ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 2

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 7 câu. Sinh viên không được sử dụng tài liệu. Câu 1: (1.5đ) Cho hàm f(x, y, z) = xz3 − 3x 2 + 4xy − 4y − 12z + 3. Tìm tất cả các điểm M(x, y, z) mà tại đó hướng tăng nhanh nhất của hàm f là −→u = (1, 0, 0). Câu 2: (1.5 đ) Tính tích phân: I = Z Z Z V (2xz + y)dxdydz với V là miền hữu hạn giới hạn bởi các mặt yHình thức thi tự luận: Đề gồm 7 câu. Sinh viên không được sử dụng tài liệu. Câu 1: (1.5đ) Cho hàm f(x, y, z) = xz3 − 3x 2 + 4xy − 4y − 12z + 3. Tìm tất cả các điểm M(x, y, z) mà tại đó hướng tăng nhanh nhất của hàm f là −→u = (1, 0, 0). Câu 2: (1.5 đ) Tính tích phân: I = Z Z Z V (2xz + y)dxdydz với V là miền hữu hạn giới hạn bởi các mặt yHình thức thi tự luận: Đề gồm 7 câu. Sinh viên không được sử dụng tài liệu. Câu 1: (1.5đ) Cho hàm f(x, y, z) = xz3 − 3x 2 + 4xy − 4y − 12z + 3. Tìm tất cả các điểm M(x, y, z) mà tại đó hướng tăng nhanh nhất của hàm f là −→u = (1, 0, 0). Câu 2: (1.5 đ) Tính tích phân: I = Z Z Z V (2xz + y)dxdydz với V là miền hữu hạn giới hạn bởi các mặt y

Trang 1

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Khoa Khoa Học Ứng Dụng ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2 HỌC KỲ 162

Ngày thi: 03-07-2017 Thời gian : 09 phút Giờ thi: CA 1

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu

Câu 1: Cho hàm f (x, y, z) = ln x

3+ 3yz

x2+ y2+ z2 và −→u = (2, −2, 1) Tính df (1, 1, 0), ∂f

∂−→u(1, 1, 0). Câu 2: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi z = 0, z = 4 − x2, y = 0, 2y + z = 4

Câu 3: Tính tích phân I =RR

S (1 − z)ds với S là phần mặt cầu x =p4 − y2 − z2 nằm giữa

2 mặt phẳng y = −x√

3, x = y√

3

Câu 4: Dùng công thức Stokes để tính tích phân I =R

C (z3+2xy2)dx+32xyzdy+(y3+z2x)dz với C là đường cong

(

x2+ 2y2 = z

z = 4y lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z dương

Câu 5: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số

1

∞ P n=3

n − 2 n

n(n−2)

n + 2

n + 1

(n+2)(n+1)

2

∞ P n=1

2.5.8 (3n + 2)

22n−1(n!) Câu 6: Tìm miền hội tụ D của chuỗi lũy thừa

∞ P n=1

(−1)n 4n−1

(2n)! +

1 n

x2n và tính tổng chuỗi khi x = π

4

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Phó chủ nhiệm bộ môn

TS.Nguyễn Bá Thi

Trang 2

ĐÁP ÁN

Câu 1: fx0(M ) = 2, fy0(M ) = −1, fz0(M ) = 3 (1đ), df (M ) = 2dx − dy + 3dz (0.5đ)

∂f

∂−→u (1, 1, 0) = 3 (0.5đ)

Phần tính đhr nếu chỉ đúng 1 đh thì cho 0.5đ

Câu 2: V = RR

z=4−x 2 ,z=0

dxdz

2−z2 R 0

dy (0.5đ) =

2 R

−2 dx

4−x 2

R 0

2 − z 2

dz (0.5đ) = 64

5 (0.5đ)

Câu 3: I = RR

S,z≥0

(1 − z)ds + RR

S,z≤0 (1 − z)ds (0.5đ)

=RR

D xy

1 −p4 − x2− y2 2

p4 − x2− y2dxdy+RR

D xy

1 +p4 − x2− y2 2

p4 − x2− y2dxdy

= 2

π

6

R

−π3

dϕ

2 R 0

r√ 1

4 − r2dr (0.5đ) = 2π (0.5đ)

Câu 4: Chọn S là mp z = 4y phần nằm trong paraboloid, lấy phía trên, −n→

S = √1

17(0, −4, 1)(0.5đ)

