SKKN Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 cách giải các dạng toán về phương trình bậc cao một...

SKKN Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 cách giải các dạng toán về phương trình bậc cao một ẩn thường gặp ở bậc THCS SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9 CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO MỘT ẨN THƯỜNG GẶP Ở BẬC THCS Người thực hiện Nguyễn Thị Nghiêm Chức vụ Phó Hiệu trưởng Đơn vị công tác Trường THCS Trần Mai Ninh SKKN lĩnh vực Toán `THANH HOÁ NĂM 2016 SangKienKinhNghiem net 1 MỤ[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9

Người thực hiện: Nguyễn Thị Nghiêm Chức vụ: Phó Hiệu trưởng Đơn vị công tác: Trường THCS Trần Mai Ninh SKKN lĩnh vực: Toán

`THANH HOÁ NĂM 2016

MỤC LỤC

A Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 4

B Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

C Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 5

I Một số kiến thức cơ sở về phương trình 5

I.2 Các dạng phương trình 6

II Một số phương pháp giải phương trình bậc cao một ẩn 7 II.1 Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 7 II.2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 10

2.1 Phương trình trùng phương 10 2.2 Phương trình dạng ax2n + bxn + c = 0 (a 0, n N  *) 11 2.3 Phương trình dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c 12 2.4 Phương trình đối xứng bậc chẵn 14 2.5 Phương trình đối xứng bậc lẻ 15 2.6 Phương trình bậc bốn phản đối xứng 16

2.7 Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m

II.3 Phương pháp biến đổi phương trình về dạng [f(x) + a]n = b

( n N, n 2; a,b là hằng số)  18

D Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 19

PHẦN 1 - MỞ ĐẦU

A Lý do chọn đề tài

Trong quá trình giảng dạy, để đạt được kết quả tốt thì việc đổi mới phương pháp dạy học có tầm quan trọng đặc biệt

Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của dạy học môn toán ở trường THCS Đối với học sinh thì giải toán là hoạt động chủ yếu của việc học tập môn toán

Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập toán phù hợp với mỗi đối tượng học sinh đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống câu hỏi, hệ thống bài tập, sử dụng đúng các phương pháp dạy học, góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh

Thông qua việc học toán học sinh được cung cấp một cách có hệ thống kiến thức lí thuyết, được rèn luyện nhiều về phương pháp giải toán, giúp các em nhận dạng, tìm tòi đường lối giải toán nhanh chóng, hình thành kĩ năng, phát triển tư duy ngày một sâu sắc hơn và qua đó các em càng yêu thích môn toán hơn

Trong số những bài tập được đề cập trong chương trình đại số bậc THCS, tôi nhận thấy bài tập về giải phương trình chiếm một thời lượng lớn nó xuyên suốt chương trình học Điều đó khẳng định vai trò và vị trí của phương trình - nó

là đối tượng nghiên cứu trung tâm của môn đại số

Qua nhiều năm giảng dạy toán ở trường THCS tôi nhận thấy việc giải phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn học sinh giải tương đối thành thạo,ít gặp trở ngại khó khăn nhưng khi gặp một bài toán có liên quan đến phương trình bậc cao một ẩn, không ít học sinh lúng túng không biết phải bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào Học sinh thường ngại học các dạng toán có liên quan đến phương trình bậc cao một ẩn vì các bài toán này rất phong phú đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức, trong khi đó việc tổng hợp kiến thức đã học để giải một bài toán của học sinh chưa tốt, phương pháp giải hạn chế

Vì vậy: phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc " Hướng dẫn học sinh lớp 9 cách giải các dạng toán về phương trình bậc cao một ẩn thường gặp ở bậc THCS" là cần thiết - chính vì những lý do đó mà tôi quyết định chọn đề tài này

B Mục đích nghiên cứu

- Đề tài này có tác dụng giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống một số phương pháp cơ bản về giải phương trình bậc cao một ẩn thường gặp ở bậc THCS Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực

học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công

cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến phương trình bậc cao một ẩn

