Đề thi cuối kì GT3 kì 20192 – nhóm ngành 2 Lời giải Trần Bá Hiếu & Nguyễn Tiến Được Câu 1 ∑ √
Trang 1Đề thi cuối kì GT3 kì 20192 – nhóm ngành 2
Lời giải: Trần Bá Hiếu & Nguyễn Tiến Được
Câu 1:
∑√𝑛
2+ 1 − √𝑛2− 1
√𝑛
∞
𝑛=1
𝑢𝑛 =√𝑛
2+ 1 − √𝑛2− 1
2
√𝑛 (√𝑛2+ 1 + √𝑛2− 1) > 0 ∀ 𝑛 ≥ 1 𝐾ℎ𝑖 𝑛 → ∞: 𝑢𝑛 ~ 2
√𝑛 2𝑛 =
1
𝑛32
𝑀à ∑ 1
𝑛32
𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑅𝑖𝑒𝑚𝑎𝑛𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ
∞
𝑛=1
→ 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 đã 𝑐ℎ𝑜 ℎộ𝑖 𝑡ụ
Câu 2:
2𝑛 + 1(
1 − 2𝑥
1 + 𝑥 )
𝑛
∞
𝑛=1
Đặ𝑡 𝑡 = 1 − 2𝑥
1 + 𝑥 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 đã 𝑐ℎ𝑜 𝑡𝑟ở 𝑡ℎà𝑛ℎ ∑
1 2𝑛 + 1 𝑡
𝑛
∞
𝑛=1 𝑋é𝑡 lim
𝑛→∞
2𝑛 + 3
2𝑛 + 1= 1 → 𝑅 = 1
𝑇𝑎𝑖𝑗 𝑡 = 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì 𝑑𝑜 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 đ𝑖ề𝑢 ℎò𝑎
𝑇ạ𝑖 𝑡 = −1 → ∑ (−1)𝑛
2𝑛 + 1 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛𝑖𝑡𝑧
∞
𝑛=1
→ 𝑀𝑖ề𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ − 1 ≤ 𝑡 < 1 → −1 <1 − 2𝑥
1 + 𝑥 < 1 ( 𝑥 ≠ −1)
→ {
1 − 2𝑥
1 + 𝑥 + 1 =
2 − 𝑥
1 + 𝑥 > 0
1 − 2𝑥
1 + 𝑥 − 1 = −
3𝑥
1 + 𝑥 < 0
→ { −1 < 𝑥 < 2
𝑥 < −1 ∪ 𝑥 > 0 → {
𝑥 < 2
𝑥 ≠ −1
𝑉ậ𝑦 𝑚𝑖ề𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑐ầ𝑛 𝑡ì𝑚 𝑙à (−∞; 2)/{−1}
Câu 3:
𝐾ℎ𝑎𝑖 𝑡𝑟𝑖ể𝑛 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝑓(𝑥) = −𝑥 𝑘ℎ𝑖 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑣à 𝑡𝑢ầ𝑛 ℎ𝑜à𝑛 𝑇 = 4
𝐷ễ 𝑡ℎấ𝑦 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥) → 𝑓(𝑥) 𝑙à ℎà𝑚 𝑙ẻ → 𝑎𝑛 = 0
𝑏𝑛 = 1
2∫ −𝑥 sin
𝑛𝜋𝑥
2 𝑑𝑥 → 𝑏𝑛 = ∫ 𝑥 𝑑 (
2
nπcos
𝑛𝜋𝑥
2 )
2 0 2
−2
Trang 2→ 𝑏𝑛 = 2𝑥
𝑛𝜋cos
𝑛𝜋𝑥
2 |
2
0− ∫
2
𝑛𝜋cos
𝑛𝜋𝑥
2 𝑑𝑥
2 0
= 1
𝑛𝜋cos 𝑛𝜋 − (
4
𝑛2𝜋2sin𝑛𝜋𝑥
2 ) |
2 0
→ 𝑏𝑛 = 4
𝑛𝜋cos 𝑛𝜋 −
4
𝑛2𝜋2sin 𝑛𝜋 = (−1)𝑛
𝑛𝜋 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,2,3, … 𝑉ậ𝑦 𝑘ℎ𝑎𝑖 𝑡𝑟𝑖ể𝑛 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝑐ủ𝑎 𝑓(𝑥) 𝑙à ∑ 4.(−1)𝑛
𝑛𝜋 sin
𝑛𝜋𝑥 2
∞
𝑛=1
Câu 4:
a) 𝑥𝑦′ − 2𝑥2√𝑦 = 4𝑦
+) 𝑦 = 0 𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘ỳ 𝑑ị
+) 𝑦 ≠ 0 → 𝑦
′
√𝑦 −
4
𝑥𝑦
√𝑦− 2𝑥 = 0 Đặ𝑡 √𝑦 = 𝑡 → 2𝑡′ = 𝑦
′
√𝑦
→ 2𝑡′−4
𝑥𝑡 = 2𝑥 → 𝑡
′−2
𝑥𝑡 = 𝑥
