Hướng dẫn HS giải phương trình bậc cao nhằm nâng cao chất lượng môn toán ở trường THCS đông lĩnh TP thanh hóa

Đổi mới chương trình, tăng cường sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụngcông nghệ thông tin trong dạy học, đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay ở trường THCS đã và đang làm tích cực hoá

1 Lí do chọn đề tài

Bộ môn Toán học được coi là một trong những môn quan trọng nhất, nóđược vận dụng và phục vụ rộng rãi trong đời sống hằng ngày của chúng ta Bởitrước hết Toán học hình thành ở các em học sinh tính chính xác, hệ thống, khoahọc, logic và tư duy cao, do đó nếu chất lượng dạy và học toán ở trường THCSthì nó tạo tiền đề cho những năm học sau này và giúp các em học tập các mônhọc khác được tốt hơn

Đổi mới chương trình, tăng cường sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụngcông nghệ thông tin trong dạy học, đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay

ở trường THCS đã và đang làm tích cực hoá hoạt động tư duy học tập của họcsinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, tự tìm tòi, tự sáng tạo, nhằm nângcao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kỹ năngvận dụng kiến thức một cách khoa học, hợp lý, sáng tạo vào thực tế cuộc sống Trong chương trình Đại số lớp 8, thì dạng bài tập về giải phương trình lànội dung quan trọng, là trọng tâm của chương trình đại số lớp 8, việc áp dụngcủa dạng toán này rất phong phú, đa dạng và phức tạp Vì vậy để giúp học sinhnắm được khái niệm về phương trình, giải thành thạo các dạng phương trình làyêu cầu hết sức cần thiết đối với người giáo viên Qua thực tế giảng dạy nhiềunăm, cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8(các lớp đang giảng dạy), thì việc giải phương trình là không khó, nhưng vẫncòn nhiều học sinh mắc phải các sai lầm không đáng có, giải phương trình cònnhiều sai sót, rập khuôn máy móc hoặc chưa làm được, do chưa nắm vững chắccác cách giải, vận dụng kỹ năng biến đổi chưa linh hoạt vào từng dạng toán vềphương trình

Trong quá trình dạy phương trình trong chương trình đại số lớp 8 và lớp 9bản thân tôi thấy giải phương trình bậc cao là một vấn đề khó đối với các emhọc sinh Việc giải phương trình bậc cao đối với học sinh THCS chỉ đòi hỏi ởmức độ đơn giản chủ yếu là từ phương trình đặc biệt đưa về phương trình bậcnhất và bậc hai, qua đó hướng cho các em tư duy khái quát hơn về phương trình

Với suy nghĩ đó và kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy bộ môn Toán khối8; 9 tôi xin được đưa ra một vài kinh nghiệm "Hướng dẫn học sinh lớp 8; 9 giải phương trình bậc cao nhằm nâng cao chất lượng ở THCS Đông Lĩnh-

TP Thanh Hóa"

2 Mục đích nghiên cứu

Việc bồi dưỡng năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là nhiệm vụ trọngtâm của nhà trường, trong đó môn toán giữ vai trò quan trọng Do đó trang bịcho học sinh những kiến thức toán không chỉ gồm có định nghĩa, khái niệm,định lý, quy tắc mà trang bị cho học sinh kỹ năng và phương pháp giải bài tập

vì hệ thống tri thức toán không chỉ có bài giảng lý thuyết mà còn phải suy luận,đúc kết từ hệ thống bài tập Khi giải bài tập toán học không ngừng đòi hỏi họcsinh phải linh hoạt trong việc áp dụng lý thuyết mà còn đào sâu khai thác, pháttriển bài toán

Với học sinh phần lớn các em ước mơ học giỏi bộ môn toán nhưng điều

đó thật không dễ dàng cho nên có nhiều em thấy ngại và sợ học môn toán Bảnthân tôi là giáo viên với mong muốn giúp các em hiểu bài một cách có hệ thống

và các em thấy yêu thích bộ môn toán Vì vậy tôi cố gắng hệ thống kiến thức,tìm những phương pháp, sắp hệ thống bài tập phù hợp với từng đối tượng họcsinh, kích thích lòng ham mê từ đó tìm những học sinh có năng khiếu và bồidưỡng các em trở thành những học sinh giỏi

3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh khối 8, khối 9 trường THCS Đông Lĩnh - TP Thanh Hóa

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận, thực tiễn

- Phương pháp thống kê, so sánh

B PHẦN NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Mỗi dạng toán đòi hỏi phải có phương pháp riêng, phương pháp nghiêncứu nó một cách hợp lý mới có thể học, đào sâu kiến thức cũng như việc hìnhthành kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh Khi giải bài tập toán học không những đòihỏi học sinh phải linh hoạt trong việc áp dụng các công thức mà còn phải đàosâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quát hóa, khái quát hóa kiến thức