- Tạo ra hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập

- Chọn lọc hệ thống một số bài tập hay gặp cho phù hợp với từng phương pháp giải nhằm mục đích rèn luyện và phát triển kĩ năng giải phương trình bậc cao một ẩn cho học sinh vừa bền vững, vừa sâu sắc, phát huy tối đa sự tham gia tích cực của người học

- Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức đã học về phân tích đa thức thành nhân tử, kỹ năng nhẩm nghiệm của đa thức, để giải thành thạo phương trình bậc cao một ẩn Qua đó giúp các em học tốt hơn các bài tập về giải phương trình, thấy rõ mục đích của việc học toán, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục

C Đối tượng nghiên cứu:

- Học sinh ở lứa tuổi 15 ở trường THCS vì đa số các em chăm học, thích học toán và bước đầu thể hiện năng lực tiếp thu một cách tương đối ổn định

- Đề tài được áp dụng đối với học sinh lớp 9 trường THCS Trần Mai Ninh, Thành phố Thanh Hoá trong các tiết học chính khoá, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi vào lớp 10 THPT và lớp 10 chuyên

D Phương pháp nghiên cứu

- Giáo viên phải hệ thống được các khái niệm và các định nghĩa cơ bản của các dạng phương trình, các tính chất và các cách giải phương trình từ đơn giản đến phức tạp Nghiên cứu, tìm tòi, khai thác các kiến thức liên quan đến giải phương trình bậc cao một ẩn qua tài liệu sách, báo và mạng Internet để tìm được những ứng dụng đa dạng, phong phú của phương trình Mặt khác phải tìm hiểu đối tượng học sinh, lựa chọn các phương pháp, các dạng bài tập thích hợp đối với từng đối tượng học sinh Tổng kết, phân tích nguyên nhân, đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, từ đó tôi đã định hình cho việc nghiên cứu đề tài

- Học sinh có kiến thức cơ bản, đưa ra phương pháp giải, làm bài tập áp dụng, rút ra một số chú ý (thường được vận dụng để làm bài tập), bài tập tự giải (học sinh

về nhà làm, những bài tập khó có sự hướng dẫn của giáo viên)

PHẦN 2 - NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

A Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong năm học 2015- 2016 tôi được Ban giám hiệu trường THCS Trần Mai Ninh phân công dạy toán lớp 9 và bồi dưỡng học sinh tham gia thi học sinh giỏi Toán các cấp, kết hợp với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy bản thân tôi thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài toán hoặc mỗi dạng toán nào đó là công việc rất khó

Khi trực tiếp giảng dạy tôi nhận thấy những bài toán liên quan đến "Giải phương trình bậc cao một ẩn" là dạng toán thường gặp, có nhiều cách thức để giải xong học sinh lại rất ngại khi đụng đến vì nó khó và phải mất rất nhiều thời gian để dự đoán kết quả và tìm cách giải, hơn nữa rất dễ mắc sai lầm Tôi đã tìm một số phương pháp để hướng dẫn học sinh phân tích đề bài, đưa ra nhận xét, từ

đó tìm ra cách giải các bài toán dạng này trên cơ sở các phương pháp mà học sinh đã được thầy cô được trang bị trong cấp học Qua đó học sinh có hứng thú thực sự với dạng toán này, xóa đi cảm giác phức tạp và không có cách giải tổng quát và đạt được hiệu quả nhất định Từ thực tế này tôi xin được trao đổi kinh nghiệm này cùng các đồng nghiệp mong rằng đề tài này sẽ được mở rộng và phát triển sâu rộng hơn