I =RR

S

(32yz − 4xy)√1

17 + (3z

2− z2) −4

√

17 + (3y

2− 3z2).0

ds

= RR

x 2 +2y 2 ≤4y

[(32y.4y − 4xy) − 4(2.16y2)] dxdy (0.5đ) = 0 (0.5đ)

Câu 5: 1

∞

P

n=3

n − 2 n

n(n−2) n + 2

n + 1

(n+2)(n+1)

, lim√n

un = 1

e (0.5đ) < 1 ⇒ HT (0.25đ) 2

∞

P

n=1

2.5.8 (3n + 2)

22n−1(n!) , lim

un+1

un =

3

4 (0.5đ) < 1 ⇒ HT (0.25đ) Câu 6: R = 1 → D = [−1, 1] (0.5đ)

∞

P

n=1

4n−1

(2n)! +

(−1)n n

x2n =

∞ P n=1

(−1)n 4.(2n)!(−2x)

2n−

∞ P n=1

(−1)n−1

n (x

2)n (0.5đ)

= 1

4

∞

P n=0

(−1)n (2n)!(−2x)

2n− 1

−

∞ P n=1

(−1)n−1

n (x

2)n = 1

4[cos(−2x) − 1]−ln(1+x

2)(0.5đ)

= 1

4

h

cos2π 4

− 1i− ln

1 + π 2 16

= −1

4− ln

1 + π 2 16

(0.5đ)

Trang 3

Khoa Khoa Học Ứng Dụng.

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2 HỌC KỲ 162

Ngày thi: 03-07-2017 Thời gian : 90 phút Giờ thi: CA 2

Câu 1: Cho f (x, y, z) = earctanx+zy và ~u = (1, −1, 1) Tính ∂f

∂~u(2, 1, −1).

Câu 2: Cho (L) là đường gấp khúc ABC, trong đó AB là cung y = 1 − x2, BC là cung

y = (x − 1)2 và tọa độ các điểm là A(−1, 0), B(0, 1), C(1, 0)

Tính I =RACcos2ydx − (2xy + x sin 2y)dy theo đường cong (L)

Câu 3: Tính tích phân I =RRR

Ω (x + 2z)dxdydz, với Ω là miền giới hạn bởi x2+ y2+ z2 ≤

1, z ≥ −1 +px2+ y2, y ≥ 0

Câu 4: Tính tích phân I = RR

S 2dydz +(y2−2x−z)dxdy, với S là phần mặt trụ z = 2x−x2 nằm giữa hai mặt phẳng y = 3x, y = −2x và trên mặt phẳng z = 0, lấy phía dưới theo hướng trục Oz

Câu 5: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số P∞

1 (−1)n1.4.7 (3n + 1) + ln n

(2n)!!2n

Câu 6: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa P+∞

1

n2+ 1 4n2− 3

n (x − 2)n

Câu 7: Tính tổng S hoặc chứng minh phân kỳ chuỗi số sau : P∞

1

(−1)n n(2n + 3).

Phó chủ nhiệm bộ môn

TS.Nguyễn Bá Thi

Trang 4

ĐÁP ÁN Câu 1: ∇f (2, 1, −1) = e

π 4

2 (1, −1, 1) (0.5đ), h∇(M ), ui =

3

2e

π

4 (0.5đ) , ∂f

∂~u(2, 1, −1) =

√

3

2 e

π

4 (0.5đ)

Câu 2: Gọi C là đường y = 0, x : 1 → −1, khi đó C ∪ L là biên âm của miền phẳng D

R

L∪C

cos2ydx − (2xy + x sin 2y)dy = −RR

D

−2ydxdy (0.5đ)

I = −RR

D

−2ydxdy −R

C cos2ydx − (2xy + x sin 2y)dy

= −h −10 dxR1−x 2

0 2ydy +R1

0 dxR(1−x) 2

0 2ydyi−R−1

1 x.1dx = 11

15− 0 = 11

15. Mỗi tp tính đúng là 0.5đ

Nếu đúng tp kép nhưng sai chiều của C, có thể cho cả bài 0.5

Câu 3: I =R0πdϕR01drR

√ 1−r 2

−1+r r(r cos ϕ + 2z)dz = π

6. cận z : (0.5đ), cận : r, ϕ (0.5đ), đáp số : (0.5đ)

