ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 2

ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 2 tại M(0,1) Câu 2:Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 4 1 1 1 3 2 3 3 1 n n n n n    ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 20122013 Bộ môn Toán Ứng Dụng MÔN THI : GIẢI TÍCH 2 ____________________________ NGÀY THI : 15062013 THỜI GIAN : 90 phút ______________ (Không sử dụng tài liệu) CA 1 Câu 1: Cho hàm ( , ) ln| 2 | x f x y y y e . Tính , 2 3 A f f B f f f x y xx yy xy           tại M(0,1) Câu 2:Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 4 1 1 1 3 2 3 3 1 n n n n n    ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 20122013 Bộ môn Toán Ứng Dụng MÔN THI : GIẢI TÍCH 2 ____________________________ NGÀY THI : 15062013 THỜI GIAN : 90 phút ______________ (Không sử dụng tài liệu) CA 1 Câu 1: Cho hàm

Trường Đại học Bách khoa Tp.HCM ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ

Bộ môn Toán Ứng dụng Môn thi : GIẢI TÍCH 2

- Ngày thi: 27/06/2015 - Thời gian: 90 phút

CA 1

Không được sử dụng tài liệu

2

z



    Tính df 0, 0,1

Câu 2: Tính diện tích phần mặt phẳng x    y z 2 bị giới hạn bởi mặt trụ 2

y  x và mặt phẳng z  0

Câu 3: Tính tích phân

D

I xdxdy với miền D giới hạn bởi x 1 y x,  1 y x, 3

2

C

I   y  xy  z  z dx   xy  x dy   y  xy dz 

của mp x   z 0 và mặt cầu 2 2 2

2

x  y  z  lấy hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía nửa dương trục Oz

Câu 5: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số  

3 2

2 1 1

1.3.5 2 1 2

3 1.4.7 3 2

n

n n

n n















Câu 6: Cho chuỗi lũy thừa:  

   

1

1

3

1 2.4.6 2

n

n n

x n











 Tìm BKHT và tính tổng chuỗi khi x=0

2

3

C

y



1 Tìm hàm h(x) thỏa h(0)=1 sao cho tích phân trên là tích phân không phụ thuộc đường đi với mọi đường cong C

2 Tính tích phân với hàm h(x) tìm ở câu trên và C là phần parabol y  2 x2  1 đi từ A   0,1 đến

  1, 3

B

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN DUYỆT

Trường Đại học Bách khoa Tp.HCM ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ

Bộ môn Toán Ứng dụng Môn thi : GIẢI TÍCH 2

- Ngày thi: 27/06/2015 - Thời gian: 90 phút

CA 2

Không được sử dụng tài liệu

Câu 1 Cho   2

x

   Tìm d  grad f   1,1 (độ dài vector gradient)

Câu 2 Tính tích phân I  x y 2 z dxdydz 



    , trong đó  là miền giới hạn bởi

1,

x  y  z  z   x  y

Câu 3 Tính tích phân đường

3 2

3 2

C

       

2

2

y   x , đi từ điểm   1,1  đến  1,1

Câu 4 Tính tích phân  2    2 

C

I   x  y dx  zx  y dy  x  z dz , trong đó C là giao tuyến của mặt trụ

1

x  y  và mặt paraboloid z  2 x2 2 y2, lấy cùng chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc tọa độ

Câu 5 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

8

arctan

1 !

n n

n

n n









Câu 6 Cho chuỗi lũy thừa  

1

1 2

n n n n

n x n









 Tìm BKHT và tính tổng chuỗi khi 1

2

x 

Câu 7 Cho S là phần mặt paraboloid z  x2  y2 nằm dưới mặt phẳng z  2 x lấy hướng sao cho pháp

vecto cùng hướng với nửa dương trục Oz Tính tích phân

S

I  e   dydz y e   xz dxdz e    dydx

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN DUYỆT

Đáp án: CA 1

Câu 1: df  2 dx  dy  2 dz (2 đhr đúng  0.5+0.5; dh thứ 3 đúng và vp đúng  0.5)

Câu 2:

S

S   ds hoặc 1 x2 y2

Dxy

S    z   z dxdy  (0.5đ) =    

2

2

x x





   

