Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN (FUNCTIONS AND LIMITS)

Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN (FUNCTIONS AND LIMITS)

HÀM SỐ

ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ (DEFINITION OF FUNCTIONS)

Để nghiên cứu các hiện tượng tự nhiên và xã hội, người ta cần một sự biểu diễn toán học nào đó để mô tả các đại lượng, các yếu tố liên quan đến đối tượng đang xét Việc nhận biết mối quan hệ giữa các đại lượng đó sẽ giúp cho việc mô tả trở nên đơn giản và chính xác hơn Hàm số xuất hiện khi có

m ột đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng khác

Ví d ụ 1:

a. Diện tích A của một hình tròn phụ thuộc vào bán kính r của nó theo

công thức Ar2 Với mỗi số dương r sẽ cho duy nhất một giá trị

A tương ứng, ta gọi A là một hàm theo r

c Giá tiền C để chuyển phát nhanh

một lá thư phụ thuộc vào cân nặng

w của nó Một bưu điện có thể quy

định cước phí theo cân nặng như

sau: cân nặng đến 1 ounce có cước

phí là 0.88 dollar, cân nặng từ hơn 1

ounce đến 2 ounce có cước phí là

1.05 dollar…

Với mỗi giá trị của w cho tương ứng

một giá trị của C Ta gọi C là một

12  w 13

0.88 1.05 1.22 1.39 1.56

2.92

ĐỊNH NGHĨA: Cho D và E là các tập

con của tập số thực (real) Hàm số

(function) f là một quy tắc cho tương

ứng mỗi phần tử x trong tập D với duy

nhất một phần tử f x( ) trong tập E

b Trong kinh tế học, xét trong một thời

gian nhất định, lượng cầu (quantity

demanded) của một loại hàng hóa/

dịch vụ nào đó là số lượng của loại

hàng hóa/dịch vụ đó mà người mua

muốn mua và có khả năng mua ứng

với một mức giá (price) nhất định

(giả sử các nhân tố khác không thay

đổi) Với mỗi mức giá P cho tương

ứng một giá trị của lượng cầu Q d , ta

Dgọi là miền xác định (domain),

Egọi là miền giá trị (range),

x gọi là biến độc lập (independent variable),

( )

y f x

gọi là biến phụ thuộc (dependent variable)

Ví d ụ 2:Cho đồ thị hàm số như hình bên:

a Căn bậc hai của một số thực âm không được định nghĩa, miền xác

định của f là tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn x 2 0

2

x

   Vậy miền xác định của f là D   [ 2, )

b Hàm ( )g x xác định khi mẫu số khác 0 Miền xác định của :g

Dx x0,x  1 ( , 0) (0, 1) (1, ).  

Ví dụ, parabol trong hình vẽ (a) dưới đây không phải là đồ thị của một hàm

theo x vì có đường thẳng đứng cắt đồ thị tại hai điểm Tuy nhiên, nếu xem

x như là một hàm theo y thì (a) là đồ thị của hàm x y2  Vì 2

Đường cong trong mặt phẳng Oxy là đồ thị của hàm f khi và chỉ khi không có đường thẳng đứng nào cắt đường cong nhiều hơn một điểm

Ví dụ 5: Hàm giá trị tuyệt đối:

, 0

., 0

y nằm phía bên phải đường thẳng x x 1

Ví d ụ 7: Tìm công thức biểu diễn hàm số f có đồ thị như hình sau

Gi ải: Bằng cách viết phương trình đường thẳng

đi qua hai điểm, công thức cần tìm của đồ thị

hàm f đã cho là:

, 0 1( ) 2 , 1 2

Ví d ụ 8: Trong Ví dụ 1c ở đầu mục này,

chi phí phân phát C w( ) của một lá thư

chuyển phát nhanh có cân nặng w là một

hàm được định nghĩa từng miền bởi theo

bảng giá:

0.88, 0 11.05, 1 2( ) 1.22, 2 3

1.39, 3 4

w w

 Đồ thị hàm số tăng có dáng điệu đi lên kể từ trái sang phải

 Đồ thị hàm số giảm có dáng điệu đi xuống kể từ trái sang phải

Hàm f trong hình vẽ: tăng trên đoạn [ , ]a b và [ , ]c d , giảm trên đoạn

[ , ]b c

Ví d ụ 10: Hàm số 2

y giảm trong khoảng x

(, 0] và tăng trong khoảng [0, )

KẾT HỢP CÁC HÀM (COMBINATIONS OF FUNCTIONS)

Cho 2 hàm ,f g có miền xác định lần lượt là A và B Khi đó:

 Tổng (sum) và hi ệu (difference) của f và g:

 (f g x)( ) x 2 có mix ền xác định:

Khi đó: f g h x  ( )  f g x ( 9) f cos(x9)cos2x9F x( ).