Câu 4: Dxy : 0 ≤ x ≤ 2, −2x ≤ y ≤ 3x

I = −RR

D xy

(2, 0, y2− 2x − 2x + x2)(2x − 2, 0, 1)dxdy (0.5đ)

= −RR

D xy

(x2+ y2− 4)dxdy

=R2

0 dxR−2x3x (x2 + y2− 4)dy (0.5đ)

= −80

3 (0.5đ)

Câu 5: D = lim

n→∞

an+1

an

(0.5đ)= lim

n→∞

3n + 4 4(n + 1) =

3

4 (0.5đ) Kết luận hội tụ : (0.5đ) Nếu thiếu trị tuyệt đối và kết luận đúng, cả bài cho 0.5đ

Câu 6: Bán kính hội tụ R = 4, (0.5đ)

Hai cận phân kỳ theo Điều kiện cần hoặc Cauchy Cn (0.5đ)

Câu 7: S =P∞

1

(−1)n 3n − 2

3

P∞ 1

(−1)n 2n + 3 (0.5đ)

= −1

3ln 2 +

2 3

P∞ 2

(−1)n 2n + 1

= −1

3ln 2 +

2

3arctan 1 = −

1

3ln 2 +

2 3

π

4 − 4

9 (1đ)

Trang 5

Điều chỉnh đáp án CA 1

Câu 3 : I = 4RR

D xy

dxdy p4 − x2− y2 = 4π

Câu 6 : P+∞

1 (−1)n 4n−1

(2n)!+

1

nx 2n

=P+∞

1

(−1)n 4(2n)!(2x)

2n−P∞

1

(−1)n−1

n (x

2)n

= 1

4(cos 2x − 1) − ln(1 + x

2)

hoặc P+∞

1 (−1)n 4n−1

(2n)!+

1

nx 2n

=P+∞

1

(−1)n 4(2n)!(2x)

2n+P∞

1

(−x2)n n

= 1

4(cos 2x − 1) − ln(1 + x

2)

Điều chỉnh đáp án CA 2 Câu 2 : I = −RR

D

−2ydxdy −R

C cos2ydx − (2xy + x sin 2y)dy

= −h −10 dxR01−x22ydy +R01dxR0(1−x)22ydyi−R−1

1 1dx = 11

15+ 2 =

41

15.

Câu 7 : S = −1

3ln 2 +

2 3

P∞ 2

(−1)n 2n + 1 = −

1

3ln 2 +

2 3

arctan 1 − 1 + 1

3

= −1

3ln 2 +

2 3

π

4 − 4 9

Trang 6

ĐỀ THI HỌC KỲ II 2017-2018 Môn Thi: GIẢI TÍCH 2 Ngày thi: 28-05-2018 Giờ thi: CA 1 Thời gian: 90 phút

Câu 1: Cho mặt cong S có phương trình z = x2y2− 5x3− 2xy2+ 3y − 1 Tìm pháp vector

của S tại M (1, −1, −10) và viết phương trình tiếp diện của S tại M Câu 2: Gọi C là giao tuyến của trụ x+y = 1 và mặt phẳng y = 2z, lấy ngược chiều

kim đồng hồ khi nhìn theo hướng trục Oz (nhìn từ âm sang dương) Tính tích phân

I = Z C (xy − yz2)dx + (3x + y2)dy − 2z2dz

Câu 3: Cho I =

Z C (exsin y − emysin x) dx + (excos y + 2emycos x) dy

a/ Tìm m để I là tích phân không phụ thuộc đường đi trên Oxy

b/ Với m tìm được ở câu a/, tính I với C là đường cong bất kỳ đi từ O(0, 0) đến

Aπ

4, −

π 4

Câu 4: Tính I =

Z Z Z Ω

p

x2+ y2dxdydz, trong đó Ω là miền cho bởi√

3z ≥px2+ y2, x2+

y2+ z2 ≤ 4z, x ≥ y

Câu 5: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:

a/

∞ X n=1

an+ n2 n! + 2n, a ∈ R

b/

∞ X n=1 (3n + 1)

n2− 2

n2+ 2n + 1

n2

Câu 6: Tìm miền hội tụ của chuỗi

∞ X n=1

2n + 3

3n+ n2(x − 5)n

Trang 7

ĐÁP ÁN GIẢI TÍCH 2 HK172 CA 1 Câu 1 (1.5đ)~n(1, −1, −10) = (±)(−15, 5, −1) (0.5đ)

(Chọn + hay − cũng cho 0.5đ )

