CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LOGIC

Trang 1

GIÁO TRÌNH TOÁN NG D NG TIN H C Biên so n : Gv Ph m Phúc Th nh

m nh , và chúng c ng c dùng ký hi u cho các bi n logic, t c là các bi n l y giá

tr úng ho c sai Chân tr “ úng” th ng c vi t là 1, và chân tr “sai” c vi t là 0

Các phép toán logic c nh ngh a b ng b ng chân tr (truth table) B ng chân

tr xác nh chân tr c a m nh ph c h p theo t ng tr ng h p c a các chân tr c a các

M nh ph nh ¬ p có chân tr là úng (1) khi m nh p có chân tr sai (0),

ng c l i ¬ p có chân tr sai (0) khi p có chân tr úng (1)

3 Phép h i

Cho p và q là hai m nh Ta ký hi u m nh “p hay q” là p Λ q Phép “và”, ký

hi u là Λ , c nh ngh a b i b ng chân tr sau ây:

Trang 2

GIÁO TRÌNH TOÁN NG D NG TIN H

Chân tr c a m nh

p ⊕q úng khi trsai

t m nh ,ta có m nh p ∨¬ p luôn luôn

òn s d ng phép “tuy n lo i” trong vi c li

b i b ng chân tr sau

2 m nh p, q : m nh úng, m t m nh

ho lo i phát bi u i u

& vi t p→ q di n t

b i b ng chân tr sau

Trang 3

M nh p → q,

khác sau ây: “q n u p”; “p

p”

6 Phép kéo theo 2 chi u

Phép kéo theo 2 chi

hình cho lo i phát bi u i u

q là 2 m nh , ta vi t p ↔

M nh p ↔q,

d ng khác sau ây: “p khi v

7 Ð ưu tiên c a các toán

i t kê trên cùng dòng có cùng u tiên

và các lu t logic

nh ta c ng có các bi u th c logic c hay các giá tr h ng

nh oán logic, và c các d u ngo c “( )” ch#

p toán

c logic, khi y ¬ E, E ∧ F, E → F, E ↔ F cE(p,q,r) = (((¬ p) ∨ q)→ (r ∧ s)) là m t bi u

ùng nhi u d u ngo c

nh toán ' trên ta có 5 ơng)

Trang 4

Khi ó ta vi t: E ⇔ F c là “E t ơng ơng v"i F”

Nh v$y, theo nh ngh a ta có th ki m tra xem 2 bi u th c logic có t ơng ơng hay không b ng cách l$p b ng chân tr c a các bi u th c logic

Ta có th ki m tra xem m t bi u th c logic có ph i là h ng úng (h ng sai) hay không b ng cách l$p b ng chân tr c a các bi u th c logic

Lưu ý:

Gi s E và F là 2 bi u th c logic Khi ó, E t ơng ơng logic v"i F (t c là ta

có E ⇔ F) khi và ch# khi bi u th c logic E ↔ F là h ng úng (t c là E ↔F ⇔1)

N u E ⇔ F và F ⇔ G thì E ⇔ G

4 Các lu t logic

Các lu$t logic là cơ s ta th c hi n các bi n (i trên m t bi u th c logic có

c m t bi u th c logic m"i t ơng ơng logic v"i bi u th c logic có tr "c

Trang 5

• p ∨ 1 ⇔ 1 (lu$t này còn c g i là lu$t th ng tr )

• p ∨ 0 ⇔ p (lu$t này còn c g i là lu$t trung hòa)

• p ∨ (p ∧ q) ⇔ p (lu$t này còn c g i là lu$t h p th )

j Các lu t ơn gi n c a phép h i

• p ∧ p ⇔ p (tính l y ng c a phép h i)

• p ∧ 1 ⇔ p (lu$t này còn c g i là lu$t trung hòa)

• p ∧ 0 ⇔ 0 (lu$t này còn c g i là lu$t th ng tr )

• p ∧ (p ∨ q) ⇔ p (lu$t này còn c g i là lu$t h p th ) Nh!ng lu$t trên c ch n l a làm cơ s cho chúng ta th c hi n các bi n (i logic, suy lu$n và ch ng minh