HÀM S Ố NGƯỢC (INVERSE FUNCTIONS)

Đôi khi, ta muốn xem xét vấn đề theo một quan điểm, một góc nhìn khác với dự định ban đầu Chẳng hạn, quan sát thị trường vàng ở một quận tại

Hà Nội vào một thời điểm nào đó người ta ghi nhận được lượng cầu Q d

ứng với từng mức giá một chỉ vàng ,P tức là xem Q d là hàm theo :P

Lượng cầu là hàm của giá cả Giá cả là hàm của lượng cầu

Ví d ụ 13: f là hàm 1-1, g không phải hàm 1-1 vì g nhận giá trị 4 hai

lần: (2)g g(3) 4.

Hàm f là 1-1 khi và chỉ khi không có

đường thẳng nằm ngang nào cắt đồ thị

của nó tại nhiều hơn một điểm

 Cách 2: Từ hình vẽ ta thấy không có đường thẳng nằm ngang nào cắt

đồ thị hàm f x( ) x3 nhiều hơn 1 điểm Theo Tiêu chuẩn đường nằm

Bước 2: Giải phương trình trên tìm x theo y (nếu có thể)

Bước 3: Hoán đổi x và y, kết quả là y f 1( )x

Hoán đổi x và y : y 3 x 2.

Hàm ngược là y f1( )x  3 x 2

Đồ thị hàm ngược 1

f  có được bằng phép lấy đối

Giải: Trước hết vẽ đường cong y   1 x

(là nửa trên của parabol y2    hay 1 x

x  y ) rồi lấy đối xứng qua đường thẳng

y ta có đồ thị hàm x 1

f

CÁC HÀM SỐ CƠ BẢN (ESSENTIAL FUNCTIONS)

Mô hình toán học (mathematical model) là một sự mô tả toán học (thường

dưới dạng một hàm hay một phương trình) về những hiện tượng tự nhiên

và xã hội như: độ tăng dân số, tuổi thọ trung bình của một người, tốc độ rơi của vật, độ biến động của giá cổ phiếu, lợi nhuận của một danh mục đầu tư… Mục đích của việc mô tả này là làm tăng thêm sự hiểu biết về các hiện tượng cũng như đưa ra các dự đoán về chúng trong tương lai

Tiến trình xây dựng một mô hình toán học là một vòng khép kín Ban đầu

từ những vấn đề thực tế người ta đưa ra mô hình toán học của chúng Tiếp theo, dùng công cụ toán học để giải quyết và đưa ra những kết luận toán học Những kết luận này giúp làm sáng tỏ hoặc đưa ra các dự đoán Sau đó, đối chiếu các dự đoán với dữ liệu thực tế mới, nếu chưa đúng thì phải xem xét lại mô hình ban đầu và có thể phải xây dựng một mô hình khác Quá trình này cứ tiếp diễn để xây dựng mô hình mới tốt hơn

Dĩ nhiên, việc một mô hình toán học phản ánh tuyệt đối chính xác một hiện tượng tự nhiên xã hội chỉ là lí tưởng Thông thường, ta phải giảm bớt đi ít nhiều điều kiện ràng buộc Một mô hình tốt là mô hình vừa cho phép thực hiện các tính toán toán học vừa cung cấp kết quả có độ chính xác vừa đủ để

có giá trị thực tế

Có nhiều loại hàm số được dùng để mô hình hóa các mối quan hệ trong thực tế Dưới đây giới thiệu một số hàm số cơ bản

HÀM TUYẾN TÍNH (LINEAR FUNCTIONS)

Ta nói y là một hàm tuyến tính của x nếu y có dạng: ymx b

Đồ thị của hàm y là đường thẳng có hệ số góc m và cắt trục tung tại điểm có tung độ b