Pt tiếp diện z = −15(x − 1) + 5(y + 1) − 10 hoặc 15(x − 1) − 5(y + 1) + z + 10 = 0 (1đ)

Câu 2 (2đ)Gọi S là phần mặt phẳng z = y

2 nằm trong trụ, lấy phía trên theo hướng Oz (0.5đ)

Áp dụng ct Stokes I = −

Z Z S 0dydz + (−2yz)dzdx + (3 − x + z2)dxdy (0.5đ)

Dxy : |x| + |y| ≤ 1,

I = −

Z Z

D xy

(0, −2yz, 3 − x − z2)(0, −1/2, 1)dxdy (Có thể qua tp mặt 1 )

= −

Z Z

D xy

1

2y

2+ 3 − x − y

2 4

dxdy (0.5đ)

= −73

12 ≈ −6.0833 (0.5đ) Lưu ý : Sinh viên có thể lấy S là phía dưới thì I =RR

S

= −RR

D xy

Câu 3 (2đ)a/ m = 2 (0.5đ)

b/ Cách 1 : Chọn 1 đường đi đúng (0.5đ) Viết đúng tp xác định (0.5đ)

I =

√ 2

2 e

−π/2− eπ/4 − 1 ≈ −2.4039(0.5đ) Cách 2 :chỉ ra hàm U (x, y) = exsin y + e2ycos x (1đ)

(không cần nêu cách tìm nhưng phải có khẳng định hoặc kiểm tra dU = P dx + Qdy, nếu không làm việc này chỉ cho 0.5đ)

Câu 4 (1.5đ) Dùng tọa độ cầu :I =

π/4 R

−3π/4 dϕ

π/3 R 0 dθ

4 cos θ R 0

ρ3sin2θdρ = π 4π

3 +

√ 3

≈ 18.6009 (1đ+0.5đ)

Lưu ý : Nếu đúng 2 trong 3 cận cho 0.5đ

Dùng tọa độ trụ phần lớn là sai (nếu không tách thành 2 tích phân) Câu 5 a/ Tách thành 2 chuỗi rồi dùng tc D’Alembert : hội tụ ∀a (0.5đ)

Lưu ý : Để nguyên dùng D’A mà không chia trường hợp của a để tính lim thì không cho điểm

So sánh tử số với an, ∀a mà không biện luận cũng không cho điểm b/C = e−2 ≈ 0.1353 (0.5đ) ⇒ hội tụ (0.5đ)

Câu 6 (1.5đ) R = 3 (0.5đ), khoảng hội tụ (2, 8) (0.5đ)

2 biên phân kỳ theo điều kiện cần (0.5đ)

Trang 8

ĐỀ THI HỌC KỲ II 2017-2018 Môn Thi: GIẢI TÍCH 2 Ngày thi: 28-05-2018 Giờ thi: CA 2 Thời gian: 90 phút

Câu 1: Cho hàm số f (x, y) = 6x2y2− 2mx3+ m2xy2− 6y3 Tìm tất các các giá trị thực m

để ∇f (3, −2) vuông góc với vector (2, 1)

Câu 2: Cho vật thể Ω giới hạn bởi nón z = −px2+ y2, mặt phẳng z = 0, miền nằm giữa

hai mặt trụ x2+ y2 = 1 và x2+ y2 = 4 Gọi mặt định hướng S là biên của Ω, lấy phía trong Tính I =

Z Z S 3xydydz + z(x2+ y2)dxdy

Câu 3: Cho miền phẳng D giới hạn bởi y = x2, y = (x − 2)2, x = 2, C là biên của D, lấy

theo chiều kim đồng hồ

a/ Chứng minh rằng diện tích của D được tính bởi tích phân

Z C

−xdy

b/ Tìm diện tích miền D theo cách tính này

Câu 4: Tính I =

Z Z S (x + 2y − z)dS, trong đó S là phần mặt phẳng z = 2x − 2y bị chắn bởi các mặt z = x2+ y2 − 2y − 3, x = 1, lấy miền x ≥ 1

Câu 5: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:

a/

∞ X n=1

(−1)n+ 4n

n2+ 2αn b/

∞ X n=1

(n2+ 1)(2n + 1)!!

5n.n! Trong đó : (2n + 1)!! = 1.3.5 (2n + 1).