5 Các qui t c thay th

D "i ây là các qui t)c cho ta có th suy ra nh!ng bi u th c logic m"i hay tìm ra các bi u th c logic t ơng ơng v"i m t bi u th c logic cho tr "c

a Qui t c 1

Trong m t bi u th c logic E, n u ta thay th m t bi u th c con b i m t bi u

th c logic t ơng ơng v"i bi u th c con ó thì ta s& c m t bi u th c m"i E’ t ơng ơng v"i bi u th c E

Nh n xét:Các ví d trên cho ta th y m t quan h khác gi a các m nh ph c

h p hay các m nh : quan h “suy ra” Khi m nh p → q là h ng úng, ta nói r ng p suy ra q (v m t logic) Chúng ta s dùng ký hi u ch quan h

“suy ra” Quan h suy ra n y có tính truy n (hay b c c u), nhưng không có tính

ch t i x ng

IV Quy t c suy di n

Trang 6

Tuy có nhi u k+ thu$t, nhi u ph ơng pháp ch ng minh khác nhau, nh ng trong

ch ng minh trong toán h c ta th ng th y nh!ng lý lu$n d n xu t có d ng:

N u p 1 và p 2 và và p n

thì q

D ng lý lu$n n y c xem là h p lý ( c ch p nh$n là úng) khi ta có bi u

th c (p1∧ p2∧ ∧ pn) → q là h ng úng

Ta g i d ng lý lu$n trên là m t lu t suy di n

Ng i ta c ng th ng vi t lu$t suy di n trên theo các cách sau ây :

Ví d : Gi s p và q là các bi n logic Xác nh xem mô hình sau ây có ph i là

m t lu$t suy di n hay không?

2 Ki m tra m t qui t c suy di n

Ð ki m tra m t qui t)c suy di n xem có úng hay không ta có th s d ng m t trong các ph ơng pháp sau ây:

a Phương pháp 1: L p b ng chân tr

Thi t l$p bi u th c logic t ơng ng c a qui t)c suy di n và l p b ng chân tr c a

bi u th c ó xem nó có ph i là h ng úng hay không Trong tr ng h p bi u th c logic là h ng úng thì ta k t lu$n qui t)c suy di n là úng Ng c l i, ta k t lu$n qui t)c suy di n là sai

Ví d : Ki m tra qui t)c suy di n sau ây(p→ q) ∧ p q

b Phương pháp 2: Ch ng minh b ng cách s d ng các lu t logic

Thi t l$p bi u th c logic t ơng ng c a qui t)c suy di n và ch ng minh bi u th c

là h ng úng b ng cách áp d ng các lu$t logic và các qui t)c thay th

Trang 7

Ví d : Ki m tra qui t)c suy di n sau ây: (p→ q) ∧ p q

Ghi chú: Ð ki m tra m t qui t c suy di n ta còn có th k t h p 2 phương pháp

trên và áp d ng c nh ng lu t suy di n ã bi t trư c

−−−−−−−

∴ p→ r

d Qui t c ch ng minh b ng ph n ch ng

p → q (p → ¬q) → 0 Qui t)c n y cho phép ta ch ng minh (p → ¬q) → 0 thay cho p → q Nói cách khác,

n u ta thêm gi thi t ph vào ti n p mà ch ng minh c có s mâu thu n thì ta có th

Trang 8

M t v t là m t phát bi u p(x, y, …) ph thu c theo các bi n x, y, … l y giá tr trên các mi n xác nh A, B, … nào ó Khi thay th các bi n trong v t b i các giá tr

c th a, b, … thu c các mi n xác nh thì ta ư c m t m nh p(a, b, …) có chân tr úng ho c sai

G i B là t p h p g!m có hai giá tr : Sai (ký hi u b i 0), và Ðúng (ký hi u b i 1) M t v t p(x, y, …) có th l y 1 trong 2 giá tr c a t p B

Ví d : P(n) ≡ “n là m t s nguyên t ” là m t v t trên t$p h p các s t nhiên

(ho c trên t$p h p các s nguyên) Ta có th th y r ng:

L ng t “v i m i” và “t!n t i” (hay “có ít nh t m t”)là t dùng di n t v t

úng i v"i m i giá tr thu c mi n xác nh hay ch# úng v"i m t ph n các giá tr thu c

mi n xác nh

Cho P(n) là m t v t theo bi n s t nhiên n

• Phát bi u “v"i m i n ∈N, P(n)” có ngh a là P có giá tr úng trên toàn b

mi n xác nh Ký hi u “ ∀ “ thay th cho l ng t “v i m i”