9 3

7.794

2

Câu 3:

  2

1 3

x x





3

 11.33 (0.5đ)

Câu 4: Có 2 cách

2 sin

 







0

2 sin 2 2 cos 2 sin



C2 Gọi S là phần mp nằm trong hình cầu lấy pháp vecto cùng hướng với nửa dương trục Oz (0.5đ)

S

I   y    x dxdy  z   y dzdx  y  x dydz (0.5đ)

S

I   y    x  z   y  y  x     ds

3 1

1.3.5 2 1 2 1 2

3 1.4.7 3 2 3 1

n

u





3 1

2

2 1 2

3 3 1

n

n u







 (0.5đ)

16 1 27

 

Vậy chuỗi HT (0.5đ)

Câu 6: 1 R  (0.5đ) Thiếu dấu ||, không cho điểm

Khi x=0:  

   

1

3

1

n n

n



 

 

  

1

  (0.5đ)

Câu 7: 1   x

h x e (0.5đ) 2

 

2 0,1

1

12 32.29

       

Đáp án: CA 2 Câu 1 :   5

1,1

2

x

f   (0.5),   3

1,1

2

y

f   (0.5)   1  

1,1 5, 3

2

1,1

2

grad f

Nếu đúng đạo hàm, nhưng viết sai grad f(1,1) : 0.5đ

3

4

sin cos sin sin 2 cos sin



4



  (0.5đ)

2

1

r r



 

4



  (0.5đ)

Lưu ý : sv có thể sử dụng thêm tính đ/x  chỉ cần tính tp của 2z

Câu 3:

2

1

3





Cách 2: C1: y  1, :1 x   1, D : 1    x 1,1    y 2 x2,

1

2

C C D



35

   1.03 (0.5)

1

3 2

2

35 C

         

( 2)

Nếu sai kết quả cuối cùng nhưng kết quả từng phần đúng : (1.5đ)

Câu 4:

Cách 1: Chọn S là phần mặt phẳng z  2 nằm trong trụ x2 y2  1 , lấy phía trên theo hướng trục Oz

S

I    xdydz  xdzdx  z  y dxdy (0.5đ)  

2 2

1

x y

y dxdy 

Cách 2: Chọn S là mặt z  2 x2  2 y2 nằm trong trụ x2  y2  1 , lấy phía trên theo hướng trục Oz,

S

I    xdydz  xdzdx  z  y dxdy (0.5)

2 2

4 x 8 xy 2 x 2 y 2 y dxdy 2 

 

Lưu ý: Ở cách 1 và 2, nếu sv tính pháp vector và chuyển qua mặt 1 đúng, phần còn lại sai, chỉ trừ 0.5

Cách 3: C x :  cos , t y  sin , t z  2 , t : 0  2 (0.5đ)

2

0

sin 2 cos 2 sin cos



Câu 5:

 8 

~

n

n

8

0 1 2

n

n n

b

b HT

Tính luôn giới hạn bằng 0 (1đ)

Câu 6: R  2 (0.5đ) Thiếu dấu ||, không cho điểm

1

n n

n n

n



 

 

 

   (0.5đ)

Câu 7: Chọn S1 là mp z  2 x lấy phía dưới, V là vật thể giới hạn bởi 2 2

z  x  y z  x

1

1

G O



2 cos 2

2

0 2

5

2







          7.854 (0.5đ)

Trường Đại học Bách khoa Tp.HCM Đề thi cuối học kỳ 2 năm học 2015-2016

Bộ môn Toán Ứng dụng Môn: Giải tích 2 – CA 1

Ngày thi: 25 tháng 6 năm 2016 Thời gian thi: 90 phút

ĐỀ THI KHÔNG SỬ DỤNG TÀI LIỆU

Câu 1: Cho hàm số   2 2 2

f x y z   x  y z  z Tìm đạo hàm của hàm f theo hướng vecto

 0,1,1 

u  tại điểm M  1,1, 2  

Câu 2: Tính tích phân  2  2

2

C

I   xy  y dx  xy  x dy với C là biên của miền

2 2

D x  y  x  y x    y lấy theo cùng chiều kim đồng hồ

Câu 3: Tính tích phân

2 2 2

1

V



 