B Th ực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

a Đối với học sinh

Đối tượng là học sinh khá, giỏi nên kiến thức cơ bản các em nắm tương đối vững, có trí tuệ nhất định Song không phải bất cứ bài toán nào hay dạng toán nào các em cũng làm được, đối với các bài toán "Giải phương trình bậc cao một ẩn" từ bậc ba trở lên, hầu hết các em đều cho rằng đây là một loại toán rất khó nên đầu tư vào sẽ mất nhiều thời gian mà chưa chắc đã làm được và lại rất dễ mắc sai lầm Do vậy các em thường bỏ qua bài toán này để tập trung thời gian giải bài toán khác và rất nhiều em không có hứng thú khi gặp bài toán nàỵ

b Đối với giáo viên

- Thuận lợi: Hầu hết các thầy cô có trình độ, được đào tạo cơ bản, tâm huyết với nghề và luôn cầu tiến bộ

- Khó khăn:

Kiến thức đã khó lại rộng lớn và bao trùm Do đó để dành nhiều thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiến thức vững và sâu thì rất hạn chế, nhiều người còn tư tưởng chỉ cần hoàn thành nhiệm vụ là được còn nghiên cứu tìm tòi đã có các nhà khoa học

Đối với bài toán "Giải phương trình bậc cao một ẩn" không có cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vào phân tích - kinh nghiệm của người làm toán Do đó đòi hỏi người giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết và tinh thần học hỏi cao thì mới đáp ứng được chuyên môn, công việc giảng dạy của mình

c Các tài liệu

Các tài liệu tham khảo của môn toán THCS dành cho giáo viên và học sinh về

số lượng có vô số và lan tràn khắp thị trường, nội dung trùng nhau, lời giải sơ sài,

thậm chí nhiều cuốn sách có rất nhiều sai sót, tính sư phạm không cao Các sách

của Bộ giáo dục vì lý do sư phạm vì khuôn khổ chương trình học của cấp học nên

phần giải bài toán "Giải phương trình bậc cao một ẩn" trong chương trình THCS

chỉ có tính chất giới thiệu thông qua một vài bài tập mà không viết riêng thành một tài liệu để giáo viên và học sinh ở cấp học này có thể tham khảo

C Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

I Một số kiến thức cơ sở về phương trình

I.1 Cơ sở lý luận

1> Khái niệm về phương trình một ẩn:

Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và

vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x

Khi nói a là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) ta hiểu rằng tại x = a các giá trị tương ứng của hai biểu thức A(x), B(x) bằng nhau

Biến x gọi là ẩn

Giá trị tìm được của ẩn gọi là nghiệm

Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình.

2> Định nghĩa hai phương trình tương đương

Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm

3> Các phép biến đổi tương đương các phương trình

3.1 Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn số vào hai vế của phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

Ví dụ: -8x = 16  -8x + 3x = 16 + 3x

- Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình đồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

Ví dụ: -12x + 9 = 16x - 6  -12x - 16x = -9 -6

- Hệ quả 2: Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

Ví dụ: 9x3 + 11x - 13 = 14 + 9x3  11x -13 = 14

3.2 Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình thì được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

Ví dụ: 9 2 10 18 4 20

2

1













x

I-2 Các dạng phương trình

1 Phương trình bậc nhất một ẩn:

1.1 Định nghĩa:

Phương trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a  0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

1.2.Cách giải

ax + b = 0  a x = - b 

a

b

x 

Phương trình bậc nhất ax + b = 0 có nghiệm duy nhất

a

b

x 

2.Phương trình bậc hai một ẩn

2.1.Định nghĩa:

Phương trình bậc hai có một ẩn là phương trình có dạng:

ax2 + bx + c = 0 trong đó x là ẩn số, a, b, c là các hệ số đã cho, a  0

2.2 Cách giải

- Ta dùng các phép biến đổi tương đương, biến đổi phương trình đã cho

về các dạng phương trình đã biết cách giải (phương trình bậc nhất, phương trình dạng tích ) để tìm nghiệm của phương trình