Trang 9

lư ng t ∃ b i lư ng t ∀ , và bi u th c v t ư c thay th b i ph nh c a nó thì ta s

ư c m nh ph nh c a m nh có lư ng t ban u Qui t c n y c"ng áp d ng

ư c cho các m nh v i nhi u lư ng t

3 M t s qui t c dùng trong suy lu n

a Thay #i th t$ lư ng t hóa c a 2 bi n

Cho m t v t p(x, y) theo 2 bi n x, y N u l ng t hóa c 2 bi n x, y trong ó ta

l ng t hóa bi n y tr "c và l ng t hóa bi n x sau thì s& c 4 m nh sau ây:

d Qui t c t#ng quát hóa ph# d ng

Qui t c: N u ta thay th bi n x trong v t P(x) b i m t ph n t a c nh nh ng

tùy ý th c mi n xác nh c a bi n x mà m nh nh$n c có chân tr là úng, t c là P(a) = 1, thì m nh l ng t hóa∀ x : P(x)là m t m nh úng

T các qui t c trên ta có th ch ng minh ư c m t s tính ch t suy di n ư c phát bi u trong các m nh sau ây:

• M nh 1: Cho p(x) và q(x) là các v t theo bi n x l y giá tr trong t$p

h p A (mi n xác nh c a bi n x là t$p h p A), và a là m t ph n t c nh tùy ý thu c A Khi y ta có qui t)c suy di n sau ây:

∀ x : p(x) → q(x)

Trang 10

• M nh 2: Cho p(x), q(x) và r(x) là các v t theo bi n x l y giá tr trong

t$p h p A (mi n xác nh c a bi n x là t$p h p A) Ta có qui t)c suy di n sau ây:

4 D ch nh ng câu thông thư ng thành bi u th c logic:

D ch m t câu c phát bi u b ng ngôn ng! t nhiên (câu h.i thông th ng) thành

m t bi u th c logic có vai trò h t s c quan tr ng trong xây d ng các ngôn ng! l$p trình,

ch ơng trình d ch và x lý ngôn ng! t nhiên Quá trình d ch m t câu t ngôn ng! t nhiên thành m t bi u th c s& làm m t i tính t nhiên c a ngôn ng! vì a s các ngôn ng! u không rõ ràng, nh ng m t bi u th c logic l i r t rõ ràng ch t ch& t cú pháp th

hi n n ng! ngh a c a câu /i u này d n n ph i có m t t$p h p các gi thi t h p lý

d a trên m t hàm xác nh ng! ngh a cu câu ó M t khi câu ã c chuy n d ch thành

bi u th c logic, chúng ta có th xác nh c giá tr chân lý c a bi u th c logic, thao tác

trên bi u th c logic, bi n (i t ơng ơng trên bi u th c logic

Chúng ta s& minh ho vi c d ch m t câu thông th ng thành bi u th c logic thông

Ta g i p là câu : B n ư c lái xe máy

q là câu : B n cao dư i 1.5m

r là câu : B n trên 18 tu#i

Khi ó: Câu h.i trên c d ch là: (q ∧∧∧∧ ¬r) ¬p

b Ví d 2

D ch câu “T t c các sinh viên h c tin h c u h c môn toán h c r i r c”

Gi i:

G i P(x) là câu “x c n h c môn toán h c r i r c” và x c xác nh trong không

gian c a các sinh viên h c tin h c Khi ó chúng ta có th phát bi u: ∀∀∀∀ x P(x)

Trang 11

T$p h p là m t trong các khái ni m cơ b n c a Toán h c Khái ni m t$p h p không c nh ngh a mà ch# c mô t qua các ví d : T$p h p các h c sinh c a m t l"p h c, t$p h p các c u th c a m t i bóng, t$p h p các cu n sách trên m t giá sách, t$p h p các s t nhiên,

Các i t ng c u thành m t t$p h p c g i là các ph n t c a t$p h p ó

Ng i ta th ng kí hi u các t$p h p b i các ch! A, B, C, X, Y, Z, và các ph n t c a t$p h p b i các ch! a, b, c, x, y, z,

Ng i ta th ng bi u th t$p h p A b i m t ng cong kín g i là l c 0 Venn

3 T p h p con, các t p h p b ng nhau

a T p h p con :