Nét đặc trưng của hàm tuyến tính là nó thay đổi theo tốc độ hằng Hằng số

Ví d ụ 19: Đài thiên văn Mauna

Loa thống kê lượng carbon

dioxide trung bình trong khí

quyển, theo đơn vị phần triệu, từ

Số liệu trong bảng được

biểu diễn như hình vẽ, ta

thấy các điểm nằm gần

như trên một đường thẳng,

một cách tự nhiên ta liên

tưởng tới kiểu mô hình

tuyến tính Tuy nhiên, ta

nên chọn đường thẳng nào

để có xấp xỉ tốt? Một khả

năng là đường thẳng đi qua

điểm đầu và điểm cuối của

Ví d ụ 20: Trong kinh tế vĩ mô,

hàm đầu tư (investment function)

tuyến tính có dạng:

I  c d r

với ,c d là các hằng số dương, c

là đầu tư không phụ thuộc vào lãi

suất r (interest rate)

Đường dốc xuống có ý nghĩa là

khi lãi suất giảm thì người ta sẽ

đầu tư thay vì chi tiêu; khi lãi suất

tăng thì người ta sẽ đầu tư ít đi mà

chi tiêu (nhằm tránh bị tổn hại do sức mua của đồng tiền suy giảm)

Đa thức bậc 1 có dạng P x( )mx b (m0), đây là hàm tuy ến tính.

Đa thức bậc 2 có dạng P x( )ax2 bxc a( 0), gọi là hàm bậc hai (quadratic function), có đồ thị là parabol, hướng bề lõm lên trên khi a 0

và xuống dưới khi a 0

ba (cubic function)

Các đồ thị dưới đây cho ta hình ảnh các đa thức bậc 3, bậc 4, bậc 5:

HÀM LŨY THỪA (POWER FUNCTIONS)

H ÀM ĐẠI SỐ (ALGEBRAIC FUNCTIONS)

Sử dụng các phép toán đại số: cộng (addition), trừ (subtraction), nhân (multiplication), chia (division), lấy căn (taking roots) các hàm đa thức ta được hàm đại số Ví dụ, hàm hữu tỷ và các hàm sau là hàm đại số:

nghĩa với mọi x:

sin(xk2 ) sin , cos(  x xk2 ) cos ,  x  k

Mô hình hàm tuần hoàn phù hợp mô tả các hiện tượng lặp đi lặp lại như thủy triều, dao động của lò xo

Dưới đây là đồ thị của các hàm trên:

HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC (INVERSE TRIGONOMETRIC

FUNCTIONS)

Các hàm lượng giác không phải là hàm 1-1 trên miền xác định của nó Do

đó, ta cần giới hạn miền xác định sao cho chúng trở thành hàm 1-1 để tìm các hàm lượng giác ngược

MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC:

 Hàm ysinx không phải là hàm 1-1 trên nhưng là hàm 1-1 trên đoạn ,

Hàm arcsin x có miền xác định là [ 1, 1] và miền

 

  và

1tan arcsin

 Tương tự, hàm ngược của hàm cos x

là hàm arccos x hay cos x 1

Hàm arccos x có miền xác định là [ 1, 1] và

miền giá trị là [0, ]

1cos x y  cosyx, 0 y ,

1 1

 Hàm ngược của hàm tan x là hàm

arctan x hay tan x 1

Ví dụ 22: Đơn giản biểu thức cos tan x  1 

Gi ải: Đặt tan 1 tan ,

 Vậy,  1 

2

1cos tan cos

,2

a a  a

Tính ch ất: Hàm số mũ tăng nếu a , giảm nếu 01   a 1

Ví d ụ 23: Dùng đồ thị đã cho để so

sánh hàm số mũ ( ) 2x

f x  và hàm lũy thừa g x( )x2 Hàm nào tăng nhanh

y tăng nhanh hơn hàm lũy thừa 2

y x

Xét mô hình phát triển dân số: Bảng 1 ghi nhận dữ liệu về dân số thế giới.Nhìn vào biểu đồ được vẽ bởi dữ liệu của bảng

cho ta thấy sự phát triển của dân số theo kiểu hàm

số mũ Sử dụng máy tính ta có thể xây dựng được

mô hình tương thích với những dữ liệu rời rạc của

bảng như sau:

(1436.53)(1.01395) t

P

Giai đoạn phát triển dân số thế giới tương đối

chậm là do ảnh hưởng của hai cuộc chiến tranh thế

giới và cuộc đại suy thoái kinh tế thế giới những

HÀM LOGARIT (LOGARITHMIC FUNCTIONS)

Nếu a0, a , hàm số mũ ( )1 x

f x a là hàm 1-1, nên có hàm ngược là f 1, được gọi

là hàm logarit với cơ số a và kí hiệu là loga:









Hàm loga có miền xác định D(0, ) , miền

giá trị , có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm

x r r

5

 

Logarit t ự nhiên (natural logarithms)

Logarit với cơ số e (e2.71828: số vô tỷ) gọi là logarit tự nhiên, kí hiệu: loge xln x Ta có:

HÀM SIÊU VIỆT (TRANSCENDENTAL FUNCTIONS)

Các hàm không phải hàm đại số gọi là hàm siêu vi ệt

Các hàm siêu việt đã biết: hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược, hàm

1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (THE LIMIT OF A FUNCTION)

BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN (THE TANGENT PROBLEM)

Để tìm phương trình tiếp tuyến t với parabol

2

y tại điểm (1, 1),x P ta cần biết hệ số góc

(slope) m của t. Công việc đó được thực hiện

như thế nào? Trước tiên, ta lấy điểm Q x x , 2

thuộc parabol đã cho thì hệ số góc của cát tuyến

(secant) PQ là 2 1

1

PQ

x m

b

x x

a



Xem bảng tính giá trị của m PQ

tại các điểm x nhận giá trị gần

với giá trị x ta thấy khi 1

Để có cái nhìn trực quan về giới hạn hàm số, ta xét ví dụ:

Cho hàm số f x( )x2  x 2 Tính giá trị của ( )f x khi x gần 2 nhưng x

không bằng 2:

Từ bảng giá trị và đồ thị hàm f ta thấy khi x dần về 2 (từ hai phía của 2)

thì f x dần về 4 Có nghĩa, giá trị của ( )( ) f x có thể gần 4 một cách tùy

thích nếu chọn x đủ gần 2 Khi đó, ta nói: “giới hạn của hàm số

ĐỊNH NGHĨA: Giới hạn của hàm số f x ( ) khi x dần đến a bằng L

nếu giá trị của f x( ) có thể gần L một cách tùy ý khi lấy giá trị của x

đủ gần a nhưng x không bằng a

Kí hiệu: lim ( )

Lưu ý: Trong định nghĩa trên ta chỉ quan tâm đến giá trị của hàm số ( )f x

khi x nhận những giá trị gần a nhưng x a Vậy, ta không cần quan tâm

hàm số có xác định tại a hay không

Ví dụ 1: Dự đoán giá trị của 2

1

1lim

1

x

x x







tuy nhiên ta chỉ quan tâm

đến giá trị của ( )f x khi x

x

x x

Dựa vào các tính toán trên có thể dự đoán

Rõ ràng quan sát đồ thị của

f ta thấy có những đường

gần như thẳng đứng và rất

dày ở gần trục tung, có nghĩa

là các giá trị của sin

x

dao động giữa 1 và 1 vô hạn lần

GIỚI HẠN MỘT PHÍA (ONE-SIDED LIMITS)

Từ các định nghĩa trên suy ra:

ĐỊNH NGHĨA: Giới hạn của f x( ) khi x dần đến a từ bên trái bằng

L nếu giá trị của hàm số f x( ) có thể gần L một cách tùy ý khi lấy giá trị của x đủ gần a và x nhỏ hơn a

ĐỊNH NGHĨA: Giới hạn của f x( ) khi x dần đến a từ bên phải

bằng L nếu giá trị của hàm số f x( ) có thể gần L một cách tùy ý khi lấy giá trị của x đủ gần a và x ớn hơn a

Ví d ụ 4: Dựa vào đồ thị, tính các giới hạn

sau (nếu tồn tại):

thấy giá trị của ( )f x có thể lớn một cách tùy ý khi x đủ gần 0 chứ ( )f x

không dần đến một số nào đó Khi đó, ta nói 2

0

1lim

x x không tồn tại và viết

ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm f xác định về hai phía điểm a, trừ điểm a

