BÁO CÁO BÀI TẬP CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ BOOL VÀ HÀM BOOL

mỗi một thành viên bỏ phiếu tán thành hoặc không cho mỗi đề nghị được đưa ra.. Mỗi đề nghị sẽ được thông qua nếu nó nhận được ít nhất 2 phiếu tán thành.Hãy thiết kế một đoạn mạch cho phé

BÁO CÁO BÀI TẬP CHƯƠNG 4

ĐẠI SỐ BOOL VÀ HÀM BOOL

GV: CAO THANH TÌNH

LỚP: MAT04.D21

NHÓM 7

(NGUỒN TỪ NHÓM 4 LỚP MAT04.D11)

Bài 1: Tìm đối ngẫu của x.(y + 0)

Giải:

Đổi chỗ các dấu và + cho nhau, các số 0 và 1 cho nhau trong các biểu thức ta sẽ nhận được các đối ngẫu của chúng Đối ngẫu đó là x + (y.1)

Bài 2: Tìm đối ngẫu của x 1+(y + z)

Đổi chỗ các dấu và + cho nhau, các số 0 và 1 cho nhau trong các biểu thức ta sẽ nhận được các đối ngẫu của chúng Đối ngẫu đó là (x+0).(y.z)

-Tìm xem F(x,y,z)=1 khi nào (điều kiện của x,y,z)

=>dạng nối rời chính tắc của hàm F

*Cách giải 2:

- Biến đổi thành dạng tổng các tích (nhân vào)

- Nếu đơn thức thiếu phần tử a thì ta nhân thêm vào đơn thức đó (a + a) (vì(a + a) =1)

Bài 7:F(x,y,z)= x+y+xz

= xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz

= xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz

Bài 8: F(x,y,z)= x+y+z

= xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz

= xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz

Đ/S: Vậy F(x,y,z) = xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz

Bài 10: F(A,B,C,D)= ABC + BD + AD

Do ở đây có 4 tham số là: A,B,C,D nên sẽ có 16 trường hợp xảy ra => Không nên sử dụng bảng chân trị

c./ F(x,y,z)= xyz + xyz + xyz + xy z

F(w,x,y,z)=wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz

= wxz y + y + wxz y + y + wxyz + z wxy + wy x + x + wxy(z + z)

= wxz+ wxz+ wxyz + wyz + wxy

= wx z + z + wxyz + wyz + wxy

= wx + wxyz + wyz + wxy

e./ F w, x, y, z = wx + wxy + wxy + wxyz

Ta có: F w, x, y, z = wx + wxy + wxy + wxyz

Bài 12: Đưa các biểu thức Boole sau về dạng tổng của các tích:

a./ F(x, y, z, t)= x z(y + t ) + xt y + z + x(yz + y t )

Bài 13: Tìm dạng chính tắc nối rời của các hàm sau:

a./ F(x,y,z,t)=xzt + yzt + xyz + xyz

⟺ F(x, y, z, t) = x y + y zt + x + x yzt + xyz t + t + xyz t + t

⟺ F(x, y, z, t) = xyzt + xyzt + xyzt + xyzt + xyzt + xyzt + xyzt + xyzt

b./ F(x, y, z, t) =x z(y + t ) + xt y + z + x(yz + y t )

⟺ F(x,y,z,t)= x zy + x zt + xy t + xzt + xyz + xy t

⟺F(x,y,z,t)= x zy(t + t ) + x zt (y + y ) + xy t(z + z ) + xzt(y + y ) + xyz (t + t ) + xy t (z + z )

⟺ F(x,y,z,t)=x yzt + x yzt + x yzt + y zt + xy z t + xy z t + xy zt + xyzt + xyz t + xyz t +

xy zt + xy z t

c./ F(x, y, z, t) = x y + xy z + t + z(xt + y t )

⟺ F(x,y,z,t)= x y z + xyz + x y t + xyt + xzt + y zt

⟺ F(x,y,z,t)= x y z (t + t ) + xyz (t + t ) + x y t(z + z ) + xyt(z + z ) + xzt(y + y ) + y zt (x + x )

⟺ F(x,y,z,t)= x y z t + x y z t + xyz t + xyz t + x y zt + x y z t + xyzt + xytz + xyzt + xy zt +

xy zt + x y zt

⟺ F(x,y,z,t)= x y z t + x y z t + xyz t + xyz t + x y zt + x y z t + xyzt + xy zt + xy zt + x y zt

d./ F(x, y, z, t) = x z + xy x + t + t(xy + x y )