T$p h p A c g i là m t t$p con c a t$p h p X n u m i ph n t c a A u là nh!ng ph n t c a X Ký hi u : A X (1) ho c X A(2) ( c là X ch a A)

4 8

T p h p C

Trang 12

V"i các t$p con b t kì A, B c a không gian X, ta có:

Gi s X và Y là hai t$p h p m t ánh x f t X vào Y là m t quy t c cho ta v"i

m2i ph n t x ∈ X, t0n t i m t ph nt duy nh t y ∈ Y sao cho y=f(x)

Trang 13

f(A1∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2);

f(A1∩ A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2);

f(A1 \ A2) ⊃ f(A1) \ f(A2);

Trang 14

d % nh ngh&a 4 :

T$p h p không m c là m t t$p h p vô h n và không là t$p h p m c/

X Quy n p toán h c – nh ngh a quy

1 Quy n p toán h c

a Khái ni m

Quy n p là k t lu$n i t tr ng h p riêng i t"i tr ng h p t(ng quát Ngh a là, k t lu$n t(ng quát d a trên vi c nghiên c u các tính ch t c a nhi u s ki n, nhi u thí nghi m hay nhi u quan sát riêng l-

N u k t lu$n chung d a vào nghiên c u t t c các s ki n riêng (các i t ng, các hình, các s , vv…) thì quy n p c g i là y hay hoàn ch#nh

N u k t lu$n chung d a vào nghiên c u m t ph n c a tâp h p t t c các s ki n (các i t ng) thì quy n p c g i là không y hay không hoàn ch#nh

b Cơ s toán c a nguyên lý quy n p

N u W là m t tính ch t c xác nh trên t$p h p t t c các s t nhiên sao cho W(1) (1 có tính ch t W), i v"i m t s t nhiên n n u W(n) thì W(n+1) ( n u n có tính

Ví d : Tìm thu$t toán quy tính UCLN c a hai s nguyên a,b không âm và a > b

procedure UCLN (a,b: các s nguyên không âm, a > b)

if b = 0 then

UCLN (a,b) := a else

UCLN (a,b) := UCLN (a mod b, b)

b % quy và l p:

Ví d Th t c quy sau ây cho ta giá tr c a n! v"i n là s nguyên d ơng

procedure factorial (n: positive integer)

if n = 1 then

factorial(n) := 1 else

factorial(n) := n * factorial(n-1)

Trang 15

Thông th ng tính m t dãy các giá tr c nh ngh a b ng quy, n u dùng

ph ơng pháp l p thì s các phép tính s& ít hơn là dùng thu$t toán quy (tr khi dùng các máy quy chuyên d ng) Ta s& xem xét bài toán tính s h ng th n c a dãy Fibonacci

procedure fibonacci (n: nguyên không âm)

if n = 0 then

fibonacci(n) := 0 else

if n = 1 then

fibonacci(n) := 1 else

fibonacci(n) := fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2) Theo thu$t toán này, tìm fn ta bi u di n fn = fn-1 + fn-2 Sau ó thay th c hai

s này b ng t(ng c a hai s Fibonacci b$c th p hơn, c ti p t c nh v$y cho t"i khi f0 và f1

xu t hi n thì c thay b ng các giá tr c a chúng theo nh ngh a Do ó tính fn c n fn+1-1 phép c ng

Bây gi ta s& tính các phép toán c n dùng tính fn khi s d ng ph ơng pháp

l p Th t c này kh i t o x là f0 = 0 và y là f1 = 1 Khi vòng l p c duy t qua t(ng c a x

và y c gán cho bi n ph z Sau ó x c gán giá tr c a y và y c gán giá tr c a z V$y sau khi i qua vòng l p l n 1, ta có x = f1 và y = f0 + f1 = f2 Khi qua vòng l p l n n-1 thì x = fn-1 Nh v$y ch# có n – 1 phép c ng c dùng tìm fn khi n > 1

procedure Iterative fibonacci (n: nguyên không âm)

if n = 0 then y := 0 else

begin

x := 0 ; y := 1 for i := 1 to n - 1 begin

z := x + y

x := y ; y := z end

end

{y là s Fibonacci th n}

Ta ã ch# ra r ng s các phép toán dùng trong thu$t toán quy nhi u hơn khi dùng

ph ơng pháp l p Tuy nhiên ôi khi ng i ta v n thích dùng th t c quy hơn ngay c khi

