câu 6 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa sau

+∞

P

n=1

(−1)n.xn

5n.n Câu 7 Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa sau

S(x) =

+∞

X

n=1

(−1)nx2n+1 n Chủ nhiệm bộ môn

PGS.TS Nguyễn Đình Huy

Đáp án đề thi Học kỳ II: 2013-2014

Môn: Giải tích 2-CA1 Ngày thi 21 tháng 06 năm 2014

Câu 1 (1,5đ)

fx0 = 2xy + sin y, fy0 = x 2 + x cos y (0,5đ)

fxx00 = 2y, fxy00 = 2x + cos y, fyy00 = −x sin y (0,5đ)

Câu 2 (1,5đ)

I =RRR

Ω

(1 + px 2 + y 2 )dxdydz (0,5đ)

= R 2π

0 dϕ R 1

0 rdr R r 2

=9π

Câu 3 (1,5đ) C1 : x = 0, y : −1 → 1.

C∪C 1

(y2− x 2 + 2xy)dx + (y2+ x2− 2xy)dy − R

C 1

(y2− x 2 + 2xy)dx + (y2+ x2− 2xy)dy (0,5đ)

=RR

D

(−4y)dxdy −

1

R

−1

y2dy (0,5đ)

= 0 − 2

2

Câu 4 (1,5đ)

S : z = p1 − x 2 − y 2 Hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy là D : x 2 + y 2 6 1, y = 0, y = x, x > 0 (0,5đ)

I =RR

D

p1 − x 2 − y 2

s

2 + y 2

1 − x 2 − y 2 dxdy (0,5đ)

=

π/4

R

0

dϕR01rdr = π

Câu 5 (1đ)

an+1

an = 7.



n

n + 1

 2n

(0,5đ)

n→∞

e 2 < 1 hội tụ (0,5đ)

Câu 6 (1,5đ)

x = 5,

+∞

P

n=1

(−1) n

n hội tụ theo Leibnitz (0,5đ)

x = −5,

+∞

P

n=1

1

n phân kỳ theo so sánh (0,5đ) Miền hội tụ (−5, 5]

Câu 7 (1,5đ)

Điều kiện hội tụ X = x 2 ∈ [0, 1] ⇔ x ∈ [−1, 1] (0,5đ)

S(x) = −x

+∞

P

n=1

(−1)n−1Xn

Trường Đại học Bách Khoa Tp HCM Đề thi cuối kỳ năm học 2013-2014

Bộ môn: Toán Ứng Dụng Môn: Giải tích 2-Ca 2

Ngày thi 21 tháng 06 năm 2014

Thời gian 90 phút

(Sinh viên KHÔNG được sử dụng tài liệu)

Câu 1 Cho f (x, y) = arctan x

y Tính giá trị của biểu thức

A = ∂

2f

∂x∂y(1, 1) + 2

∂2f

∂y2(1, 1)

Câu 2 Tính tích phân I =RR

S

z2dxdy, trong đó S là mặt biên của vật thể Ω giới hạn bởi các mặt z = p1 − x2 − y2, z =

r

x2 + y2

3 , lấy phía ngoài.

Câu 3 Tính tích phân đường I = R

C

(2y + xy3)dx + (2x + x2y2)dy, trong đó C

là nửa đường tròn x2 + y2 = 2y, đi từ điểm A(−1, 1) đến điểm B(1, 1) theo chiều ngược chiều kim đồng hồ

Câu 4 Tính tích phân I = RR

S

ds p

1 + 4y2, trong đó S là phần hữu hạn của mặt trụ z = 1 − y2 bị chắn bởi các mặt z = x, x = 0, lấy phần y > 0

Câu 5 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

+∞

P

n=1

√ n

 n 4n − 3

2n

Câu 6 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa sau

+∞

P

n=1

 n + 1 2n + 1

n

.(x − 2)n Câu 7 Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa sau

S(x) =

+∞

X

n=0

(−1)nx2n 2n + 3 Chủ nhiệm bộ môn

PGS.TS Nguyễn Đình Huy

Đáp án đề thi Học kỳ II: 2013-2014

Môn: Giải tích 2-CA2 Ngày thi 21 tháng 06 năm 2014

Câu 1 (1,5đ)

fx0 = y

x 2 + y 2 , fy0 = − x

fxy00 = x

2 − y 2

(x 2 + y 2 ) 2 , fyy00 = 2xy

(x 2 + y 2 ) 2 (0,5đ)

Câu 2 (1,5đ)

I = −RRR

Ω

= −

2π

R

0

dϕ

π/3

R

0

dθ

1

R

0

2ρ cos θ.ρ2sin θdρ (0,5đ)

Câu 3 (1,5đ) C 1 : y = 1, x : 1 → −1.

C∪C 1

(2y + xy 3 )dx + (2x + x 2 y 2 )dy − R

C 1

(2y + xy 3 )dx + (2x + x 2 y 2 )dy (0,5đ)

=RR

D

(−xy 2 )dxdy −

−1

R

1

Câu 4 (1,5đ)

S : z = 1 − y 2 Hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy là D : x = 1 − y 2 , x = 0, y > 0 (0,5đ)

I =RR

D

1

p1 + 4y 2 p1 + 4y 2 dxdy (0,5đ)

=

1

R

0

dy

1−y 2

R

0

dx = 2

Câu 5 (1đ)

n

√

an = p√n

n.

 n 4n − 3

 2

(0,5đ)

n→∞

−−−→ 1

4 < 1 hội tụ (0,5đ)

Câu 6 (1,5đ)

x − 2 = 2,

+∞

P

n=1

 2n + 2 2n + 1

 n

phân kỳ theo điều kiện cần vì  2n + 2

2n + 1

 n n→∞

x − 2 = −2,

+∞

P

n=1

(−1) n  2n + 2

2n + 1

 n

phân kỳ theo điều kiện cần vì

(−1) n  2n + 2

2n + 1

 n

n→∞

−−−→ e 1/2 6= 0 (0,5đ) Miền hội tụ (0, 4)

Câu 7 (1,5đ)

x 6= 0, S(x) = 1

x 3

+∞

P

n=0

(−1) n x 2n+3

1

x 3

+∞

P

n=1

(−1) n−1 x 2n+1

= −1

x 3

+∞

P

n=1

(−1)nx2n+1

1

x ∈ [−1, 1]\{0}, S(0) = 1

Chú ý Thiếu biện luận S(0) không bị trừ điểm.

Trường Đại học Bách Khoa Tp HCM Đề thi cuối kỳ năm học 20 13 -20 14

Bộ môn: Tốn Ứng Dụng Mơn: Giải tích 2- Ca

Ngày thi 21 tháng 06 năm 20 14

Thời gian 90 phút

(Sinh... class="text_page_counter">Trang 12< /span>

Trường Đại học Bách Khoa Tp HCM Đề thi cuối kỳ năm học 20 13 -20 14

Bộ mơn: Tốn Ứng Dụng Mơn: Giải tích 2- Ca

Ngày thi 21 tháng... kỳ II: 20 13 -20 14

Môn: Giải tích 2- CA1 Ngày thi 21 tháng 06 năm 20 14

Câu (1,5đ)

fx0 = 2xy +