V x  y  z  z x  y  z  x  y

S

I   x  yz dydz  y  xy dzdx   z x dxdy với S là mặt trụ

2 4

z   y ; phần giới hạn bởi các mặt phẳng z  0, x  0, 2 x   z 4; lấy phía dưới Câu 5: Tính diện tích xung quanh vật thể giới hạn bởi z  x2  y2, z   2 x2  y2

Câu 6: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

2 3

3 2 2 2

n n









Câu 7: Tìm bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa   1  

1

1 1.3.5 2 1

2 !

n

n n

n

n x n







chuỗi khi 1

2

x  

Chủ nhiệm Bộ môn

PGS.TS Nguyễn Đình Huy

Trường Đại học Bách khoa Tp.HCM Đề thi cuối học kỳ 2 năm học 2015-2016

Bộ môn Toán Ứng dụng Môn: Giải tích 2 – CA 2

Ngày thi: 25 tháng 6 năm 2016 Thời gian thi: 90 phút

ĐỀ THI KHÔNG SỬ DỤNG TÀI LIỆU

Câu 1: Cho S là phía trong mặt cầu x2  y2 z2  2 z Tính pháp vecto đơn vị của mặt S tại

1 1 1 , ,

2 2 2

Câu 2: Tính tích phân

D

I   xydxdy với miền D giới hạn bởi y   2 , x y   2 x y ,  2 x  x2

C

I   e   y x  xy  y dx  x e    x y dyvới C là nửa đường tròn x2 y2 2 x  0, y  0 lấy ngược chiều kim đồng hồ

Câu 4: Cho S là mặt trụ x2 y2  2 x phần nằm giữa 2 mặt phẳng z  0, z  1, lấy phía ngoài

Tính tích phân  zcos 2   1   1 

S

I   e y  x dydz  y  dzdx   z dxdy

Câu 5: Dùng công thức Stokes để tính tích phân  2 1  2 3   4 

C

I   z  dx  x  y dy  y  z dz

với C là giao tuyến của 2 mặt z   5 x2  y2, 2 z  x2  y2 lấy theo ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ chiều dương trục Oz xuống

Câu 6: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số  

1

3.6.9 3 1

ln 1

n

n n





  



Câu 7: Tính tổng chuỗi số    

1

1

1 ! 2

n

n





     



Chủ nhiệm Bộ môn

PGS.TS Nguyễn Đình Huy

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Khoa Khoa Học Ứng Dụng ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2 HỌC KỲ 162

Ngày thi: 03-07-2017 Thời gian : 09 phút Giờ thi: CA 1

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu

Câu 1: Cho hàm f (x, y, z) = ln x

3+ 3yz

x2+ y2+ z2 và −→u = (2, −2, 1) Tính df (1, 1, 0), ∂f

∂−→u(1, 1, 0). Câu 2: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi z = 0, z = 4 − x2, y = 0, 2y + z = 4

Câu 3: Tính tích phân I =RR

S

(1 − z)ds với S là phần mặt cầu x =p4 − y2 − z2 nằm giữa

2 mặt phẳng y = −x√

3, x = y√

3

Câu 4: Dùng công thức Stokes để tính tích phân I =R

C

(z3+2xy2)dx+32xyzdy+(y3+z2x)dz

với C là đường cong

(

x2+ 2y2 = z

z = 4y lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z dương

Câu 5: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số

1

∞

P

n=3

 n − 2 n

n(n−2)

 n + 2

n + 1

(n+2)(n+1)

2

∞

P

n=1

2.5.8 (3n + 2)

22n−1(n!)