nó t ra kém hi u qu so v"i th t c l p / c bi t, có nh!ng bài toán ch# có th gi i b ng th

t c quy mà không th gi i b ng th t c l p

Trang 16

M t cách t(ng quát: N u A1, A2, , An là các t$p h p h!u h n r i nhau, ngh a là

ph n giao c a hai t$p h p b t k* trong n t$p h p là r2ng, thì s ph n t c a ph n h i c a các t$p h p trên b ng t(ng c a các s l ng ph n t trong m2i t$p h p:

| A1∪ A2∪ ∪ An | = | A1 | + | A2 | + + | An |

Ghi chú:

Trong tr ng h p i v"i hai t$p h p h!u h n A và B tùy ý thì ta có:

| A ∪ B | = | A | + | B | - | A ∩ B | Tính ch t n y có th m r ng cho tr ng h p i v"i n t$p h p tùy ý A1, A2, , An

+ Σ1≤ r< s< t ≤ n | Ar ∩ As ∩ At | - + (-1)n | A1∩ A2∩ ∩ An |

2 Nguyên lý c ng :

Gi s ta ph i th c hi n công vi c và th c hi n công vi c n y ta có th ch n m t trong hai bi n pháp khác nhau theo ngh a là cách th c hi n bi n pháp th nh t luôn luôn khác cách th c hi n bi n pháp th hai Bi n pháp th nh t có n cách th c hi n, và i v"i

bi n pháp th hai ta có m cách th c hi n V$y ta có n+m cách th c hi n công vi c

Ví d : Xác nh giá tr c a k sau khi o n ch ơng trình sau ây c th c hi n xong

for im := 1 to nm do

k := k + 1;

L i gi i

Giá tr c a k ban u là 0 Sau ó là m vòng l p khác nhau M2i thao tác l p trong

m t vòng l p là c ng thêm 1 vào k Vòng l p th i có ni thao tác, và t t c m vòng l p

Trang 17

không th th c hi n 2 vòng l p nào m t cách 0ng th i Do ó s thao tác th c hi n xong

o n ch ơng trình trên là n1 + n2 + + nm /ây c ng chính là giá tr cu i cùng c a k

| A1 x A2 x x An | = | A1 | | A2 | | An |

Gi s ta ph i th c hi n m t th t c bao g0m hai công vi c k ti p nhau / th c

hi n công vi c th nh t ta có n1 cách, và ng v"i m2i cách ch n th c hi n công vi c th

nh t ta có n2 cách th c hi n công vi c th hai V$y ta có s cách th c hi n th t c là n1 x

n2

Nguyên lý nhân trên có th c m r ng và có d ng t(ng quát nh sau: Gi s

m t th t c bao g0m m công vi c k ti p nhau T1, T2, , Tm N u công vi c T1 có th

c th c hi n theo n1 cách, và sau khi ch n cách th c hi n cho T1 ta có n2 cách th c hi n

T2, v.v… cho n cu i cùng, sau khi ch n cách th c hi n các công vi c T1, T2, , Tm-1 ta

có nm cách th c hi n Tm V$y ta có n1.n2 nm cách th c hi n th t c Nguyên lý nhân d ng t(ng quát n y có th c ch ng minh b ng qui n p t qui t)c nhân cho

• Có n'm lo i h c b#ng khác nhau H(i r ng ph i có ít nh t bao nhiêu sinh viên ch c

ch n r ng có ít ra là 6 ngư i cùng nh n h c b#ng như nhau

G i N là s sinh viên, khi ó ]N/5[ = 6 khi và ch# khi 5 < N/5 ≤ 6 hay 25 < N ≤ 30 V$y s N c n tìm là 26

• S mã vùng c n thi t nh( nh t ph i là bao nhiêu m b o 25 tri u máy i n tho i trong nư c có s i n tho i khác nhau, m)i s có 9 ch s (gi s s i n tho i có

d ng 0XX - 8XXXXX v i X nh n các giá tr t 0 n 9)

Có 107 = 10.000.000 s i n tho i khác nhau có d ng 0XX - 8XXXXX Vì v$y theo nguyên lý Dirichlet t(ng quát, trong s 25 tri u máy i n tho i ít nh t có ]25.000.000/10.000.000[ = 3 có cùng m t s / m b o m2i máy có m t s c n có

