Bài tập Đại số 11 Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác36789

 Nhận xét:  Đồ thị nhận trục tung Oy làm trục đối xứng... Nhận xét:  Đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.. Nhận xét:  Đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.. Vẽ đồ thị hàm

§1: CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A LÝ THUYẾT

1 Hàm số y = f(x) = sinx.

 Tập xác định: D = R

 Tập giá trị: 1, 1  

 Chu kỳ: T = 2

 Hàm số lẻ

 Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 

 Tịnh tiến theo véctơ v  2 k i  ta được đồ thị y = sinx

 Nhận xét:

 Đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

 Hàm số đồng biến trên khoảng 0, và nghịch biến trên

2

2

 

2 Hàm số y = f(x) = cosx.

 Tập xác định: D = R

 Tập giá trị: 1, 1  

 Chu kỳ: T = 2

 Hàm số chẵn

 Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 : 

 Tịnh tiến theo véctơ v  2 k i  ta được đồ thị y = cosx

 Nhận xét:

 Đồ thị nhận trục tung Oy làm trục đối xứng

 Hàm số nghịch biến trên khoảng 0, và nghịch biến trên khoảng

2

2





3 Hàm số y = f(x) = tanx.

 Tập xác định: D = R \ ,

1

3 2



  2 0 2  32  5

2



y = cosx

–1

y

x

2

2

y

1

0

–1

2

2

–1

0

y

y = tanx

1

3 2



 

2

2

2



2



y = sinx

–1

y

x

 Tập giá trị: R.

2

lim

x

y



 

2

x

  

 Chu kỳ: T = 

 Hàm số lẻ

 Bảng biến thiên trên , :

2 2



 

 Tịnh tiến theo véctơ v  k i . ta được đồ thị y = tanx

Nhận xét:

 Đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

 Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định D

4 Hàm số y = f(x) = cotx.

 Tập xác định: D = R\k ,kZ

 Tập giá trị: R

 Giới hạn:



0

       

 tiệm cận đứng: x = 0, x = 

 Chu kỳ: T = 

 Hàm số lẻ

 Bảng biến thiên trên đoạn 0, :

 Tịnh tiến theo véctơ v  k i . ta được đồ thị y = cotx

Nhận xét:

 Đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

 Hàm số luôn giảm trên tập xác định D

B CÁC DẠNG BÀI TẬP:

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số

cos

x

sin cos

x y



d) 2 tan 3 5

cos 6 sin 3

x y

x

2



2



–

+

2





+

–

x

y

2

2



y = cotx

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số

4



Dạng 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác

Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số

sin 4 3sin

sin

y

x



 d) y3sinx2 cosx1

Ví dụ 2: Xác định giá trị của m sao cho:

a) Hàm số y f x( )3 sin 4m xcos 2x là hàm số chẵn

b) Hàm số ( ) cos ( 1) sin 2 là hàm số lẻ

tan 3

x

Dạng 3: Xét chiều biến thiên của hàm số lượng giác

Ví dụ 1: Không sử dụng máy tính, hãy so sánh các giá trị lượng giác sau đây:

24



sin 12



cot 20

sin 5



Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau đây trên đoạn, khoảng chỉ ra:

4 4

y x  

 

Ví dụ 3: Chứng minh rằng:

a) sin 2xcos 2x khi ; b) khi

6 4

 



Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Phương pháp:

- Dựa vào bảng biến thiên của hàm số lượng giác

- Dựa vào tính chất của HSLG (tập GT)

- Dựa vào các BĐT: Cosi, Bunhiacopxki, BĐT về giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 1: Cho hàm số ycos x Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên 1 3;

4 2

Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:

4

y  x 

2

4 cos 3 1

cos 2 cos 3

Dạng 5: Xét tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Phương pháp:

Nhận xét:

- Các hàm số ysin(ax b y ), cos(ax b ) tuần hoàn với chu kì T 2

a





- Các hàm số ytan(ax b y ), cot(ax b ) tuần hoàn với chu kì T

a





Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số sau là tuần hoàn và tìm chu kì của nó: y f x( )sin 2x

Dạng 6: Đồ thị của hàm số lượng giác

1 Vẽ đồ thị hàm số lượng giác:

– Tìm tập xác định D.