Câu 6: Tìm miền hội tụ D của chuỗi lũy thừa

∞

P

n=1

(−1)n 4n−1

(2n)! +

1 n



x2n và tính tổng chuỗi

khi x = π

4

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Phó chủ nhiệm bộ môn

TS.Nguyễn Bá Thi

ĐÁP ÁN

Câu 1: fx0(M ) = 2, fy0(M ) = −1, fz0(M ) = 3 (1đ), df (M ) = 2dx − dy + 3dz (0.5đ)

∂f

∂−→u (1, 1, 0) = 3 (0.5đ)

Phần tính đhr nếu chỉ đúng 1 đh thì cho 0.5đ

Câu 2: V = RR

z=4−x 2 ,z=0

dxdz

2−z2

R

0

dy (0.5đ) =

2

R

−2

dx

4−x 2

R

0



2 − z 2



dz (0.5đ) = 64

5 (0.5đ)

Câu 3: I = RR

S,z≥0

(1 − z)ds + RR

S,z≤0

(1 − z)ds (0.5đ)

=RR

D xy



1 −p4 − x2− y2 2

p4 − x2− y2dxdy+RR

D xy



1 +p4 − x2− y2 2

p4 − x2− y2dxdy

= 2

π

6

R

−π3

dϕ

2

R

0

r√ 1

4 − r2dr (0.5đ) = 2π (0.5đ)

Câu 4: Chọn S là mp z = 4y phần nằm trong paraboloid, lấy phía trên, −n→

S = √1

17(0, −4, 1)(0.5đ)

I =RR

S

 (32yz − 4xy)√1

17 + (3z

2− z2) −4

√

17 + (3y

2− 3z2).0

 ds

= RR

x 2 +2y 2 ≤4y

[(32y.4y − 4xy) − 4(2.16y2)] dxdy (0.5đ) = 0 (0.5đ)

Câu 5: 1

∞

P

n=3

 n − 2 n

n(n−2) n + 2

n + 1

(n+2)(n+1)

, lim√n

un = 1

e (0.5đ) < 1 ⇒ HT (0.25đ) 2

∞

P

n=1

2.5.8 (3n + 2)

22n−1(n!) , lim

un+1

un =

3

4 (0.5đ) < 1 ⇒ HT (0.25đ)

Câu 6: R = 1 → D = [−1, 1] (0.5đ)

∞

P

n=1

 4n−1

(2n)! +

(−1)n

n



x2n =

∞

P

n=1

(−1)n

4.(2n)!(−2x)

2n−

∞

P

n=1

(−1)n−1

n (x

2)n (0.5đ)

= 1

4

 ∞

P

n=0

(−1)n

(2n)!(−2x)

2n− 1



−

∞

P

n=1

(−1)n−1

n (x

2)n = 1

4[cos(−2x) − 1]−ln(1+x

2)(0.5đ)

= 1

4

h

cos2π 4



− 1i− ln



1 + π

2

16



= −1

4− ln



1 + π

2

16

 (0.5đ)

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Khoa Khoa Học Ứng Dụng.

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2 HỌC KỲ 162

Ngày thi: 03-07-2017 Thời gian : 90 phút Giờ thi: CA 2

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 7 câu

Câu 1: Cho f (x, y, z) = earctanx+zy và ~u = (1, −1, 1) Tính ∂f

∂~u(2, 1, −1).

Câu 2: Cho (L) là đường gấp khúc ABC, trong đó AB là cung y = 1 − x2, BC là cung

y = (x − 1)2 và tọa độ các điểm là A(−1, 0), B(0, 1), C(1, 0)

Tính I =RACcos2ydx − (2xy + x sin 2y)dy theo đường cong (L)

Câu 3: Tính tích phân I =RRR

Ω

(x + 2z)dxdydz, với Ω là miền giới hạn bởi x2+ y2+ z2 ≤

1, z ≥ −1 +px2+ y2, y ≥ 0

Câu 4: Tính tích phân I = RR

S

2dydz +(y2−2x−z)dxdy, với S là phần mặt trụ z = 2x−x2

nằm giữa hai mặt phẳng y = 3x, y = −2x và trên mặt phẳng z = 0, lấy phía dưới theo hướng trục Oz

Câu 5: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số P∞

1 (−1)n1.4.7 (3n + 1) + ln n

(2n)!!2n

Câu 6: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa P+∞

1

 n2+ 1 4n2− 3

n

(x − 2)n

Câu 7: Tính tổng S hoặc chứng minh phân kỳ chuỗi số sau : P∞

1

(−1)n

n(2n + 3).