Trong chương trình Toán học phổ thông nước ta, cụ thể là chương trìnhĐại số, phương trình và bất phương trình là một nội dung quan trọng, phổ biếntrên nhiều dạng toán xuyên suốt các cấp học, cũng là bộ phận thường thấy trongcác kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinhgiỏi môn Toán các cấp và kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thứchết sức phong phú, đa dạng Mặc dù đây là một đề tài quen thuộc, chính thốngnhưng không vì thế mà giảm đi phần thú vị, nhiều bài toán cơ bản tăng dần đếnmức khó thậm chí rất khó, với các biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ năngvẫn làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT

Chương trình Đại số lớp 9 THCS đã giới thiệu, đi sâu khai thác các bàitoán về phương trình bậc hai, chương trình Đại số 10 THPT đưa chúng ta tiếpcận tam thức bậc hai với các định lý về dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậchai và ứng dụng Trong phương trình và bất phương trình đại số nói chung,chúng ta bắt gặp rất nhiều bài toán có dạng đại số bậc cao, phân thức hữu tỷ, cácbài toán có mức độ khó dễ khác nhau, đòi hỏi tư duy linh hoạt và vẻ đẹp cũngrất riêng! Từ rất lâu rồi, đây vẫn là vấn đề quan trọng, xuất hiện hầu khắp và làcông đoạn cuối quyết định trong nhiều bài toán phương trình, hệ phương trìnhchứa căn, phương trình vi phân, dãy số Vì thế về tinh thần, nó vẫn được đôngđảo các bạn học sinh, các thầy cô giáo và các chuyên gia Toán phổ thông quantâm sâu sắc Sự đa dạng về hình thức của lớp bài toán căn bản này đặt ra yêu cầucấp thiết là làm thế nào để đơn giản hóa, thực tế các phương pháp giải, kỹ năng,mẹo mực đã hình thành, đi vào hệ thống Về cơ bản để làm việc với lớp phươngtrình, bất phương trình này chúng ta ưu tiên hạ hoặc giảm bậc của bài toán gốc,

cố gắng đưa về các dạng bậc hai, bậc nhất hoặc các dạng đặc thù (đã được kháiquát trước đó)

Trong số những bài tập được đề cập trong chương trình đại số nói chungkhối 8 và khối 9 nói riêng tôi nhận thấy bài tập về giải phương trình chiếm mộtthời gian lớn nó xuyên suốt chương trình học Điều đó khẳng định vai trò và vịtrí của phương trình, nó là đối tượng nghiên cứu trung tâm của môn đại số

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Trong quá trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường THCS Đông Lĩnh một trường thuộc vùng ven thành phố Thanh Hóa, ở đây phần đa học sinh thuộccon em lao động không có điều kiện học thêm nhiều để mở mang kiến thức và

-tư duy có phần hạn chế Khi gặp các bài toán về phương trình bậc cao các emcòn lúng túng nên buộc người dạy phải tìm ra những phương pháp, biện pháp đểmang lại hiệu quả nhất Thực tế qua hai năm áp dụng những phương pháp nàytôi thấy chất lượng môn Toán của khối lớp tôi dạy được nâng lên Từ những gìmình đã thực hiện với đối tượng học sinh của mình, tôi mạnh dạn đưa ra một sốkinh nghiệm hương dẫn học sinh giải phương trình bậc cao nhằm nâng cao chấtlượng bồi dưỡng học sinh khá giỏi khối 8 và khối 9

III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

1.NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

a Định nghĩa phương trình bậc cao

Ta gọi phương trình đại số bậc n ( n ≥ 3 ) ẩn x trên trường số thực là các phương trình được đưa về dạng a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 + a o = 0 ( 1.1 )

Trong đó n ∈ Z; a 1 , a 2 , ,a n ∈ R; a n ≠ 0

b Định lý: Trên trường số thực, mọi phương trình bậc n luôn phân tích

được thành tích của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai

c Phương trình bậc nhất một ẩn

Dạng tổng quát ax + b = 0; trong đó a,b là các hằng số; a ≠ 0

Nghiệm là x = -b/a

* Nhận xét: Giải phương trình mx + n = 0, phương trình đã cho chưachắc đã là phương trình bậc nhất nên khi giải cần phải xem xét hết các trườnghợp:

+ Nếu m ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = -n/m

+ Nếu m = 0 thì phương trình có dạng 0x = n

- Nếu n = 0 thì phương trình vô số nghiệm

- Nếu n ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm

P = x1 x2 =

a c

* Phân tích vế trái thành tích

Nếu có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó là ước của

n

a

a0

P ( x) = 0 có nghiệm là a thì P ( x)  ( x- a )