Câu 6: Tìm miền hội tụ của chuỗi

∞ X n=1

(−1)n(x + 2)2n+1

4n− n4

Trang 9

ĐÁP ÁN CA 2 Câu 1 (1.5đ)∇f (3, −2) = (4m2− 54m + 144, −12m2− 288) (1đ)

∇(3, −2) ⊥ (2, 1) ⇔ 4m2+ 108m = 0 ⇔ m = 0 hay m = −27 (0.5đ)

Câu 2 (2đ) Áp dụng công thức Gauss :

I = −RRR

Ω (3y+x2+y2)dxdydz = −

2π R 0 dϕ

2 R 1 dr

0 R

−r

(3r sin ϕ+r2)rdz = −62π

5 (0.5đ+1đ+0.5đ) Đúng 2 trong 3 cận tp cho 0.5đ

Câu 3 (2đ) a/ Dùng công thức Green (0.5đ)

b/ S(D) =

2 R 1

−x.2xdx +

0 R 4

−2dy +

1 R 2

−x.2(x − 2)dx = 2 (1đ+0.5đ) Nếu không dùng tp đường chỉ cho tối đa 0.5đ

Câu 4 (1.5đ) Hình chiếu của S lên Oxy, D : (x − 1)2+ y2 ≤ 4, x ≥ 1 ( 0.5đ)

I =RR

D

(x + 2y − 2x + 2y)√

1 + 4 + 4dxdy

= 3

π/2

R

−π/2

dϕ

2 R 0 (1 + r cos ϕ + 4r sin ϕ)rdr

= −6π − 16 = −34, 8496 (0.5đ+0.25đ+0.25đ)

Câu 5 (1.5đ)

a/ 0 < an = (−1)

n+ 4n

n2+ 2αn ∼





4n

n2, α ≤ 0 (T H1)

4

2α

n , α > 0 (T H2) TH1 : PK theo ĐKC TH2 : HT ⇔ α > 2 (0.5đ)

b/ D = 2

5 (0.5đ) nên ht (0.5đ) Câu 6 (1.5đ) = (x + 2)

∞ X n=1

anXn với an= (−1)

n

4n− n4, X = x2

RX = 4, DX = [0, 4) (0.5đ+0.5đ), Dx = (−4, 0) (0.5đ)

Trang 10

Bộ môn Toán Ứng Dụng

ĐỀ THI CHK182 - Môn: GIẢI TÍCH 2

Ngày thi: 06-06-2019 Thời gian thi: 90 phút

Ca thi : CA 1

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 7 câu Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Câu 1: (1.5đ)

Cho hàm f (x, y, z) = xz3− 3x2+ 4xy − 4y − 12z + 3 Tìm tất cả các điểm M (x, y, z)

mà tại đó hướng tăng nhanh nhất của hàm f là −→u = (1, 0, 0).

Câu 2: (1.5 đ)

Tính tích phân: I =

Z Z Z V (2xz + y)dxdydz với V là miền hữu hạn giới hạn bởi các mặt y = z2− 1, y = 1, y = 1 − x, x = 2

Câu 3: (1.5đ)

Cho miền phẳng D : x2 + y2 ≤ 4, x ≤ 1 và C là biên định hướng dương của D Tính

I = Z C

(x − 1)dy − ydx

x2+ y2

Câu 4: (1.5đ)

Tính I =

Z Z S (y +z)dydz −2x2zdzdx+ x2+ y2 dxdy với S là phần mặt trụ y = 1−x2

bị cắt bởi 3 mặt phẳng y = 0, z = 0, z + y = 1 lấy phía tương ứng với vecto pháp tuyến ngược hướng với vecto−→

Oy

Câu 5: (1.5đ)

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

∞ X n=1

n! + (5n)n−1 (2n − 1)!! . Câu 6: (1.5đ)

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

∞ X n=1

n2− n (−3)n+ 1x

n−1

Câu 7: (1đ)

Tìm tất cả các giá trị thực x thoả đẳng thức:

∞ X n=0

2n − 3 (−3)nxn = 3

Trang 11

ĐÁP ÁN Câu 1: ∇f (M ) = (z3− 6x + 4y, 4x − 4, 3xz2− 12) (0.5)

Hướng tăng nhanh nhất của f là −→u ⇔ ∇f (M ) = k(1, 0, 0), k > 0(0.5)

M

1,k − 2

4 , 2

hay M

1,k + 14

4 , −2

, k ∈ R+(0.5) Lưu ý: nếu chỉ tính đúng 2 điểm với 1 giá trị k cụ thể, cho 1đ

Câu 2: Cách 1: Dxy : −1 ≤ y ≤ 1, 1 − y ≤ x ≤ 2(0.5)