⟺F(x,y,z,t)= xy z + xyz + z y t + yzt + xyt + z x t

⟺F(x,y,z,t)= xy z (t + t ) + xyz(t + t ) + z y t (x + x ) + yzt(x + x ) + xyt(z + z ) + z x t(y + y )

⟺F(x,y,z,t)= xy z t + xy z t + xyzt + xyzt + z y t x + xz y t + xyzt + yztx + xytz + xytz +

z x yt + z x ty

⟺F(x,y,z,t)= xy z t + xy z t + xyzt + xyzt + z y t x + yztx + xytz + z x yt + z x ty

G x y z  x y zx y zxyz

( )

= AB + AD + BD (A + D) = ABD + ABD

c./ F(x,y,z)=yz + yx + xz

Ta có:F(x, y, z) = yz + yx + xz

= yz yx (xz) = y + z y + x (x + z)

= xy + yz + xz (x + z)

= xy + xyz + xyz + xz

= xy 1 + z + xz(y + 1)

= xy + xz

Bài 16: Tìm tất cả các hàm BOOL theo 4 biến sau cho:

f (x,y,z, t) = f (y,z,x, t), với mọi x, y, z, t

Để ý ta thấy : x = y, y = z, z = x

Do có tới 3 giá trị đôi một bằng nhau nên chúng có cùng một giá trị (hoặc 1 hoặc 0) và t có giá trị tùy ý

Nên ta có hàm f (x, y, z ,t) = (xyz + x’y’z’)(t + t’) = xyzt + xyzt’ + x’y’z’t + x’y’z’t’

Bài 17:Có bao nhiêu hàm Bool 6 biến lấy giá trị 1 tại các điểm có đúng 2 thành phần có giá

trị 1 (tại các điểm khác hàm Bool có thể nhận giá trị 0 hay 1)

Giải:

Xét bảng chân trị của các hàm Bool có 6 biến Ta thấy bảng này sẽ có 26

dòng, trong đó số dòng có đúng 2 thành phần có giá trị là 1 chính là tổ hợp chập 2 của 6:C62 = 15

Như vậy các thành phần của bộ giá trị tại cột f tương ứng với các dòng có đúng 2 thành phần

có giá trị 1 sẽ phải là 1 Còn lại 26

- 15 = 49 thành phần còn lại của bộ giá trị tại cột f sẽ nhận các giá trị tùy ý của 0, 1

Vậy số trường hợp của bộ giá trị tại cột f là 249 Đây chính là số hàm Bool 6 biến nhận giá trị

1 tại những điểm có đúng 2 biến có giá trị là 1

Bài 18: Tìm khai triển tổng các tích của hàm F(x, y, z) = (x + y) z

d./ F(a, b, c)=(a’+(bc)’)’a’

Ta có: F(a, b, c)=(a’+(bc)’)’a’=(a’’(bc)’’)a’=a(bc)a’=0

e./ F(a, b, c)=abc+abc’+ab’c

Ta có: F(a, b, c)=abc+abc’+ab’c=ab(a+c’) + ab’c =ab(1) + ab’c=a(a+b’c)=a(b+c)

Bài 20:Cho đại số Boole D70= 1,2,5,7,10,14,35,70 là tập hợp các ước dương của 70 Trên

D70 ta trang bị các phép toán như sau:

a+b=LCM(a,b) : BCNN của a và b

a*b=GCD(a, b): UCLN của a và b

a’=70

a

Xét 2 tập con của D70: X= 1, 5, 10, 70 và Y= 1, 2, 35, 70 Xét xem X, Y có phải là các đại

số con của D70hay không?

Ta có X đóng với các phép toán +, * nhưng 5’=14 không thuộc X Còn Y là đóng với +, *, ‘ nên Y là một đại số con của D70

Bài 21: Biến đổi biểu thức sau thành tổng các tích:

F=((a.b)’.c)’.((a’+c).(b’+c’))

Ta có:

F=((a.b)’.c)’.((a’+c).(b’+c’))= ((a.b)’’+c’)((a’+c)’ + (b’+c’)’)=(a.b+c’)(a.c+b.c)

Áp dụng tính chất phân phối, ta có:

F= (a.b+c’)(a.c+b.c) = a.b.a.c’ +a.b.b.c + a.c’.c’ + b.c.c’