đ Tính đơn điệu của hàm số:

Đưa phương trình đã cho về dạng ƒ(x) = g(x) ( *)

(1) a + b ≥ a + b Dấu “ = ” xẩy ra khi ab ≥ 0

(2) |a − b | ≤ a − b Dấu “ = ” xẩy ra khi ab ≥ 0

(3) A≥ - A Dấu “ = ” xẩy ra khi A ≤ 0

2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO:

a Đưa về phương trình tích

a.1 Cơ sở lí luận:

Phương trình tích là phương trình có dạng F( x) G(x) H(x) = 0 (1) F(x) = 0

Để đưa phương trình (1) về dạng phương trình (2) ta có thể dùng các cáchsau:

* Cách 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

- Đặt nhân tử chung

- Dùng hằng đẳng thức

- Nhóm nhiều hạng tử

- Thêm (bớt) các hạng tử

- Phối hợp nhiều phương pháp

* Cách 2: Nhẩm nghiệm: Nếu a là nghiệm của đa thức P(x) thì P(x)(x-a)

từ đó hạ bậc của phương trình

Chú ý:- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì x = 1 là một nghiệm củaphương trình

- Nếu đa thức có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các

hệ số của các số hạng bậc lẻ thì x = -1 là một nghiệm của phương trình

* Các ví dụ

Dùng phương pháp phân tích thành nhân tử.

Ví dụ Giải phương trình sau:

0 3 0

x x x

x x x

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: x1=0; x2=3; x3=-3

Dùng phương pháp nhẩm nghiệm

Ví dụ: Giải phương trình sau:

−

*)

*( 01512

5

*)( 01

x x

giải ( *) và ( **) ta được nghiệm của phương trình đã cho

b Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

b.1.Cơ sở lí luận

Khi giải phương trình bậc cao ta còn dùng đặt ẩn phụ thay thế cho mộtbiểu thức chứa ẩn để đưa phương trình về dạng phương trình quen thuộc đã biếtcách giải

b.2 Nội dung phương pháp

Trong chương trình THCS học sinh thường gặp các dạng phương trình sau:

Giải phương trình bậc hai trung gian rồi thay giá trị tìm được của y vào(2) ta được phương trình bậc hai rút gọn với biến x ( y≥ 0) Giải phương trìnhnày ta được nghiệm của phương trình trùng phương ban đầu.

01

Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn y≥ 0

đó một nghiệm nhỏ hơn - 2 và ba nghiệm kia lớn hơn - 1

0 3 4

1

2

m m

m

23

21

;23

m

12

b Cách giải:

Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia cả hai vế của

phương trình cho x2 rồi đặt:

x x

Phương trình trên là phương trình đối xứng( các hệ số có tính đối xứng )

Hiển nhiên x=0 không là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế cho x2 khác 0

ta được:

x2 + 4x -10 +4+ 12 = 0

x x

1(4)

2 2 3

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 = 1; x2= -3 + 2 2 ; x3= -3 - 2 2

034)

1(2)

Giải: Ta thấy x =-1 là nghiệm của phương trình (1)

Phương trình (1) tương đương với phương trình sau:

− +

=

+

⇒

0 2 3 16

3 2

0 1

2 3

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (3)

Chia cả hai vế của phương trình (3) cho x2 ta có:

02316

3

2 2 + − + + 2 =

x x x

x

016)

1(3)

x

Đặt

x x

y = + 1 2 2 12

2

x x

∆

32

;3

a)Trong phương trình đối xứng, nếu a là nghiệm thì 1/a cũng là nghiệm

b) Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x = -1c) Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n được đưa về phương trình bậc n bằngcách đặt ẩn phụ

y = − 1

c.Ví dụ

Giải: Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (1) Chia cả hai vế của (1) cho

x2 ta có:

0231

3

2 2 + + − + 2 =

x x x

x

01

13

x

x x y

x x

y = − ⇒ + = +

Thay vào ta có:

2y2 + 3y + 5 = 0 (2)

∆ = 9 - 40 = -31 < 0 ⇒ Phương trình (2) vô nghiệm

⇒ Phương trình (1) vô nghiệm

*Ví dụ 2:

Cho phương trình: x4 - ax3- (2a+1)x2 + ax + 1 = 0 (1)

Tìm a để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ?