I =

Z Z

D xy

dxdy

√ 1+y Z

−√1+y (2xz + y)dz (0.5)

=

1

Z

−1

2yp1 + ydy

2 Z 1−y

dx =

1 Z

−1 2y(1 + y)p1 + ydy = 48

√ 2

35 (0.5) Cách 2: Dyz : −√

2 ≤ z ≤√

2, z2− 1 ≤ y ≤ 1(0.5)

I =

Z Z

Dyz

dydz

2 Z 1−y ydx (do đối xứng)(0.5)= 48

√ 2

35 (0.5)

Câu 3: Tham số hoá C1 : x = 2 cos t, y = 2 sin t, t : π

3 → 5π

3 ,

C2 : x = 1, y : −√

3 →√

3(0.5)

I = 1

4

Z 5π3

π 3

(2 cos t − 1)2 cos t + 4 sin2t dt+(0.5) =

√ 3

2 +

4π

3 (0.5) Lưu ý:

1 Nếu sv KHÔNG xác định hướng đi trên đường cong và viết bdt kép π

3 ≤ t ≤ 5π

3 thì CHỈ CHO nửa số điểm phần tính tp trên phần đường tròn Tức là điểm tối đa chỉ là 1.0

2 Nếu không tính tp trên đoạn thẳng thì tối đa 1.0

Câu 4: −→n = (−2x, −1, 0)√

1 + 4x2 , Dzx : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x2 (0.5)

I =

Z Z

S

−2xy − 2xz + 2x2z

√

1 + 4x2 ds =

Z Z Dzx

−2x(1 − x2+ z) + 2x2z dzdx(0.5)= 2

7 (0.5) Lưu ý: Nếu viết I = −

Z Z

D zx

(y + z, −2x2z, x2 + y2)(2x, 1, 0) dzdx và tính đúng vẫn được trọn điểm

Câu 5: an∼ 5

n−1.nn−1 (2n − 1)!! = bn(0.5)

Dn= bn+1

bn = 5

n 2n + 1

n + 1 n

n (0.5) 5e

Trang 12

Câu 7: S(x) = 18

(x + 3)2 − 15

x + 3, x ∈ (−3, 3), (0.5) Nghiệm x0 = −2 (0.5)

Trang 13

Bộ môn Toán Ứng Dụng

ĐỀ THI CHK182 - Môn: GIẢI TÍCH 2

Ngày thi: 06-06-2019 Thời gian: 90 phút

Ca thi : CA 2

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 7 câu Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Câu 1 : (1.5đ)

Cho hàm f (x, y, z) = y2z2+ x2− 3xz − 2y − z + 5 Chứng minh rằng hướng tăng nhanh nhất của hàm f khi đi qua M (−1, 2, 2) trùng với −→u = (−4, 7, 9) Tìm tốc độ biến thiên của hàm f theo hướng này

Câu 2 : (1.5đ)

Tính tích phân I =

Z

C

x2+ y2−z

2

dx + x2+ z2− y2 dy + y2+ z2− 2x2 dz với C là giao

tuyến của 2 mặt y2+ z2 = x và x = 2y lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn theo hướng trục Ox từ

âm sang dương

Câu 3 : (1.5đ)

Z Z

S

1 + x2+ y2 ds với S là phần mặt trụ x2+ y2 = 1 bị cắt bởi 2 mặt phẳng

z = 0, z + x = 1

Câu 4 : (1.5đ)

Z Z

S

(2x + yz) dydz + y2+ z2 dzdx − x2+ 2yz dxdy với S là phần mặt nón

x =p3y2+ 3z2 nằm trong mặt cầu x2+ y2+ z2 = 4x lấy phía tương ứng với vecto pháp tuyến cùng hướng với vecto−→Ox

Câu 5 : (1.5đ)

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

∞

X

n=1

cosa n

n3

, với a là số thực

Câu 6 : (1.5đ)

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:

∞

X

n=2

2n − 3

n2+ 1(x − 2)

n

Câu 7 : (1đ)

Tìm tất cả các giá trị thực x thoả đẳng thức:

∞

X

n=0

1

2n−1

2x + 1

x + 2

n

= 4

Trang 14

ĐÁP ÁN CA 2 Câu 1 ∇f (M ) = (−8, 14, 18) (0.5), cùng hướng với −→u (0.5), v = k∇f (M ) =k√584(0.5)