ít nh t 3 mã vùng

3 M t s ng d ng c a nguyên lý Dirichlet

Trang 18

• Trong m t phòng h p có n ngư i, bao gi c"ng tìm ư c 2 ngư i có s ngư i quen trong s nh ng ngư i d$ h p là như nhau

S ng i quen c a m2i ng i trong phòng h p nh$n các giá tr t 0 n n − 1 Rõ ràng trong phòng không th 0ng th i có ng i có s ng i quen là 0 (t c là không quen ai) và có ng i có s ng i quen là n − 1 (t c là quen t t c ) Vì v$y theo s

l ng ng i quen, ta ch# có th phân n ng i ra thành n −1 nhóm V$y theo nguyên

lý Dirichlet t0n tai m t nhóm có ít nh t 2 ng i, t c là luôn tìm c ít nh t 2 ng i

có s ng i quen là nh nhau

• Trong m t tháng g!m 30 ngày, m t i bóng chuy n thi u m)i ngày ít nh t 1 tr n nhưng chơi không quá 45 tr n Ch ng minh r ng tìm ư c m t giai o n g!m m t s ngày liên t c nào ó trong tháng sao cho trong giai o n ó i chơi úng 14 tr n

G i aj là s tr$n mà i ã chơi t ngày u tháng n h t ngày j Khi ó

1 ≤ a1 < a2< < a30< 45

15 ≤ a1+14< a2+14 < < a30+14 < 59

Sáu m ơi s nguyên a1, a2, , a30, a1+ 14, a2 + 14, , a30+14 n m gi!a 1 và 59 Do

ó theo nguyên lý Dirichlet có ít nh t 2 trong 60 s này b ng nhau Vì v$y t0n t i i

và j sao cho ai= aj+ 14 (j < i) /i u này có ngh a là t ngày j + 1 n h t ngày i i

A n u trong ba ng i này có hai ng i là b n thì h cùng v"i A l$p thành m t b

ba ng i b n l n nhau, ng c l i, t c là n u trong ba ng i B, C, D không có ai là

b n ai c thì ch ng t h là b ba ng i thù l n nhau T ơng t có th ch ng minh trong tr ng h p có ít nh t ba ng i là k- thù c a A

IV CH NH H P

1 Ð nh ngh a

Cho X là m t t$p h p g0m n ph n t , và r là m t s nguyên d ơng nh hơn ho c

b ng n M2i phép ch n r ph n t phân bi t c a X theo m t th t nào ó s& cho ta m t ch nh

h p n ch n r Nói cách khác, ta có th xem m t ch#nh h p nh là m t dãy hay m t b g0m r

hoán v n ph n t là m t cách s)p x p n ph n t theo m t th t nào ó M2i hoán v n ph n

t c a t$p X c ng có th c xem nh m t song ánh t X vào X

2 Công th c ch nh h p

Trang 19

" TH!C NEWTON:

n th c, n là m t s nguyên không m tùy (x+y)n=

ên không âm tùy ý Ta có:

ên không âm Ta có:

Trang 20

d Công th c Vande

Cho m, n, và r là có:

$t hay i t ng trong ó có n1 i t ng thu

2, , và nr i t ng thu c lo i th r, v"i

p n i t ng trên thành dãy có th t , ha nr!)

s nguyên d ơng sao cho n = 2k Ch ng m

, x1, x2, x2, , xk, xk Theo nh lý trên ta 2!) = n!/ 2kSuy ra r ng n!/ 2k là m t s

Σ {C(n, r1, …, rm) : 0 5 ri 5(n, r1, …, rm) c tính theo công th cC(n,

y2z2 trong khai tri n c a (x + 2y - 3z)7

a có: trong khai tri n c a (x + 2y - 3z)7 , s (2y)2(-3z)2

ta có s hoán v c a n ký nguyên

Trang 21

Ví d : Tìm s cách x p 30 viên bi gi ng nhau vào 5 h p khác nhau sao cho h p 1 có ít

nh t 5 bi, bi t r ng h p 2 và 3 ch a không quá 6 bi

• Tr "c h t ta tìm s cách x p 30 viên bi gi ng nhau vào 5 h p khác nhau sao cho h p