Giải:

Vì x = 0 không phải là nghiệm của (1) nên chia 2 vế của (1) cho x2 ≠ 0, ta có:

0

1)

12

x x

a a

ax

x

0)12()

1()

1

x x a x

x

Đặt

x x

Ta được phương trình:

y2 + 2 – ay –( 2a+1) = 0

012

2 − − + =

Ta thấy phương trình (*) luôn có 2 nghiệm với ∀ y

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (2) phải có nghiệm kép:

⇔ ∆ = 0

⇔a2 + 8a - 4 = 0

∆ = 16 + 4 = 20 ⇒ ∆ ' = 2 5

5 2 4

Vì x = 0 không là nghiệm của (3)

Chia hai vế của (3) cho x2≠ 0 ta có:

011

2 + − − + =

x x x

x

0311

x

x x y

x x

Ta được phương trình: y2 + 2 + y - 3 = 0

⇔y2 + y - 1 = 0

5 1

4 + =

=

∆

Từ đó tìm nghiệm của phương trình

2.4 Phương trình hồi quy

⇒y1 = 1 ; y2 =2

Nếu y1 = 1 ⇒ x -

x

2 = 1 ⇒ x2 - x - 2 = 0 ( 1 )

Nếu y2 =2 ⇒ x -

x

2 = 2 ⇒ x2 - 2x - 2 = 0 ( 2Giải ( 1 ) và ( 2 ) ta được x0 là nghiệm của phương trình đã cho

∆ = ( -1 )2 - 4 4 = -15 < 0

⇒ phương trình y2 - y + 4 = 0

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN

Quá trình áp dụng giải pháp trên tôi thấy chất lượng học bộ môn Toán củacác em được nâng cao dần; Điều làm tôi đáng mừng hơn là tôi đã có những HSđạt giải cấp Thành phố môn Toán năm học 2014-2015 và HS thi vào THPT nămhọc 2015-2016 với điểm toán khá cao Kết quả học tập của HS được đánh giáqua các bài kiểm tra định kỳ, thường xuyên và các lần khảo sát của Sở GD&ĐT,Phòng GD&ĐT được thể hiện ở bảng số liệu sau :

C KẾT LUẬN

Dạy các phương pháp tìm lời giải cho bài toán là một vấn đề đòi hỏingười giáo viên phải có sự say mê chuyên môn, phải có sự tích luỹ để khái quát,tổng hợp thành những thuật toán để từ đó học sinh có thể làm toán

Tuy nhiên, để đạt được kết quả như mong muốn, đòi hỏi người giáo viêncần hệ thống, phân loại bài tập thành từng dạng Giáo viên xây dựng từ kiếnthức cũ đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ đơn giản đến phức tạp,phù hợp với trình độ nhận thức chung của học sinh Cần chú trọng phát huy tínhchủ động, tích cựu và sáng tạo của học sinh từ đó giúp các em có cái nhìn baoquát, toàn diện và định hướng giải đứng đắn Làm được như vậy là chúng ta đãgóp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường

Trên đây là một số cách giải phương trình bậc cao trong chương trình toánlớp 8 và lớp 9 hiện nay mà tôi đã đúc rút được qua việc giải bài tập, qua nghiêncứu tài liệu cũng như qua quá trình giảng dạy Đề tài này nếu thực hiện trongmột tiết dạy cụ thể thì không thể truyền tải hết nội dung của nó, mà tôi phải làmtrong một chuyên đề

Chuyên đề này nên áp dụng trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi

Mục đích của chuyên đề này giúp học sinh nhận dạng một số phươngtrình bậc cao và nắm được cách giải của nó và từ đó tạo điều kiện cho học sinhhướng tư duy khái quát, tổng hợp đối với bài toán cụ thể, cũng như bài toán trừutượng

Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ bản thân tôi tự rút ra trong quá trìnhgiảng dạy, chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý

bổ sung của các đồng chí, đồng nghiệp giúp tôi hoàn thiện hơn trong quá trìnhgiảng dạy, để đáp ứng được với yêu cầu của sự nghiệp giáo dục trong thời kìhiện nay Tôi xin chân thành cảm ơn./

XÁC NHẬNCỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, Ngày 10 tháng 3 năm 2017

CAM KẾT KHÔNG COPPY Người viết

Nguyễn Thị Hồng Lê

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIỄN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC

CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Hồng Lê

TT Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp loại (Phòng,

Sở, Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại (A, B hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1 Giúp học sinh lớp 8 giải

phương trình chứa dấu

giá trị tuyệt đối

Phòng GD&ĐTĐông Sơn Thanh Hóa

A 2011 - 2012

2 Giúp học sinh lớp 8 giải

phương trình chứa dấu

giá trị tuyệt đối

Sở GD&ĐTthành phố Thanh Hóa

B 2011 - 2012

Chức vụ và đơn vị công tác : Giáo viên trường THCS Đông Lĩnh