Microsoft Word - PHUONG TRÌNH B?C CAO

Microsoft Word PHUONG TRÌNH B?C CAO CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 1 I Giải phương trình khi biết một nghiệm của phương trình Cần dự đoán nghiệm của phương trình[.]

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 1

I Giải phương trình khi biết một nghiệm của phương trình

Cần dự đoán nghiệm của phương trình bằng cách thử các ước của hệ số tự do

Ví dụ 1: Giải phương trình x3 – x2 + 3x – 10 = 0 (1)

Dễ thấy, x = 2 là nghiệm của phương trình, nên: (1) ⇔ (x – 2)(x2 + x + 5) = 0

Ví dụ 2: Giải phương trình 8x3 – 2x2 – x + 1 = 0 Dễ thấy: x = 1

2

− là nghiệm

Bài tập:

a) x4 + 4x + 3 = 0

b) x4 – 4x3 – 10x2 + 37x – 14 = 0

c) x4 – 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0 (Bài toán Đề Các)

d) x3 – 19x – 30 = 0

II Phương pháp đặt ẩn phụ

Ngoài 2 dạng chúng ta đã biết về phương pháp đặt ẩn phụ đã học trong chương trình lớp 9 đó

là phương trình trùng phương và phương trình tích Chúng ta cần xét một số dạng sau:

1 Đặt ẩn phụ đưa về dạng phương trình bậc hai

Ví dụ: Giải phương trình (x2 + 2x + 3)2 – 9(x2 + 2x + 3) + 18 = 0

HD: Đặt y = x2 + 2x + 3 Phương trình có dạng y2 – 9y + 18 = 0

Bài tập:

a)

2

b) (x2 – 5x)2 + 10(x2 – 5x) + 24 = 0

c) (x2 – x + 1)4 – 10x2(x2 – x + 1) + 9x4 = 0

2 Phương trình hệ số đối xứng

- Phương trình hệ số đối xứng nếu có nghiệm x0 thì x0 ≠ 0 và

0

1

x cũng là nghiệm

- Phương trình hệ số đối xứng bậc lẻ luôn nhận x = –1 là nghiệm

- Nếu f(x) là đa thức bậc lẻ có hệ số đối xứng thì f(x) = (x + 1) g(x), trong đó g(x) là đa thức bậc chẵn có hệ số đối xứng

PP giải: Chia cả hai vế của phương trình cho x2 Đặt x + 1

x = t ⇒ x2 + 12

x = t

2

– 2

Ví dụ: Cho phương trình 8x4 – 5x3 + mx2 + 5x + 8 = 0

a) Giải phương trình khi m = –16

b) Tìm m để phương trình vô nghiệm

Bài tập: Giải phương trình

a) x6 + 3x5 + 6x4 + 7x3 + 6x2 + 3x + 1 = 0

b) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x + 6 = 0

c) 10x4 – 77x3 + 150x2 – 77x + 10 = 0

d) x4 – 3x3 + 6x2 + 3x + 1 = 0

e) x4 – x3 – x + 1 = 0 f) x5 – 5x4 + 4x3 + 4x2 – 5x + 1 = 0

g) x4 + 5x3 – 12x2 + 5x + 1 = 0

3 Phương trình hồi qui

- Phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a, d ≠ 0 và ac3 = db3 Dễ thấy: x = c

b

− là một nghiệm của phương trình

- Phương trình ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a ≠ 0 và ad2 = eb2) Đặt d t

b = thì e = at2, d = bt và phương trình trở thành: ax4 + bx3 + cx2 + btx + at2 = 0 Do x = 0 không là nghiệm, nên ta chia cả hai

vế của phương trình cho x2

Tiếp theo đặt x + t

x = y ⇒ x2 +

2 2

t

x = y

2

– 2t Lúc này, phương trình theo y là một phương trình bậc hai, dễ dàng giải được

Ví dụ: Giải phương trình 2x4 – 21x3 + 34x2 + 105x + 50 = 0

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 2

HD: Đặt x – 5

x = y ta được phương trình: 2y

2

– 21y + 54 = 0

4 Phương trình dạng (x + a) 4 + (x + b) 4 = c ( c > 0):

- Đặt x = y a b

2

+

− Khi đó, phương trình đã cho trở về dạng phương trình trùng phương

Ví dụ: Giải phương trình (x – 2004)4 + (x – 2006)4 = 2

HD: x = 2005

Bài tập:

a) (x – 2)4 + (x – 3)4 = 1

b) (x – 5)4 + (x – 2)4 = 17

c) x4 + (x – 1)4 = 97

d) (3 – x)4 + (2 – x)4 = (5 – 2x)4 e) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = 1

5 Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (a + b + c + d = β)

PP Giải: Biến đổi về dạng (x2 + βx + ab)(x2 + βx + cd) = m Đặt x2 + βx = y ⇒ phương trình bậc 2

Ví dụ: Giải phương trình (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297

Bài tập:

a) (x + 1)(x +2)(x + 3)(x + 4) = 3

b) (x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680

c) (x2 + 3x – 4)(x2 + x – 6) = 24

6 Phương pháp hệ phương trình đối xứng:

PP Giải: Phương trình dạng a(x2 + bx + c)2 + (x2 + bx + c) + c = x (a ≠ 0) Đặt y = x2 + bx + c Lúc này ta có hệ phương trình đối xứng:

2 2





⇔



Ví dụ: Giải phương trình: (x2 + x – 2)2 + x2 = 4

HD: (1) ⇔ (x2 + x – 2)2 + (x2 + x – 2) – 2 = x ĐS: x ∈ {0, -2, ± 2}

4 Phương pháp chia xuống

Chia cả tử và mẫu cho một lượng khác không thì không đổi

Ví dụ: Giải phương trình 2 x 2 2x 1

x 3x 1+3x 5x 3 = −

HD: ĐK: x ≠ 3 5

2

− ±

Dễ thấy, x = 0 không là nghiệm của phương trình, Chia cả tử và mẫu cho x,

sau đó đặt x + 1 y

x = Giải phương trình theo y, được kết quả là: x = - 1, hoặc x = 13 133

6

− ±

Bài tập: 2 2x 213x 6

III Phương pháp đánh giá

Ví dụ: Giải phương trình x2 + 12

x + y

2

+ 12

y = 4

HD: Biến đổi phương trình về dạng

2 2

    .Suy ra: x = ±1; y = ±1

Bài tập:

a) 4x2 – 4xy + 5y2 + 4y + 1 = 0

b) x2 – 4y2 – 2x + 4y + 2 = 0

c) x2 + 2y2 + 2xy – 2x + 2 = 0

d) 5x2 + 3y2 + z2 – 4x + 6xy + 4z + 6 = 0