- Khi nghiên cứu về nghiệm của phương trình bậc hai ax2+ bx + c = 0 (a 0) cần đặc biệt quan tâm tới biệt thức  = b2 - 4ac của phương trình:

vì biệt thức  = b2 - 4ac quyết định số nghiệm của phương trình bậc hai

Ta thấy có các khả năng sau xảy ra:

a)  < 0  phương trình bậc hai vô nghiệm

b)  = 0  phương trình bậc hai có nghiệm kép

a

b x

x

2

2

c)  > 0  phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

a

b

x

2

1







a

b x

2

2









2.3 Hệ thức Viet

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là: S = x1+x2 =

-a

b

, P = x1.x2 =

a c

3 Phương trỡnh bậc cao một ẩn

Phương trỡnh bậc n một ẩn cú dạng tổng quỏt:

anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = 0 (an  0)

Trong đó: n nguyờn dương , x là ẩn ; an, an-1, , a0: là các hệ số

II Một số phương phỏp giải phương trỡnh bậc cao một ẩn:

Đối với phương trỡnh bậc cao hơn bậc 4 khụng cú cụng thức tổng quỏt để tỡm nghiệm của nú Ngay cả trong trường hợp là phương trỡnh bậc 3 và bậc 4 mặc dự

cú cụng thức, cú sự hỗ trợ của mỏy tớnh nhưng việc tỡm nghiệm của một số phương trỡnh cũng hết sức phức tạp nằm ngoài chương trỡnh THCS

Khi gặp cỏc phương trỡnh đại số bậc cao một ẩn thỡ cú nhiều cỏch giải song trong đề tài này tụi đề cập đến ba phương phỏp cơ bản để giải phương trỡnh đại

số bậc cao Đú là:

+ Phõn tớch đa thức thành nhõn tử, đưa phương trỡnh về dạng phương trỡnh tớch + Đặt ẩn phụ

+ Biến đổi phương trỡnh về dạng [ f(x) + a]n = b với n N, n 2; a,b là hằng số. 

II.1 Sử dụng phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử.

1.Cơ sở lý luận:

Ta biết rằng phương trỡnh: 













0 ) (

0 ) ( 0

) ( )

(

x g

x f x

g x f

Vỡ vậy với phương trỡnh bậc cao một ẩn nếu ta phõn tớch được vế trỏi thành nhõn tử thỡ sẽ đưa phương trỡnh về dạng phương trỡnh tớch của cỏc nhõn tử

cú bậc thấp hơn, dạng phương trỡnh quen thuộc đó biết cỏch giải

2 Nội dung

Để giải phương trỡnh bậc cao bằng phương phỏp này trước hết HS phải nắm vững cỏc phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử: đặt nhõn tử chung, dựng hằng đẳng thức, nhúm nhiều hạng tử, tỏch hạng tử, thờm bớt cựng một hạng tử, phối hợp nhiều phương phỏp và vận dụng một cỏch thành thạo

Vớ dụ 1 : Giải cỏc phương trỡnh sau:

a)

2

1

x3 - 2 x = 0 

2

1 x(x2 -4) = 0 

2

1

x (x-2)(x+2) = 0



























0 2

0 2

0

2

1

x

x

x





















2 2 0

x x x

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 = 0; x2 = 2; x3 = -2.

b) x4 + 3x2 - 28 = 0  x4 - 4x2 + 7x2 - 28 = 0  x2(x2 -4) + 7(x2 -4) = 0

 (x2 + 7)(x2 - 4) = 0  (x2 +7 )(x-2)(x+2) = 0 (1)

Vì x2  0 vớix nên x2 + 7  7 vớix x2 + 7 > 0 vớix ( 2)

Từ (1),(2) (x-2)(x+2) = 0

2 0

2 0

x

x

 



   



2 2

x x





   

 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 = 2; x2 = -2

c) x3 - 7x - 6 = 0 x3 + 8 -7x - 6- 8= 0  (x3 + 8) - ( 7x + 14) = 0

 (x + 2)( x2 - 2x + 4) - 7(x+2) = 0 ( x + 2)( x2 - 2x - 3) = 0



















0 3 2

0 2

2

x

x

x

2

2 0

3 3 0

x

x x x

 



     

2 0

x

x x

 



    



