= a.b.c’ + a.b.c + a.c’ + 0 = a.c’+a.b.c

Bài 22: Biểu diễn dưới dạng tổng các tích đầy đủ : A = x(y+z’)

Ta có: A=x(y+z’)=xy + xz’

= xy(z+z’)+x(y+y’)z’

=xyz + xyz’ +xyz’ + xy’z’

=xyz+xyz’+xy’z’

Bài 23: Biểu diễn B=x’+y dưới dạng tổng các tích đầy đủ

Ta có: B=x’+y=x’(y’+y) + (x’+x)y =x’y’+x’y+x’y+xy=x’y’+x’y+xy

Bài 24: Biểu diễn C=x+y+z dưới dạng tổng các tích đầy đủ

Ta có: C=x+y+z=x(y+y’)(z+z’) +(x+x’)y(z+z’) + (x+x’)(y+y’)z

= xyz + xy’z + xyz’+ xy’z’ +xyz + x’yz + xyz’+ x’yz’ + xyz + x’yz+ x’yz+ x’y’z

= xyz + xy’z + xyz’+ xy’z’ + x’yz + x’yz’ + x’yz+ x’y’z

Bài 25: Viết dạng đầy đủ của biểu thức: F(x,y,z) = x + y + z

Bài 35: Cực tiểu hóa hàm: F xyzxyzxyz

Bài 40: Cực tiểu hóa hàm: F xyxyzxz yk yz k.

Bài 46:Cực tiểu hàm: F(w,x,y,z) = (x yw z)(w xy z)

Bài 49: Cực tiểu hóa hàm: F x y z k xyzkxy zk xyzkxyzkxyzk

Hàm F theo thứ tự có dạng biểu diễn rút gọn sau:

F = ∑m(0, 13, 9, 15, 11, 14)

Gom ô màu đỏ ta được: x y z k

Gom ô màu xanh dương ta được: xk

Gom ô màu tím ta được: xyz

F x y z k xk xyz

Bài 50:Cực tiểu hóa hàm: F x y z k xyzkxyzkxyzkxyzkx yzk xyzk

Hàm F theo thứ tự có dạng biểu diễn rút gọn sau:

F = ∑m(4, 5, 13, 7, 15, 2, 6)

F xy yk xzk

Bài 51:Cực tiểu hóa hàm:

F xyzk zyzkxyzkxy zkx yzkxyzkxyzkxyzk

Hàm F theo thứ tự có dạng biểu diễn rút gọn sau:

F = ∑m(4, 5, 13, 9, 3, 7, 15, 14)

F xyz xzk xzk xyz

Bài 52: Cực tiểu hóa hàm: F xyxykxyk xyk x y k

Hàm F có thể được viết dưới dạng đầy đủ sau:

F xykxy k xykxy k x yk x y k

F k x

  

Bài 53: Cực tiểu hóa hàm: F xyzk xyzk xy zk xyzk

ĐS: Không tối thiểu được nữa

Bài 67:

F , y, z, t y z t ( y + z t ) ( y + z + t ) ( + y + z t ) ( + y z t ) ( + y z t )

(b) AND : 2 đầu vào đều bằng 1

(i)=>vị trí thứ nhất và cuối => đầu ra là 100001

(ii)=>vị trí thứ 5 và 6 => 0000 1100

(iii)=>vị trí thứ 4 và 9 => 000100001000

Bài 77 :

Xác định đầu ra của mỗi cổng trong hình sau :

X=1101110111 Y=1000010000 Z=0001110101

Y1=AB+BC

Y2=AB+A B +B C=AB+A B +AC

Y3=A B +A B+BC

Bài 81:

Cho 5 đầu vào A,B,C,D và E hãy tìm các chuỗi đặc biệt,cung cấp tất cả các tổ hợp khác nhau

có thể có của các bit đầu vào

Ta có : 𝐿 = 𝐴𝐵 + (𝐴 + 𝐵) + 𝐴 𝐵 = 𝐴𝐵 + 𝐴 𝐵 + 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 + 𝐵

Mạch AND-OR sẽ là

Bài 84:

Một ủy ban gồm 3 thành viên phải qui định các vấn đề của một tổ chức mỗi một thành viên

bỏ phiếu tán thành hoặc không cho mỗi đề nghị được đưa ra Mỗi đề nghị sẽ được thông qua nếu nó nhận được ít nhất 2 phiếu tán thành.Hãy thiết kế một đoạn mạch cho phép xác định được 1 đề nghị có thông qua hay không