𝑃𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑡 = 𝑒∫𝑥2𝑑𝑥(𝑙𝑛𝐶 + ∫ 𝑥 𝑒∫ −2𝑥𝑑𝑥𝑑𝑥) = 𝑥2(ln 𝐶 + ln|𝑥|)
= 𝑥2ln 𝐶𝑥 𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑃𝑇 đã 𝑐ℎ𝑜 𝑙à 𝑦 = (𝑥2ln 𝐶𝑥)2 = 𝑥4ln2𝐶𝑥
b) 𝑦′′ + 𝑦 = 2 sin2𝑥
Xét PT thuần nhất 𝑦′′ + 𝑦 = 0
Có PT đặc trưng là 𝑘2 + 1 = 0 → 𝑘 = 0 ± 𝑖
→ 𝑦̅ = 𝐶1cos 𝑥 + 𝐶2sin 𝑥
𝑆𝑑 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑝ℎá𝑝 𝑏𝑖ế𝑛 𝑡ℎ𝑖ê𝑛 ℎằ𝑛𝑔 𝑠ố 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒
{ 𝐶1
′cos 𝑥 + 𝐶2′ sin 𝑥 = 0
−𝐶1′sin 𝑥 + 𝐶2′cos 𝑥 = 2 sin2𝑥
| cos 𝑥 sin 𝑥
− sin 𝑥 cos 𝑥| = 1 ≠ 0 → {
𝐶1′ = | 0 sin 𝑥
1 − cos 2𝑥 cos 𝑥| = −2 sin
3𝑥
𝐶2′ = | cos 𝑥 0
− sin 𝑥 1 − cos 2𝑥| = 2 cos 𝑥 sin
2𝑥
→ 𝐶1(𝑥) = ∫ 2 − 2 cos2𝑥 𝑑(cos 𝑥) = 2 cos 𝑥 −2
3cos
3𝑥 + 𝐾1
→ 𝐶2(𝑥) = ∫ 2 sin2𝑥 𝑑(sin 𝑥) = 2
3sin
3𝑥 + 𝐾2 𝑉ậ𝑦 𝑃𝑇 đã 𝑐ℎ𝑜 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑙à
𝑦 = 2 cos2𝑥 −2
3cos
4𝑥 + 𝐾1cos 𝑥 +2
3sin
4𝑥 + 𝐾2sin 𝑥
Trang 3c) 𝑥𝑦′′− 𝑦′ = 𝑥2𝑒𝑥
→𝑥𝑦
′′− 𝑦′
𝑥2 = 𝑒𝑥 → (𝑦
′
𝑥)
′
= 𝑒𝑥 → 𝑦
′
𝑥 = 𝑒
𝑥 + 𝐶1 → 𝑦′ = 𝑥𝑒𝑥 + 𝐶1𝑥
→ 𝑦 = (𝑥 − 1)𝑒𝑥 +𝐶1
2 𝑥
2 + 𝐶2
Câu 5:
𝐿−1{ 7𝑠 + 13
(𝑠 − 1)2(𝑠 + 2)} = 𝐿
−1{− 1
9(𝑠 + 2)+
20 3(𝑠 − 1)2+ 1
9(𝑠 − 1)}
= −1
9𝑒
−2𝑡 +20
3 𝑒
𝑡 𝑡 +1
9𝑒 𝑡
Câu 6:
𝑦(4)− 𝑦 = 0
Với 𝑦(0) = 0; 𝑦′(0) = 1; 𝑦′′(0) − 0; 𝑦(3)(0) = 0
𝑇á𝑐 độ𝑛𝑔 𝑡𝑜á𝑛 𝑡ử 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑣à𝑜 2 𝑣ế 𝑐ủ𝑎 𝑃𝑇 𝑡𝑎 đ𝑐:
𝑠4𝑋(𝑠) − 𝑠2− 𝑋(𝑠) = 0
→ 𝑋(𝑠) = 𝑠
2
𝑠4− 1 =
𝑠2 (𝑠 − 1)(𝑠 + 1)(𝑠2+ 1)
4(𝑠 + 1)+
1 4(𝑠 − 1)+
1 2
𝑠2 + 1
→ 𝑥(𝑡) = 𝐿−1{𝑋(𝑠)} = −1
4𝑒
−𝑡 +1
4𝑒
𝑡+1
2𝐿
−1{ 1 (𝑠2 + 1)} = −1
4𝑒−𝑡 +1
4𝑒𝑡 +1
2sin 𝑡
Câu 7:
∑ 𝑢𝑛
∞
𝑛=1
; ∑ 𝑣𝑛
∞
𝑛=1
𝐻𝑇𝑇Đ → lim
𝑛→∞ |𝑢𝑛| = lim
𝑛→∞|𝑣𝑛| = 0
𝑋é𝑡 lim
𝑛→∞
|𝑢𝑛||𝑣𝑛|
|𝑣𝑛| = 0
→ ∑|𝑢𝑛||𝑣𝑛| ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑇𝐶𝑆𝑆
∞
𝑛=1
→ ∑ 𝑢𝑛 𝑣𝑛
∞
𝑛=1
ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑡𝑢𝑦ệ𝑡 đố𝑖 (đ𝑝𝑐𝑚)
Câu 8:
Trang 4∑ 3
𝑛+2
(𝑛 + 2)𝑛!
∞
𝑛=0
𝑋é𝑡 𝑆(𝑥) = ∑ 𝑥
𝑛+2 (𝑛 + 2)𝑛!
∞
𝑛=0
𝑆′(𝑥) = ∑𝑥
𝑛+1 𝑛! = 𝑥 ∑
𝑥𝑛 𝑛!
∞
𝑛=0
= 𝑥 𝑒𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝑅
∞
𝑛=0
→ 𝑆(𝑥) = ∫ 𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥(𝑥 − 1) + 𝐶
𝑆(0) = 0 = −1 + 𝐶 → 𝐶 = 1
→ 𝑆(𝑥) = ∑ 𝑥
𝑛+2 (𝑛 + 2)𝑛!
∞
𝑛=0
= 𝑒𝑥(𝑥 − 1) + 1 𝑆(3) = 2𝑒3+ 1 𝑙à 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑐ầ𝑛 𝑡ì𝑚