Bất Đẳng Thức – Bất Phương Trình Nâng Cao

SUCCESS TRAINING ACADEMY TOÁN 10 BẤT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT ĐẲNG THỨC Họ và tên :... ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ẨN Ở MẪU BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

Trang 1

SUCCESS TRAINING ACADEMY

TOÁN 10 BẤT PHƯƠNG TRÌNH – BẤT ĐẲNG THỨC

Họ và tên :

MỤC TIÊU của TÔI khi học xong chuyên đề này là : ………

………

Trang 2

ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

ẨN Ở MẪU

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHỨA CĂN THỨC

BẤT ĐẲNG THỨC

Trang 3

PART 1

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Giao ∩, hợp ∪ các khoảng ( ), đoạn [ ]

Trang 4

➢ Xét  0: f x( ) luôn cùng dấu với a, x

Do đó : Nếu a < 0 thì bất phương trình vô nghiệm

Nếu a > 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

➢ Xét  0: f x( ) luôn cùng dấu với a,  x

2

b a

Do đó : Nếu a < 0 thì bất phương trình vô nghiệm

Nếu a > 0 thì bất phương trình nghiệm đúng x 

2

b a

➢ Xét  0: f x( ) luôn có hai nghiệm phân biệt x1x2.

Do đó: Nếu a < 0 thì bất phương trình có 2 nghiệm x1 x x2

Nếu a > 0 thì bất phương trình có nghiệm xx1 hoặc xx2

x - x 1 x2 +

f(x) Cùng dấu với a Trái dấu với a Cùng dấu với a

Dấu của nhị thức bậc nhất & tam thức bậc 2

Trang 5

Bài 1 Giải và biện luận các bất phương trình:

a) m x m(  )  x 1. b) 3x m 2m x(  3).

Giải:

a) m x m(  )  x 1.<=>(m 1)xm2 1. (m 1)x (m 1)(m 1).

- Nếu : m = 1 thì 0x2 Tập nghiệm: S=R

- Nếu : m > 1 thìxm+1 Tập nghiệm: S=;m1

- Nếu : m < 1 thì xm+1 Tập nghiệm: S=m 1; 

b) Cư dân tự hoàn thành ý b nhé :

f x - 0 + 0 -

6

Trang 6

Bài 3 Giải và biện luận các bất phương trình:

a) 2x2 (m 9)xm2  3m  4 0 b) (m 2)x2 2(m 1)x m 0

Giải a)

+) Tính ∆=

+) Xét TH1 : ∆≤ 0 suy ra vế trái cùng dấu với hệ số của x2 , suy ra m ∈ ,

 Kết luận :

+) Xét TH2 : ∆> 0 : có 2 nghiệm x1 và x2 , suy ra m ∈ ,

 x1 =

 x2 =

Lập bảng xét dấu : x - …… …… …….…… +

( ) f x 0 0

+) Kết luận :

Trang 7

Chú ý điều kiện MẪU ≠ 0

Chú ý BPT TÍCH : 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) > 0 ⟺

[

{𝑓(𝑥) > 0𝑔(𝑥) > 0{𝑓(𝑥) < 0𝑔(𝑥) < 0

Chú ý chuyển từ PHÂN THỨC về TÍCH : 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)> 0 ⟺ {𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) > 0𝑔(𝑥) ≠ 0

Bài 1 Giải bất phương trình sau :

Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Trang 9

Cư dân làm bài tập vào phần giấy trắng sau nhé !

Trang 10

2) Chia miền xét dấu

3) Đặt điều kiện và bình phương, đặt ẩn phụ, đánh giá 2 vế…

4) Dạng cơ bản :

|𝑓(𝑥)| ≥ 𝑔(𝑥) ⟺

[

𝑔(𝑥) ≤ 0{

𝑔(𝑥) > 0[𝑓(𝑥) ≤ −𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)

|𝑓(𝑥)| ≤ 𝑔(𝑥) ⟺ {

𝑔(𝑥) ≥ 0𝑓(𝑥) ≥ −𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)

Vậy nghiệm của bất phương trình là x  1; 4

Cư dân tự hoàn thành ý b,c,d nhé :

Bất phương trình chứa trị tuyệt đối

Trang 12

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

( ) 0( ) [ ( )]

Trang 13

Bài 1 Giải bất phương trình :

a) x22x15 x 3 b)  x2 6x  5 8 2x c) x2 2x  8 x 3 d) x23x10 x 2

Cư dân tự hoàn thành ý b,c,d nhé :

Phương pháp lũy thừa

Trang 14

Bài 2 Giải bất phương trình :

a) (x3) x2  4 x2 9 d) 5x 1 x 1 2x4 (A2005)b) 7x13 3x 9 5x27 e) x 1 2 x 2 5x1 (CD2009)c)

x x x

Trang 15

CÁC BIỂU THỨC LIÊN HỢP THƯỜNG DÙNG :

√𝑨 − √𝑩 = √𝑨+√𝑩𝑨−𝑩 √𝑨 − 𝑩 =√𝑨+𝑩𝑨−𝑩𝟐 𝟑√𝑨 − 𝑩 = 𝑨−𝑩𝟑

( √𝑨𝟑 ) 𝟐 + √𝑨𝟑 .𝑩+𝑩 𝟐

Chú ý : A, B có thể là các biểu thức, có thể là các số cụ thể!!!

➢ Bước 1 : Nhân liên hợp : muốn nhân liên hợp được thì phải nhẩm được nghiệm đẹp!