Bài 87:

Vẽ sơ đồ mạch thực hiện biểu thức sau:

(X + Y)Z +X Giải:

Bài 88:

Vẽ sơ đồ mạch thực hiện biểu thức sau:

y = AC+ BC + ABC Giải:

Bài 89:

Vẽ sơ đồ mạch thực hiện biểu thức sau:

x= AB+BC

Giải:

)(A A A B D B C A B D B C A D C

B D B A C B A C B A

Bài 94:

Thiết kế một mạch điều khiển bởi 2 cầu dao với điều kiện các đèn được thiết kế sao cho khi

cả 2 cầu dao đều mở hoặc đều tắt thì đèn sáng

Giải:

Mỗi cầu dao xem như là 1 biến x,y: 1 là bật,0 là tắt

Cho F(x,y)=1 khi đèn sáng(khi cả 2 cầu dao cùng bật hoặc cùng tắt) và 0 khi đèn tắt

Ta có bảng chân trị như sau:

Bài 95:

Hãy xác định hàm boole của mạch điện sau:

Giải: f(A,B,C,D) ABDACDA C D

Bài 96: Xây dựng mạch thể hiện các biểu thức sau:

a) x + y x

b) x y + z

Giải a)

b)

Bài 97:

Trong một trận thi đấu võ thuật có 3 trọng tài sẽ cho điểm các đòn đánh được thực hiện trong

một trận đấu.Mỗi trọng tài sẽ có một nút để chấm điểm các đòn đánh.Mỗi đòn sẽ được tính

điểm nếu có từ 2 trọng tài bấm nút trở lên.Mạch điện dùng cho việc chấm điểm này sẽ gồm

có 3 đầu vào tương ứng với 3 nút bấm của các trọng tài.Nếu trọng tài nào bấm nút thì tín hiệu

1 từ đường dây đó sẽ được truyền vào mạch, nếu không bấm thì tín hiệu trên đường dây vẫn

là 0.Đầu ra của mạch sẽ là một tín hiệu nhị phân (0/1) thể hiện việc đòn đánh đó có được tính

điểm hay không.( 0 – không tính điểm, 1 – tính điểm)

Giải Gọi f là hàm Bool thể hiện tín hiệu đầu ra, bảng chân trị của f thoe mô tả trên như sau:

Từ đó, mạch điện được thiết kế như sau:

Bài 98:Xây dựng mạch thể hiện biểu thức:

a) (xyz)x y z

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 𝑧

Ta có:

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧 + 𝑧 + 𝑥𝑦 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 𝑧

Ta có mạch sau:

Bài 100:Đơn giản mạch như hình sau:

Giải

Từ hình trên ta có biểu thức logic cho đầu ra là:

𝑌 = 𝐴 + 𝐵 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐶 Rút gọn biểu thức trên:

Từ (*) ta thành lập được mạch logic mới như sau:

Bài 101:Thiết kế mạch dùng hai công logic thỏa bảng sự thật sau đây:

* Vì ngõ ra bằng 0 chỏ một trường hợp nên ta viết hệ thức logic ở trường hợp này

Y = 0 khi A = 0 và B = 1 nên 𝑌 = 𝐴 𝐵 =>𝑌 = 𝑌 = 𝐴 𝐵 Mạch thực hiện cổng NOT để tạo ra A đảo, tiếp theo là cổng NAND của 𝐴 và B

* Mặt khác ta có thể dựa vào bảng sự thật đề viết hàm logic cho Y và kết quả là:

Giải a) 𝑋 = (𝐴 + 𝐵 )(𝐵𝐶)

Bài 104:Một ngôi nhà có 3 công tắc, người chủ nhà muốn bóng đèn sáng khi cả 3 công tắc

đều hở, hoặc khi công tắc 1 và 2 đóng còn công tắc thứ 3 hở Hãy thiết kế mạch logic thực

hiện sao cho số cổng là ít nhất

Bước 3: Từ bảng chân trị ,ta có biểu thức logic ngõ ra Y  ABCABC

Bước 4: Rút gọn biểu thức logic:

Đến đây thì ta thấy rằng biểu thức logic đã gọn và số cổng logic sử dụng là ít nhất

Bước 5: Mạch logic tương ứng của biểu thức: Y (AB C) là

Bài 105:

Một ủy ban gồm 3 thành viên phải quyết định các vấn đề của một tổ chức Mỗi thành viên bỏ phiếu tán thành hoặc không cho mỗi một đề nghị được đưa ra.Một đề nghị sẽ được thông qua nếu nó nhận được ít nhất hai phiếu tán thành.Hãy thiết kế một mạch cho phép xác định được một đề nghị có được thông qua hay không?