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Phó chủ nhiệm bộ môn

TS.Nguyễn Bá Thi

1

ĐÁP ÁN

Câu 1: ∇f (2, 1, −1) = e

π 4

2 (1, −1, 1) (0.5đ), h∇(M ), ui =

3

2e

π

4 (0.5đ) , ∂f

∂~u(2, 1, −1) =

√

3

2 e

π

4 (0.5đ)

Câu 2: Gọi C là đường y = 0, x : 1 → −1, khi đó C ∪ L là biên âm của miền phẳng D

R

L∪C

cos2ydx − (2xy + x sin 2y)dy = −RR

D

−2ydxdy (0.5đ)

I = −RR

D

−2ydxdy −R

C

cos2ydx − (2xy + x sin 2y)dy

= −h −10 dxR1−x 2

0 2ydy +R1

0 dxR(1−x) 2

0 2ydyi−R−1

1 x.1dx = 11

15− 0 = 11

15. Mỗi tp tính đúng là 0.5đ

Nếu đúng tp kép nhưng sai chiều của C, có thể cho cả bài 0.5

Câu 3: I =R0πdϕR01drR

√ 1−r 2

−1+r r(r cos ϕ + 2z)dz = π

6. cận z : (0.5đ), cận : r, ϕ (0.5đ), đáp số : (0.5đ)

Câu 4: Dxy : 0 ≤ x ≤ 2, −2x ≤ y ≤ 3x

I = −RR

D xy

(2, 0, y2− 2x − 2x + x2)(2x − 2, 0, 1)dxdy (0.5đ)

= −RR

D xy

(x2+ y2− 4)dxdy

=R2

0 dxR−2x3x (x2 + y2− 4)dy (0.5đ)

= −80

3 (0.5đ)

Câu 5: D = lim

n→∞

an+1

an

(0.5đ)= lim

n→∞

3n + 4 4(n + 1) =

3

4 (0.5đ) Kết luận hội tụ : (0.5đ) Nếu thiếu trị tuyệt đối và kết luận đúng, cả bài cho 0.5đ

Câu 6: Bán kính hội tụ R = 4, (0.5đ)

Hai cận phân kỳ theo Điều kiện cần hoặc Cauchy Cn (0.5đ)

Câu 7: S =P∞

1

(−1)n

3n − 2

3

P∞ 1

(−1)n

2n + 3 (0.5đ)

= −1

3ln 2 +

2 3

P∞ 2

(−1)n

2n + 1

= −1

3ln 2 +

2

3arctan 1 = −

1

3ln 2 +

2 3

π

4 − 4

9 (1đ)

2

Điều chỉnh đáp án CA 1

Câu 3 : I = 4RR

D xy

dxdy p4 − x2− y2 = 4π

Câu 6 : P+∞

1 (−1)n 4n−1

(2n)!+

1

nx

2n



=P+∞

1

(−1)n

4(2n)!(2x)

2n−P∞

1

(−1)n−1

n (x

2)n

= 1

4(cos 2x − 1) − ln(1 + x

2)

hoặc P+∞

1 (−1)n 4n−1

(2n)!+

1

nx

2n



=P+∞

1

(−1)n

4(2n)!(2x)

2n+P∞

1

(−x2)n

n

= 1

4(cos 2x − 1) − ln(1 + x

2)

Điều chỉnh đáp án CA 2

Câu 2 : I = −RR

D

−2ydxdy −R

C

cos2ydx − (2xy + x sin 2y)dy

= −h −10 dxR01−x22ydy +R01dxR0(1−x)22ydyi−R−1

1 1dx = 11

15+ 2 =

41

15.

Câu 7 : S = −1

3ln 2 +

2 3

P∞ 2

(−1)n 2n + 1 = −

1

3ln 2 +

2 3

 arctan 1 − 1 + 1

3



= −1

3ln 2 +

2 3

π

4 − 4 9

1

2< /small>)

Điều chỉnh đáp án CA 2< /h2>

Câu : I = −RR

D

−2ydxdy −R

C

cos2< /small>ydx − (2xy + x sin 2y)dy

=...

9 (1đ)

2