3

x

x x



2lim

3

x

x x

x x

  Đặt  7x, ta có   khi 0 x Vậy:0

TÍNH CHẤT THAY THẾ TRỰC TIẾP: Nếu f là một đa thức hay

một hàm hữu tỷ và a thuộc miền xác định của f thì lim ( ) ( )

9 3

t

t t

x x không tồn tại Giới hạn này được tính như sau:

1lim sin 0

x x

x

ĐỊNH NGHĨA CHÍNH XÁC CỦA GIỚI HẠN (THE PRECISE

3

lim ( ) 5

x f x

  Để biết chi tiết hơn ( )f x thay đổi như thế nào khi

x dần đến 3, hãy trả lời câu hỏi sau:

x g ần 3như thế nào để sai khác giữa f x( ) và 5 nh ỏ hơn 0.1?

Vậy nếu khoảng cách từ x đến 3 nhỏ hơn 0.05 thì khoảng cách từ ( ) f x

đến 5 nhỏ hơn 0.1, số  cần tìm là 0.05 Nếu khoảng cách từ ( )f x đến 5 nhỏ hơn 0.01, lập luận như trên ta có:

( ) 5 0.01

f x   nếu 0  x 3 0.005

Tương tự, ( ) 5 0.001f x   nếu 0  x 3 0.0005

Các sai số 0.1, 0.01, 0.001 giữa ( )f x và 5

tùy chọn như trên phản ánh mức độ “ ( )f x

gần 5” Tuy nhiên, để có thể nói chính xác

giới hạn của ( ) f x khi x dần đến 3 là 5 thì

không thể chỉ xét khoảng cách giữa ( )f x và

5 nhỏ hơn vài con số nhỏ nào đó mà ta phải

xét trên một khoảng cách nhỏ bất kỳ Nếu viết

(epsilon) là số dương nhỏ tùy ý, với cách

bằng cách lấy những giá trị của x cách 3 một khoảng

2

 ( 3)

x

ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm f xác định trên khoảng mở chứa điểm a,

x x  .

ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm f xác định trên

khoảng mở chứa điểm a, có thể trừ điểm a

lim ( )

   nếu với mỗi số M 0, tồn tại

số  0 sao cho: nếu 0  x a  thì

   nếu với mỗi số N 0, tồn tại

số  0 sao cho: nếu 0  x a  thì

f x N

Một cách tương tự, ta có thể định nghĩa các giới hạn một phía:

GIỚI HẠN TẠI VÔ CÙNG (LIMITS AT INFINITY)

Quan sát hình vẽ và bảng giá trị của hàm ( ) 22 1

càng lớn, giá trị của hàm f càng tiến gần về 1, nói cách khác giá trị ( )f x

có thể gần 1 tùy ý với x đủ lớn, ta nói hàm f có giới hạn là 1 khi x dần ra

Ví d ụ 20: Tìm các giới hạn vô cùng, giới hạn

tại vô cùng của hàm số có đồ thị như trong

Giải:     2  2  2

11

Giải: Khi x tăng, các giá trị của sin x dao động giữa 1 và 1, chúng không

dần về một giá trị xác định Do đó, không tồn tại giới hạn limsin

   có nghĩa giá trị của ( )f x càng lớn khi x càng lớn

Các ký hiệu sau có nghĩa tương tự:

lim ( ) , lim ( ) , lim ( )

   nếu với mỗi M 0,

tồn tại số N 0 sao cho: nếu xN thì

hạn vô cùng và    cũng không được định nghĩa Tuy nhiên, ta có thể viết

1.3 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (LIMIT OF A SEQUENCE)

ĐỊNH NGHĨA: Dãy số vô hạn (infinite sequence) là tập hợp vô hạn các

số sắp xếp theo một trật tự nhất định

Lưu ý:

 Dãy số a a a1, , , 2 3  còn được ký hiệu là  a n hoặc  a n n1

 Có duy nhất một số a n ở mỗi vị trí n ( n1,2,3, ) trong dãy nên có

thể coi dãy số là một hàm số f với tập xác định là tập các số nguyên dương, tức xem a n  f n( )

 Tổng quát, dãy số  a n có thể được cho dưới dạng a n  f n( ) với n

không nhất thiết bắt đầu từ 1

Ví dụ 1:Liệt kê 4 số đầu tiên của các dãy số sau:

n n