0 3

0 1

0 2

x

x

x























3 1 2

x x x

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x1 = -1; x2 = -2; x3 = 3

* Song có một số bài tập dựa vào các phương pháp trên học sinh chưa phân tích

đa thức thành nhân tử ngay được

Do đó ngoài các phương pháp trên, giáo viên đưa ra định lí Bơzu giúp các em nhẩm nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử một cách nhanh nhất

Định lí Bơzu được phát biểu như sau: Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x- a là một hằng số bằng giá trị f(a) của f(x) khi x = a

- Khai thác cách nhẩm nghiệm của phương trình:

anxn + an-1xn-1 + +a1x+ a0 = 0 (1) ( ai  Z )

+) Nếu an + an-1 + + a1+ a0 = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm x = 1, do đó

vế trái của phương trình chứa thừa số x -1

+) Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phương trình (1)

có nghiệm x = - 1, do đó vế trái của phương trình chứa thừa số x + 1

+) Mọi nghiệm nguyên của phương trình (1) đều là ước của hệ số tự do a0

+) Nếu số hữu tỉ x =

q

p

( p, q nguyên tố cùng nhau ) là nghiệm của phương trình (1) thì p là ước của a0, q là ước của an

Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 - 2x3 + x2 - 4 = 0 (*)

Ta thấy tổng cỏc hệ số bậc chẵn bằng tổng cỏc hệ số bậc lẻ nờn phương trỡnh (*) nhận x = - 1 là một nghiệm

Do đú vế trỏi của phương trỡnh (*) chia hết cho x + 1

Khi đú phương trỡnh (*) cú thể viết được dưới dạng:

(x +1 ) ( x3 - 3x2 + 4x - 4 ) = 0 3 2

x

 



    





(1)  x = - 1

Ở phương trỡnh (2) ta khụng thể ỏp dụng được việc nhẩm nghiệm theo hai nhận xột đầu được

GV hướng dẫn HS thử cỏc ước của 4 và thấy x = 2 là nghiệm của (2), nên (2) viết được thành: ( x - 2) ( x2 - x + 2 ) = 0  2

2 0 (4)

x

x x

 



   



(3)  x = 2

Phương trỡnh (4) cú = (-1) 2 – 4.1.2 = -7 < 0, do đú phương trỡnh (4) vụ nghiệm Vậy phương trình (*) có hai nghiệm là x1 = -1 ; x2 = 2

Ví dụ 3: Giải phương trình: 2x3 - 5x2 + 8x -3 = 0

Với phương trỡnh này ta khụng thể ỏp dụng được việc nhẩm nghiệm theo ba nhận xột đầu được ( vỡ phương trỡnh này khụng cú nghiệm nguyờn)

Ta nghĩ đến phương ỏn phương trỡnh cú nghiờm hữu tỉ và ỏp dụng cỏch nhẩm nghiệm thứ tư

Khi đú ta nhẩm được x = là một nghiệm của phương trỡnh đó cho.1

2

2x3 - 5x2 + 8x - 3 = 0  2x3 - x2 - 4x2 + 2x + 6x - 3 = 0

 (2x -1) ( x2 - 2x + 3) = 0

Từ đõy HS tỡm được nghiệm của phương trỡnh đú cho một cỏch dễ dàng

Bài tập ỏp dụng:

1 Giải phương trỡnh:

a) 3x4 - 12x2 = 0 b) x3 + 14x2 - 4x - 56 = 0 c) 2x3 + 11x +9 = 0

d) x16 + x8 - 2 = 0 e) 2x4 + 5x3 -35x2 + 40x - 12 = 0

2 Cho phương trỡnh: 2x3 - (1 + 4m)x2 + 4(m2 - m + 1)x - 2m2 + 3m - 2 = 0

a) Giải phương trỡnh với m = 1

b) Xỏc định m để phương trỡnh đó cho cú 3 nghiệm dương phõn biệt

Hướng dẫn

2b) 2x3 - (1+4m)x2 + 4(m2 -m+1)x - 2m2 +3m -2 = 0 (*)