1 có ít nh t 5 bi

• Nh$n xét r ng ta c n l y 5 bi x p tr "c vào h p 1, do ó s bi còn l i ch# là 25 Suy ra s cách x p trong tr ng h p này b ng s cách x p 25 bi vào 5 h p mà

gi ng nhau vào 5 h p khác nhau sao cho h p 1 ch a ít nh t 5 bi, 0ng th i h p 2 hay h p 3 ch a ít nh t 7 bi là

Trang 22

I Quan h hai ngôi

Cho m t t$p h p X khác r2ng M t quan h 2 ngôi trên X là m t t$p h p con R c a

X2 Cho 2 ph n t x và y c a X, ta nói x có quan h R v"i y khi và ch# khi (x,y) ∈ R, và vi t

là x R y Nh v$y:x R y ⇔ (x,y) ∈ R; Khi x không có quan h R v"i y, ta vi t: x y

Ví d :

Trên t$p h p X = { 1,2,3,4} , xét quan h 2 ngôi R c nh ngh a b i:R = { (1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3), (4,2), (4,4)}V"i quan h n y ta có: 2 R 4, nh ng 2 3

Trên t$p h p các s nguyên Z ta nh ngh a m t quan h 2 ngôi R nh sau:x R y n u

và ch# n u x-y là s ch n.hay nói cách khác:R = { (x,y) ∈ Z2 x-y = 2k v"i k ∈ Z } Quan h

T(ng quát hơn, ta có th nh ngh a m t quan h gi!a các t$p h p A1, A2, , An là

m t t$p h p con c a A1 x A2 x x An (tích Descartes c a các t$p h p A1, A2, , An)

Nh v$y, khi R là m t quan h gi!a các t$p A1, A2, , An thì m2i ph n t c a R là m t b

Li t kê t t c các c p hay b ph n t có quan h R (t c là thu c R)

b Nêu tính ch t c trưng cho quan h R :

Nêu tính ch t hay tiêu chu6n xác nh các ph n t thu c R hay không

3 Bi u di n quan h 2 ngôi dư#i d ng ma tr n

Gi s R là m t quan h 2 ngôi gi!a m t t$p h p h!u h n A = { a1, a2, , am} và

m t t$p h!u h n B = { b1, b2, , bm} Quan h R có th c bi u di n b i ma tr$n MR =

Trang 23

[mij] g0m m dòng và n c t (t c là ma tr$n c p mxn), trong ó mij = 1 n u (ai, bj) ∈ Rmij = 0

n u (ai, bj) ∉ RTa g i ma tr$n MR là ma tr n bi u di n c a quan h R

Ví d : V"i A = { 1,2,3} và B = { a, b, c} , thì các quan h sau ây:

Ghi chú:

Ngoài cách bi u di n quan h d "i d ng ma tr$n ta còn bi u 0 (d ng 0 th )

bi u di n quan h Cách bi u di n n y s& c xét n trong ph n sau, khi nói v bi u 0 Hasse c a m t c u trúc th t

V"i m2i ph n t x∈ X, ta nh ngh a l p tương ương ch a x, ký hi u$% , là t$p h p

t t c nh!ng ph n t (thu c X) có quan h R v"i x:$%= { y ∈ X : y R x }

Nh v$y m2i l"p t ơng ơng là m t t$p h p con c a X

T$p h p các l"p t ơng ơng c a quan h t ơng ơng R trên X t o thành m t

"phân ho ch" c a t$p h p X, t c là t$p các l"p t ơng ơng khác nhau cho ta m t h các t$p con c a X r i nhau ôi m t và có ph n h i b ng X

T$p h p các l"p t ơng ơng c a quan h t ơng ơng R trên Xn y (là m t t$p con

c a P(X)) c g i là t p h p thương (c a quan h t ơng ơng R trên X)

Ví d

Quan h 0ng d modulo n trên Z có t$p h p th ơng t ơng ng, c ký hi u là

Z n , g0m n ph n t :Z n = {%& %& % ' ( ( & )%%%%%%%* trong ó +%(k∈Z) là t$p h p t t c nh!ng s

nguyên 0ng d v"i k modulo n

a % nh ngh&a

Cho n là m t s nguyên d ơng Ta nói 2 s nguyên a và b 0ng d modulo n n u các

s d trong phép chia a cho n và chia b cho n b ng nhau Trong tr ng h p n y ta c ng nói

là a 0ng d v"i b modulo n, và vi t:a ≡ b (mod n)