Giải Nếu thành viên bỏ phiếu tán thành thì logic là 1, không tán thành thì logic là 0 Khi đó mạch cần được thiết kế sao cho nó tạo đầu ra bằng 1 từ các đầu vào x, y, z có giá trị 1.Biểu diễn hàm Boole của giá trị đầu ra là xy + yz + zx

Mạch thực hiện hàm trên là:

Bài 106:

Đôi khi các hệ thống đèn cố định được điều khiển bởi nhiều công tắc.Các mạch cần được thiết kế sao cho khi ấn (hoặc gạt) một công tác bất kỳ, hệ thống đèn đang tắt sẽ bật và đang bật sẽ tắt.Hãy thiết kế một mạch thực hiện điều đó khi có hai công tắc

Giải Giả sử công tắt mở thì logic là 1, đóng là 0

Giả sử F(x,y) = 1 khi đèn sáng và F(x,y) = 0 khi đèn tắt

Từ yêu cầu bài toán, ta có bảng chân trị:

Do đó, ta có mạch sau:

Bài 107: Chứng tỏ các mạch sau tương đương:

Giải

Ta có biểu thức logic của từng mạch:

Mạch 1:

𝑋 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 𝑧 Mạch 2:

𝑌 = 𝑥 𝑦 + 𝑧 (1) Biến đổi biểu thức logic của mạch 1:

𝑋 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 𝑧

= 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑧

= 𝑥 + 𝑦 𝑧

= 𝑥 𝑦 + 𝑧 (2)

Từ (1) và (2), suy ra hai mạch đã cho tương đương nhau

Bài 108: Tìm khai triển tổng các tích được biểu diễn bởi các bảng Karnaugh sau:

Bài 109:

Dùng các bảng Karnaugh, tìm khai triển cực tiểu của các hàm ba biến sau:

z y x yz x z y x z y x z

Đáp án: x yz  x z  y z

Bài 110:Rút gọn bằng Quine-McCuskey :

F(A,B,C,D)=(1,2,4,5,6,10,12,13,14) Bước 1:

=>F(x,y,z,t)= x zt  x yt  xy z  xyt

Bài 115: Rút gọn bắng Quine-McCuskey :

z y x yz x z xy xyz z

y x

Stt Chọn Hàng W X Y Z

z wxy ,w x y z 0 - 0 1

z wxy ,wx yz,w x y z,w xyz 0 - - 1

z wxy ,wx yz,w xy z,w x yz - 0 - 1 z

Bài 120: Rút gọn bắng Quine-McCuskey :

F(A,B,C,D,E)=(1,2,5,7,8,9,12,13,15,20,21,24,25,26) Bước 1:

x 1 0 1

xyz 1 1 1

Hàng X Y Z

z y

yz

z y

Stt Chọn Hàng W X Y Z

z y x

w ,w x y z,w x yz,w xyz 0 - - 1

z y x

w ,w x yz,w x y z,w xyz 0 - - 1

z y x

w ,w x yz,w x y z,w x yz - 0 - 1 z

y x

w ,w x y z,w x yz,w x yz - 0 - 1

yz x

w ,w x yz,w x yz,wxyz - - 1 1

yz x

Bài 124:

𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒙𝒛 𝒙 𝒛𝒙 𝒚 𝒛

Bảng kar(f) Các tế bào lớn là:

𝒙

Công thức tối tiểu của F là:

𝒙𝒙𝒛

Bài 126: f(x,y,z,t) =𝑥𝑧 𝑦 𝑡 𝑥 𝑧 𝑡 𝑧(𝑦𝑡𝑥 𝑦 ) = 𝑥𝑦 𝑧𝑥𝑧𝑡 𝑥 𝑧 𝑡 𝑦𝑧𝑡𝑥 𝑦 𝑧

𝑥 𝑦 𝑧 Bảng kar (f)

𝑥𝑧 𝑡 𝑦 𝑧 𝑡

Công thức tối tiểu của f là :

𝒇 = 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦𝑡 𝑥𝑦𝑧  𝑥𝑧 𝑡 (F1)

𝒇 = 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦𝑡 𝑥𝑦𝑧 𝑦 𝑧 𝑡 (F2)