Ch­ng III: Nguyªn hµm vµ tÝch ph©n

Ch­ng III Nguyªn hµm vµ tÝch ph©n Gi¸o ¸n Gi¶i tÝch 12 Vò ThÞ Ph¬ng Thuú Ch ¬ng III Nguyªn hµm vµ tÝch ph©n §1 nguyªn hµm TiÕt theo PPCT 253 > 256 TuÇn d¹y I Môc ®Ých, yªu cÇu HS n¾m v÷ng ®Þnh nghÜa n[.]

I - Mục đích, yêu cầu:

HS nắm vững định nghĩa nguyên hàm của một hàm số, định lý, các tính chất của nguyên hàm, bảng các nguyên hàm cơ bản

HS biết cách tìm nguyên hàm của một hàm số

II - Tiến hành:

A- ổ n định lớp, kiểm tra sĩ số

B - Giảng bài mới:

GV nhắc lại vấn đề tổng quát: Cho hàm số

f(x) xác định trên khoảng (a; b), tìm các

hàm số F(x) sao cho trên khoảng đó: F'(x)

= f(x)

GV nêu khẳng định: Hàm số F(x) nói trên

đợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) và

yêu cầu học sinh hãy nêu định nghĩa

nguyên hàm

GV chính xác hoá

1) Định nghĩa:

hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu với mọi

x(a; b) ta có: F'(x) = f(x)

Nếu thay cho khoảng (a; b) là đoạn [a; b]

thì phải có thêm: F'(a+) = f(a) và F'(b-) = f(b)

+ Ngợc lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x)

trên khoảng (a; b) đều có thể viết dới dạng

Dấugọi là dấu tích phân, f(x)dx gọi là biểu

thức dới dấu tích phân và là vi phân của mọi

Thật vậy: (F(x) + C)' = F'(x) + 0 = f(x)

* Giả sử G(x) cũng là một nguyênhàm của f(x) ta phải chứng minhG(x) = F(x) + C hay G(x) - F(x) = Cvới C = const

HS chứng minh bổ đề dựa vào định

lý Lagrăng (SGK - 113)

HS theo dõi và ghi chép

HS tự rút ra nhận xét: muốn tìm tấtcả các nguyên hàm của hàm số f(x) tachỉ cần tìm một nguyên hàm thì mọinguyên hàm khác đều suy ra đợcbằng cách cộng vào đó một hằng sốnào đó

Ví dụ: 1) 2xdx x  2C

2) 1

2 x dx x C



3 Các tính chất của nguyên hàm:

GV đặt câu hỏi để dẫn đến các tính chất

* Từ (*) cho biết  f x dx ( ) ' ?

* Đã biết (aF(x))' = aF'(x) = af(x) Vậy

HS nêu và chứng minh các tính chất

4 Sự tồn tại của nguyên hàm:

GV nêu định lý, cho HS thừa nhận:

Định lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn

[a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó

GV nêu quy ớc: Từ đây chỉ xét các hàm số

đpcm

* Chứng minh tơng tự trên

*

Hiển nhiên vì F'(t) = f(t) nên (F(u(x)))' = F'(u).u'(x) = f(u).u'(x) = f(u(x)).u'(x)  đpcm

HS theo dõi và ghi chép

x

dx x

*VÝ dô 6: F(x) =

2

31 3

x dx x

212

31(1 )2

2

c F x  x  x C

5 22) ( )

5

d F x  x  x C

) ( ) x

a F x e  x C) ( ) 2 x

b F x  e tgx C

2 32) ( ) 2

d  x a C) ln | cos |

e  x C

3cos

1)

I - Mục đích, yêu cầu:

HS hiểu bài toán tính diện tích hình thang cong, nắm vững định nghĩa tích phân, các tính chất của tích phân

C - Giảng bài mới:

1 Diện tích hình thang cong:

GV giới thiệu khái niệm tam giác cong,

hình thang cong và bài toán tính diện tích

của hình phẳng giới hạn bởi 1 đờng cong

GV nêu bài toán

Bài toán: Tính diện tích của hình thang

cong aABb, đợc giới hạn bởi đồ thị hàm số

liên tục y = f(x), f(x)  0, trục Ox và hai

đ-ờng thẳng x = a, x = b

HS theo dõi và ghi chép

b

b a a

f x dx F x F b  F a



GV hớng dẫn HS giải bài toán.

(SGK trang120 -> 122)

GV: bài toán trên chính là nội dung của định

lý sau Nêu định lý

ĐL: Giả sử y = f(x) là một hàm số liên tục và

f(x)  0 trên đoạn [a; b] Thế thì diện tích của

hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm

số đó, trục Ox và hai đờng thẳng x = a, x = b

là: S = F(b) - F(a) , trong đó F(x) là một

2 Định nghĩa tích phân:

GV nêu định nghĩa

một khoảng K, a và b là hai phần tử bất kỳ

của K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên

K Hiệu số F(b) - F(a) đợc gọi là tích phân từ a

Trong đó:  là đấu tích phân, f(x) dx là biểu

thức dới dấu tích phân và là vi phân của mọi

nguyên hàm của f(x), f(x) là hàm số dới dấu

12)



HS theo dõi và ghi chép

HS theo dõi và ghi chép

f x dx F x F b  F a



f, a và b mà không phụ thuộc vào cách ký

hiệu biến số tích phân

GV đặt câu hỏi: Từ định nghĩa tích phân hãy

3 Các tính chất của tích phân:

Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên

khoảng K và a, b, c thuộc K Khi đó:

HS theo dõi và ghi chép

HS suy nghĩ và chứng minh một sốcông thức, còn lại coi nh bài tập

+ Chứng minh (3): Giả sử F(x) là mộtnguyên hàm của f(x) thì kF(x) là mộtng.hàm của kf(x) Ta có:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

F'(x) = f(x)  0, x  [a; b]  F(x) đồngbiến trên [a; b] Do đó:

dx x

21

sin

14

x

x dx x

cotg xdx dx

x cotgx x

dx x

dx b

)

dx c

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

và các tính chất của tích phân, tuy

nhiên với nhiều tích phân phức tạp

HS theo dõi và ghi chép

* Quy tắc đổi biến số dạng 1

+ Đặt x = u(t), với u(t) là một hàm số có

đạo hàm liên tục trên [; ] và u() = a,

HS theo dõi và ghi chép

HS suy nghĩ và chứng minh

HS đọc SGK(130)

tính rồi tính tích phân theo biến t.

GV lu ý HS đổi biến phải đổi cận

GV nêu ví dụ và hớng dẫn HS cách giải

VD1: Tính

1

2

01

2

1

1cos

2

0 1

dx I

tgt  t ,

khi x = 1 thì 3

3

tgt   t

3 2 0

51

xdx I

x







HS theo dõi và ghi chép

HS áp dụng quy tắc đổi biến số dạng 2, chọnbiến mới thích hợp để giải các ví dụ

dt I

ĐL: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo

hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:

1ln

HS áp dụng công thức tích phân từngphần để giải ví dụ

b a

u x dvu x v x  v x du

§Æt 4 5

1ln

1 5 5

2

2 0

xdx du

VD5: TÝnh

1ln

2 0

0

1.ln 1

I - Mục đích, yêu cầu:

HS nắm vững và biết cách vận dụng các công thức tính: diện tích của hìnhphẳng, thể tích của vật thể, thể tích của vật thể tròn xoay

II - Tiến hành:

A- ổ n định lớp, kiểm tra sĩ số

B - Kiểm tra bài cũ:

GV nêu bài tập để kiểm tra bài cũ

hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], hai

đ-ờng thẳng x = a, x = b và trục Ox là:

GV nêu ví dụ

VD1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị của hàm số y = cosx trên đoạn [0; ] và

HS theo dõi và ghi chép

HS suy nghĩ và giải các ví dụ

VD1:

0cos

2cosxdx cosx dx sinx sinx 2

của hai hàm số y = f1(x), y = f2(x) liên tục

trên [a; b], hai đờng thẳng x = a, x = b và

VD5: Tính diện tích của hình tròn (O; R).

VD6: Tính diện tích của hình elip

+ Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình

phẳng giới hạn bởi các đờng y = f(x), x= a, x=

+ Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình

phẳng giới hạn bởi các đờng x = g(y), y= a, y=

b, x = 0:

GV nêu các ví dụ

VD1: Tính thể tích vật thể sinh bởi hình phẳng

giới hạn bởi parabol y = x2 + x, trục Ox và hai

đờng thẳng x = 0, x = 1 khi quay quanh trục

0

3130

V x x dx  (đvtt)

VD2: Tính thể tích vật thể sinh bởi hình

phẳng giới hạn bởi hai đờng cong y = x2 và

y x khi quay quanh trục Ox

3 ứ ng dụng vào vật lý :

2 2

Bài 1(154) Tính diện tích của hình phẳng

giới hạn bởi các đờng sau:

S x x dx 323

e)

1ln

e

S  xdx1

f)

8 3

11

b) y x x   1 x 2 , y0.

Bài 3(155) Tính diện tích hình phẳng giới

hạn bởi parabol y = x2 - 2x + 2, tiếp tuyến

của nó tại điểm M(3; 5) và trục tung

xoay, sinh bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi

các đờng sau đây khi nó quay xung quanh

quay xung quanh trục Ox

Bài 8(155) Cho parabol (P): y2 = 4x Tính

diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và các

tiếp tuyến của nó đi qua điểm A(-2; 1)

a) b)

4 8

Ôn Tập Chơng III

Tiết theo PPCT : 272 -> 273

Tuần dạy :

I - Mục đích, yêu cầu:

HS thành thạo trong việc sử dụng các phơng pháp khác nhau để tính tích phân;ứng dụng thành thạo tích phân để tính diện tích của hình phẳng, thể tích của vật thểtròn xoay

dx I

tuyÕn t¹i c¸c ®iÓm M1(0; -3) vµ M2(3; 0).

xung quanh trôc Ox ;

c) y2 = x3, y = 0, x = 1 khi nã quay xung

I - Mục đích, yêu cầu:

Kiểm tra HS việc sử dụng các phơng pháp khác nhau để tính tích phân; cáchứng dụng tích phân để tính diện tích của hình phẳng, thể tích của vật thể tròn xoay

x x



 Bài 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x - x2, trục Ox vàcác đờng thẳng x = -1, x = 4

Bài 3 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số y = 3x - x2 và đờng thẳng y = 2 khi quay quanh trục Ox

B / Biểu điểm:

Bài 1 a) 1,5đ ; b) 1,5đ ; c) 1,5đ ; d) 1,5đ

Bài 2 2đ

Bài 3 2đ