➢ Bước 2 : Đưa về BPT tích

➢ Bước 3 : Đánh giá 1 biểu thức cồng kềnh đi kèm theo vô nghiệm hoặc áp dụng các

cách giải BPT nếu không đánh giá được

a) 1 x 1 x x b)

2

12

x x

❖ Ta đánh giá như sau :

(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)2 ≤ 2 [(1 + 𝑥) + (1 − 𝑥)]2 = 4 (dùng BĐT đơn giản (a+b) 2 ≤2.(a 2 +b 2 )

➢ Với x = 0 là 1 nghiệm của (*)

➢ Với x ≠ 𝟎, ta chia cả 2 vế của (*) cho ( 2 − 1), ta được :

Phương pháp nhân liên hợp

Trang 16

( bạn phải trình bày chi tiết ra nhé !)

❖ Đánh giá : Trong ngoặc  0 Nghiệm :…………

( bạn phải trình bày chi tiết ra nhé !)

b) Giải phương trình : 2 33 x   2 3 6  5 x  16  0

❖ Điều kiện : ………

❖ Nhẩm nghiệm x 2

Trang 17

Bài 1 Giải bất phương trình

Các cư dân tự giải tiếp nào :

Phương pháp đặt ẩn phụ

Trang 18

Bài 2 Giải bất phương trình

22

x x

Trang 19

Bài 3 (B – 2012) Giải bất phương trình x 1 x2 4x 1 3 x

- Bình phương 2 vế và rút gọn ta được : 3 x x( 2)(x 1) 2 (x x 2) 2(x1)

- Chia 2 vế cho (x1) và đặt ( 2)

1

x x t

Trang 20

Sử dụng các Bất đăng thức để đánh giá

1) BĐT Cô–si cho 2 số dương : 𝑎 + 𝑏 ≥ 2√𝑎𝑏 , dấu “=” xảy ra khi a = b

2) BĐT Bunhiacopxki : (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 , dấu “=” xảy ra khi ad = bc

3) BĐT trị tuyệt đối : |A|+|B|≥|A+B| , dấu “=” xảy ra khi AB≥ 0

4) Các hằng đẳng thức quen thuộc

5) Đánh giá không tự nhiên căn cứ vào các điều kiện ràng buộc của

Bài 1 Giải các PT sau :

a) x 2 10 x x2 12x52 b) x 2 4 x x2 6x11

c) x2 2x 5 x  1 1 2xx2 d) 3x2  6x  7 5x2  10x 14  4  2xx2

GIẢI a) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho vế trái , ta có :

Do đó ta có : 𝑉𝑇 ≤ 4 < 16 ≤ 𝑉𝑝 ⟹ VT < VP ⟹ Bất phương trình vô nghiệm !

b) Cư dân tự hoàn thành ý b,c,d nhé :

Phương pháp đánh giá

Trang 21

Bài 2 Giải PT sau :

a) 2 7x3 11x2  25x 12 x2  6x 1 VT :  2 (7x 4)(x2  x 3) ( ôs )c i  VP b) 2 5x3 3x2  3x 2 x2  6x 1

Trang 22

1 Tìm tập nghiệm của bất phương trình: x2  4x > 0

3 Với giá trị nào của m thì pt: (m-1)x2 -2(m-2)x + m - 3 = 0 có hai nghiệm x1, x2 và x1 + x2 + x1x2 > 1?

x

x x

3



x < 3 +

4 2



D x >

23 20

10 Với giá trị nào của m thì bất phương trình mx + m < 2n vô nghiệm?

Trang 23

13 Nghiệm của bất phương trình

x

 1

Trang 24

24 Gía trị nào của m thì bất phương trình: x2 - x + m  0 vô nghiệm?

25 x = -3 thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A (x+3)(x+2) > 0 B (x+3)2 (x+2) 0

C x + 2

2 3

2 1

)2()1(

)2(

)2()1(

 0

27 Bất phương trình

1 2



2 1



2 1



; 2]

28 Nghiệm của bất phương trình

3 4

1



x x

x

là:

Trang 25

A x  (-2;

2 1



C x  (-2;

2 1



]  (1;+) D x  (-;-2)  [

2 1

0 6 7

2

x

x x

0 2 3

2 2

x

x x

0 3 4

2 2

x x

là:

Trang 26

m x

x x

46 Tìm tập nghiệm của bất phương trình: x2  4x < 0

x

x x

Trang 27

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 a2  a n

• Một vài hệ quả quan trọng:

Trang 28

❖ Phương pháp chọn điểm rơi

Nhận xét: Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến, và ta dự đoán dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên

Sử dụng các hệ quả :

Nguyên nhân sai lầm:

ĐIỀU QUAN TRỌNG TRONG LÀM BĐT LÀ PHẢI CHỈ RA ĐƯỢC DẤU “=” XẢY RA KHI NÀO, NẾU KHÔNG CHỈ RA ĐƯỢC THÌ CÓ NGHĨA LÀ ĐỔ SÔNG ĐỔ BIỂN

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy

Trang 29

Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách 1 1 1

không xảy ra  không kết luận được MinP 4 2 2

Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi 1

2

a b nên đã tách các

số hạng và MinP7 khi 1

Trang 31

y P x y z x y z x y z z

z x

với mN Nếu m = 1 là đề thi Đại học Khối D năm 2005

Bài 2 Cho x y z, , là 3 số thỏa x  y z 0, chứng minh rằng:

3 4 x  3 4 y  3 4 z 6(đề tham khảo 2005)

Trang 32

Bài 6 Cho u2v2 1, chứng minh rằng:

Trang 33

Bài 1 Cho x y z, , là ba số dương và x  y z 1, chứng minh rằng:

Trang 35

b a



d

b c

b a

Định dạng
Số trang	35
Dung lượng	1,64 MB