Nh v$y, theo nh ngh a ta có:a ≡ b (mod n) ⇔ a mod n = b mod n

b Các nh lý

• nh lý 1: Cho n là m t s nguyên d ơng, a và b là 2 s nguyên tùy ý Ta có các

phát bi u sau ây là t ơng ơng:

a ≡ b (mod n)

Trang 24

n (a-b) (n chia h t hi u a và b) t0n t i m t s nguyên k sao cho a = b + k.n

• nh lý 2 Cho n là m t s nguyên d ơng Gi s a ≡ b (mod n) và c ≡ d (mod

n) Khi ó ta có :

a ± c ≡ b ± d (mod n) a.c ≡ b.d (mod n)

• H qu* :

N u a ≡ b (mod n) thì k.a ≡ k.b (mod n) v"i m i s nguyên k

N u a ≡ b (mod n) thì ak ≡ bk (mod n) v"i m i s nguyên d ơng k

• nh lý 3 (Fermat) Cho p là m t s nguyên t và a là m t s nguyên không

ph i là b i s c a p Khi ó ta có h th c sau:ap-1≡ 1 (mod p)

III Phép toán s+ h c trên Zn

1 T p h p s t nhiên, t p h p s nguyên

Ta dùng ký hi u N ch# t$p h p các s t nhiên, t c là t$p h p các s nguyên

không âm T$p h p các s nguyên s& c ký hi u là Z

Chúng ta bi t r ng trên các t$p h p N và Z có hai phép toán cơ s : phép c ng (+) và phép nhân (.) th.a m t s tính ch t thông th ng:

• a.(b+c) = a.b + a.c

Trong các tính ch t trên các ký hi u a, b, c là các s t nhiên hay các s nguyên tùy ý

T tính ch t (4), trong t$p h p các s nguyên Z ta có m t phép toán tr c

nh ngh a nh sau : a - b = a + (-b)

Ngoài các tính ch t nêu trên các t$p h p N và Z còn là nh!ng t$p h p có th t

và m c Quan h th t trên N và Z c ký hi u b i ≤ ( c là: "nh hơn ho c

b ng") Ngoài ra chúng ta còn dùng m t s ký hi u so sánh khác r t quen thu c nh : "≥ ",

a % nh lý.(Thu t chia Euclide)

Cho a là m t s nguyên b t k* và b là m t s nguyên khác 0 Khi ó, có duy nh t

2 s nguyên q, r th.a mãn các i u ki n:

(1) a = b.q + r (2) 0 ≤ r < | b |

S q trong nh lý trên c g i là thương s c a phép chia a cho b; và r c

g i là dư s (hay s d ) Th ơng s trong phép chia a cho b th ng c vi t d "i d ng:

a div b, và ký hi u "div" c dùng ch# phép toán chia l y th ơng s D s trong phép chia a cho b c vi t là: a mod b

b Các nh ngh&a v s$ “chia h t”, “chia h t cho”, “ư c s ", "b i s ", "ư c s chung l n nh t"

Trang 25

• Ta nói m t s n

s d trong phé

h t cho s nguyq.b Trong tr nKhi a chia h t c

nguyên a chia h t cho m t s nguyên b (b

hép chia a cho b b ng 0 Nói m t cách kháuyên b (b ≠ 0) khi và ch# khi có m t s ng

h t và B i S Chung Nh% Nh t

c s chung l n nh t dương)

nguyên không 0ng th i b ng 0 M t "c "c s c a a v a là "c s c a b) c g i chung d n y l"n hơn m i "c s chung khchung l"n nh t d c a a và b c c tr ng

b , d’ b, và d’≠ d thì d’ < d

i ta nh ngh a "c s chung l"n nh t c a 2

ãn 2 i u ki n:

so n : Gv Ph m Phúc Th nh

(b ≠ 0) khi và ch# khi hác, s nguyên a chia nguyên q sao cho a =

a 2 s nguyên a và b

Tiêu đề	Chương 1: Cơ sở Logic
Người hướng dẫn	Gv. Phạm Phúc Thịnh
Trường học	Đại Học Quốc Gia Hà Nội
Chuyên ngành	Logic và chuẩn
Thể loại	Giáo trình
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	51
Dung lượng	609,64 KB