Câu 2 Chọn S là mặt phẳng x = 2y, phần nằm trong mặt paraboloid y2+ z2 = x, lấy phía sao cho vecto

pháp ngược chiều với vecto −→Ox (hoặc phía sau theo hướng Ox) hoặc pháp vector đơn vị của S là

−

→n = (−1, 2, 0)√

5

I =

Z Z

S

(2y − 2z)dydz + (−z + 4x)dzdx + (2x − 2y)dxdy(0.5)

I =

Z Z

S

8x − 2y

√

Z Z

y 2 +z 2 ≤2y

(8.2y − 2y)dydz (0.5)Không bắt buộc đi qua tp mặt 1

= 14

π 2

R

− π

2

dϕ

2 cos ϕ

R

0

r.r cos ϕdr = 14π (0.5)

Câu 3 S1,2: y = ±√1 − x2, Dzx: 0 ≤ z ≤ 2, −1 ≤ x ≤ 1 − z

I =

Z Z

S 1

2ds +

Z Z

S 2

2ds(0.5)

= 4

Z Z

Dxz

dxdz

√

1 − x2 (0.5)

= 4

2

R

0

dz

1−z

R

−1

dx

√

1 − x2 = 4

2

R

0

arcsin(1 − z) +π

2

dz = 4π (0.5)

Câu 4 Phần mặt nón bị cắt bởi mặt cầu cũng là phần mặt nón bị cắt bởi mặt phẳng x = 3 Do đó, gọi S1

là phần mp x = 3 bị cắt bởi mặt nón lấy phía sao cho vecto pháp quay về phía nửa âm trục Ox để được S ∪ S1 là mặt biên phía trong của hình nón V : x = 3, x =p3y2+ 3z2

I = −

Z Z Z

V

(2 + 2y − 2y) dxdydz −

Z Z

S

(6 + yz)dydz (0.5)

= −2.V +

Z Z

y 2 +z 2 ≤3

(6 + yz)dydz (0.5)= −2.1

3.3.3π + 6.3π = 12π (0.5) Cách 2: S : x =p3y2+ 3z2 lấy phía trước theo hướng Ox (pvt hướng về chiều dương Ox),Dyz :

y2+ z2 ≤ 3(0.5)

, I =

Z Z

D yz

2x + yz, y2+ z2, −x2− 2yz

1, −

√ 3y p

y2+ z2 −

√ 3z p

y2+ z2

! dydz(0.5)

=

Z Z

D yz

"

2x + yz − yp3(y2) + z2+ (x2− 2yz)

√ 3z p

y2+ z2

# dydz

Sử dụng tính đối xứng: I =

Z Z

D yz

2xdydz =

Z Z

D yz

2p3(y2+ z2)dydz

= 2√3

2π

Z

0

dϕ

√ 3

Z

0

r2dr = 12π(0.5)

Câu 5 a = 0 pk(0.5), a 6= 0, Cn=cosa

n

n 2

=1 + cosa

n− 1

∗

(0.5)

C = e−a22 < 1 ht(0.5)

Câu 6 R = 1(0.5), Khoảng ht (1, 3)(0.5), tại x = 1: ht theo tc Leibnitz, tại x = 3:ss với

∞

P

0

1

n → pk (0.5) Câu 7 S(x) = 4

3(x + 2), x > −

5

4,(0.5)nghiệm x0 = 1(0.5)

ĐỀ THI HỌC KỲ II 20 17 -20 18 Mơn Thi: GIẢI TÍCH Ngày thi: 28 -05 -20 18 Giờ thi: CA Thời gian: 90 phút

Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu

Câu 1: Cho hàm số f (x, y) = 6x2< /small>y2< /small>−... Dụng.

ĐỀ THI HỌC KỲ II 20 17 -20 18 Mơn Thi: GIẢI TÍCH Ngày thi: 28 -05 -20 18 Giờ thi: CA Thời gian: 90 phút

Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu

Câu 1: Cho mặt... mơn Tốn Ứng Dụng

ĐỀ THI CHK1 82 - Môn: GIẢI TÍCH

Ngày thi: 06-06 -20 19 Thời gian thi: 90 phút

Ca thi : CA

Hình thức thi tự luận: Đề gồm câu Sinh viên không sử

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	1,25 MB