– Tìm chu kỳ T0của hàm số

– Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần)

– Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T0 có thể chọn:

0

0,

x  T  x  T2 20,T0

– Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ

– Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo véc tơ v  k T i .0 về bên trái và phải song song với trục hoành Ox (với là véc tơ đơn vị trên trục Ox).i

2 Một số phép biến đổi đồ thị:

a/ Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên

trên trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn vị nếu a < 0 b/ Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành.

c/ Đồ thị ( ) ( ), neáu f(x) 0 được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ nguyên phần

-f(x), neáu f(x) < 0f x



đồ thị y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x( )cos 2x

a) Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn ;

2 2

 

b) Vẽ đồ thị của hàm số đã cho

Ví dụ 2: Cho hàm số y f x( )3sin 2x

a) Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn ;

2 2

 

b) Vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

c) Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (C’) của hàm số y f x( )3 sin 2x

C BÀI TẬP ÔN LUYỆN

Tập xác định của hàm số lượng giác

Bài 1: Các khẳng định sau đây đúng hay sai:

a) Hàm số ytan cotx x có tập xác định là R

b) Hàm số 1 có tập xác định là R

2 sin 4

y

x



 c) Hàm số cos 2 1 xác định với mọi x khác 0

sin

x

Bài 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

cos 2

x

1 sin

x y

x







1 tan

sin

x

5

Bài 3: Tìm tất cả giá trị của m để hàm số y 2mcos 2x có tập xác định là R.

Tính chẵn lẻ, của hàm số lượng giác

Bài 4: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y3sin(x)tan 3x b) 2

2 sin cot 2

sin

x

x

2 sin 1

x y

x





Bài 5: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y 1 sin x 1 sin x b) cos

2 sin 1

x y

x





Bài 6: Cho hàm số y f x( ) sinxcosx sinxcosx Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có:

             

Chiều biến thiên của hàm số lượng giác

Bài 7: Hãy điền các từ đồng biến , nghịch biến vào cột chiều biến thiên

sin

y x

;

3 4

 

cos

;

3 

cot

;

cos 2

0;

2



sin 3

;

6 2

 

Bài 8: So sánh các giá trị lượng giác ( không sử dụng máy tính ):

5

cos 7

sin 14



sin 7





7

tan 12

cot 5

5 cot 3

Bài 9: xét chiều biến thiên của các hàm số sau đây trên khoảng hoặc đoạn chỉ ra:

6 3

 

 

24 12

 

4

; 3





Bài 10: Cho tam giác ABC với ฀A B฀ C฀ Khẳng định nào sau đây đúng:

a) sinAsinBsinC b) cosAcosBcosC

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Bài 11: Tìm GTNN và GTLN của hàm số lượng giác

a) y 3 sin x1 b) ycos 2xcosx

Bài 12: Tìm GTNN của các hàm số:

a) ytanxcotx với 0;

2

x   

 

2

x   

 

Bài 13: Cho hàm số ysin 2xcos 2x

a) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn 3 ;

4 8

 

b) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn ;

2 24

  

Chu kỳ của các hàm số lượng giác

Bài 14: Tìm chu kì của các hàm số:

c) ysin 2xcos 3x d) ysin 2 x

Bài 15: Cho hàm số ( ) sin Chứng minh rằng với mọi x và mọi số

3

x

nguyên k

Đồ thị của hàm số lượng giác

Bài 16:

a) Vẽ đồ thị (C) của hàm số ysinx

b) Suy ra đồ thị (C1) và (C2) của các hàm số y cos 2 ,x ycos 2 x

Bài 17: Từ đồ thị của hàm số ycosx hãy suy ra đồ thị của các hàm số:

4

y x 

1 cos

2

y x

§2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A LÝ THUYẾT:

1 Phương trình sinx = sin

2





b/

arcsin 2

arcsin 2

x a Ñieàu kieän a





c/ sinu  sinv  sinu sin(v)

2

u  v  u   v

e/ sin cos sin sin

2

u   v  u  v 

Các trường hợp đặc biệt:

sinx 0  x k  (kZ)

2

2

2

2 Phương trình cosx = cos

a/ cosx  cos    x  k2 (kZ)

c/ cosu  cosv  cosu cos( v)

2

u  v  u   v

2

u  v  u   v

Các trường hợp đặc biệt:

2

cosx 1  x  k2 (kZ) cosx   1 x   k2 (kZ)

cosx   1 cos x 1 sin x  0 sinx 0  xk  (kZ)

3 Phương trình tanx = tan

a/ tanx  tan   x  k  (kZ)

b/ tanx  a  x  arctanak (kZ)

c/ tanu  tanv  tanu tan(v)

2

u  v  u   v

e/ tan cot tan tan

2

u  v  u   v

Các trường hợp đặc biệt:

4

x    x    k  kZ

4 Phương trình cotx = cot

cotx cot   x  k  (kZ)

cotx  a  x arccotak  (k Z)

Các trường hợp đặc biệt:

2

x   x  k  kZ

4

x    x   k  kZ

5 Một số điều cần chú ý:

a/ Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan, cot, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định

* Phương trình chứa tanx thì điều kiện: ( )

2

x  k  kZ

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: xk  (kZ)

* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( )

2

xk  k Z

* Phương trình có mẫu số:

 sinx 0  x k  (k Z)

2

x   x  k  k Z

2

x   xk  kZ

 cot 0 ( )

2

b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện:

1 Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện

2 Dùng đường tròn lượng giác

3 Giải các phương trình vô định

B CÁC DẠNG BÀI TẬP:

Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

2

2

x 

6

x x  

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

cos xsin (3x15 )o c) tan(2x 3) cot(x 1) 0

Ví dụ 3: Giải phương trình sin 2x 5 cosx0

Dạng 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau với điều kiện đã chỉ ra:

a) 2 sinx1 với 0 x 2 b) cos 3 3 với

2

x     x 

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình sau với điều kiện đã chỉ ra

sin

x

x

 

3cotx  3 cosx0

Dạng 3: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

Ví dụ 1: xác định các giá trị của m phương trình để các phương trình sau có nghiệm

a) 2 sin(3x  5) m 4 b) (m2) cos 2xm

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1: Giải các phương trình sau đây

2

6

x 

   

x

Bài 2: Giải các phương trình sau

a) tan(2x10 ) 1o  b) tan(3x  1) 2

4

x 

   

2 3cot (5x40 ) 1o 

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a) sin 5xsin 3x0 b) cos 2 cos(3 ) 0

3

x x 

Bài 4: Giải các phương trình sau bằng cách sử dụng công thức hạ bậc

2

cos 2

4

x

x 

  

sin 2

x 

  

Bài 5: Gải các phương trình sau đây

a) 2 cos(3sin )x  3 b) sin( cos ) x cos( sin ) x

Tìm nghiệm phương trình lượng giác thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 6: Hãy cho biết số nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng chỉ ra:

a) sin 1 trên khoảng b) trên khoảng

3

2



  3 tanx 1 (0; 2 )

Bài 7: Giải các phương trình sau với điều kiện của nghiệm đã chỉ ra:

a) sin 2x 1 0,    x  b) 2

tan (3x45 ) 1,o  0o  x 120o

Bài 8: Giải các phương trình sau với điều kiện của nghiệm đã chỉ ra:

a) 2 sin 2x 30 với điều kiện cosx0

b) 2 cos 3 5 1 0 với điều kiện

6

Bài 9: Giải các phương trình sau:

4

x  x

2

6

xx  x 

Tìm điều kiện để phương trình lượng giác có nghiệm

Bài 10: Tìm m để mỗi phương trình sau đây có nghiệm:

a) cos(2x 5) 2m1 b) (m1) sinx m 3

Bài toán lượng giác có ý nghĩa thực tế

Bài 11: Một chất điểm M chuyển động tròn đều

theo hướng dương trên một đường tròn cố định

tâm O, bán kính r=25 cm đặt trên mặt phẳng tọa

độ Oxy Biết tốc độ dài của chất điểm là 36km/h

Tại thời điểm t=0, chất điểm ở B

a) Tìm hoành độ của chất điểm tại thời điểm

t (t>0)

b) Xác định thời điểm chất điểm chạy đến

trùng vị trí A trên đường tròn

§3: MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN

A LÝ THUYẾT:

I Phương trình bậc nhất và bậc hai với một hàm số lượng giác

1 Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác:

2 Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác:

2

asin x b x c  t = sinx   1 t 1

a x b x c  t = cosx   1 t 1

2

2

x  k  k Z

2

a x b x c  t = cotx xk  (kZ) Nếu đặt: 2

t x hoặc t x thì điều kiện  t

II Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

1 Dạng: a sinx + b cosx = c (1)

2 Cách giải:

Cách 1:

 Chia hai vế phương trình cho 2 2 ta được:

a b

(1) 

2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

 Đặt: sin 2a 2 , cos 2b 2  0, 2  

phương trình trở thành:

2 2

sin sinx cos cosx c



2 2



 Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm là:

2 2 2

2c 2 1 a b c



 (2)    x   k2 (kZ)

Cách 2:

x

x   k     k 

2

x

x  k   

Đặt: tan , sin 2 2 , cos 1 22 , ta được phương trình bậc hai theo t:



2 (b c t ) 2at  c b 0 (3)

Vì x  k2   b c 0, nên (3) cĩ nghiệm khi:

Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta cĩ phương trình: tan 0

2

x t



Ghi chú:

1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận

2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình cĩ nghiệm: 2 2 2

a b c

3/ Bất đẳng thức B.C.S:

III Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx

1 Dạng: a sin 2 x + b sinx.cosx + c cos 2 x = d (1)

2 Cách giải:

Cách 1:

 Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?

2

 Khi cosx 0, chia hai vế phương trình (1) cho 2 ta được:

cos x 0

a x b x c  d  x

 Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:

2 (a d t ) b t   c d 0

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

1 cos 2 sin 2 1 cos 2

(đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và .sin 2 ( ).cos 2 2

cos2x)

IV Phương trình đối xứng và nửa đối xứng đối với sinx và cosx

Dạng 1: a.(sinx  cosx) + b.sinx.cosx + c = 0

4

  

1 2 sin cos sin cos ( 1)

2

 Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t Giải phương trình này tìm t thỏa t  2 Suy ra x

Lưu ý dấu:

Dạng 2: a.|sinx  cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

4

   2

1

2

 Tương tự dạng trên Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

B CÁC DẠNG BÀI TẬP:

Dạng 1: Phương trình bậc nhất và bậc hai với một hàm số lượng giác

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

3 cot(3x30 ) 1 0 

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) 6 cos2x5 cosx 4 0 b) 2

2 tan 3x 3 tan 3x 3 0

Ví dụ 3: Giải các phương trình:

cos

x

x



2 sin 1

x x







Ví dụ 4: Giải các phương trình

9 cos 5sin 5 cos 4

0

1 2 cos

x

3

3 tan 3 cos x  x

Dạng 2: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 3 sinxcosx2 b) 5sinx12 cosx12

c) sin 3x 2 cos 2xcos(3 )x d) 3 sin 3xcos 2x 3 sin 2xcos 3x

Ví dụ 2: Giải phương trình

a) sin 7 sin 4x x 3 sin 3x 1 cos 7 cos 4x x

b) 3 sin 2xcos 2x 3 sin 2xcos 2x 2 0

Dạng 3: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 2 sin2 x5sin cosx x3cos2x0 b) 2

3 sin 2x 2 2 sin x

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) 2 sin2 x3sin cosx x3cos2x1 b) 3(cosxsin ) sinx xcos 2xsin 2x1

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

sin x5sin x.cos x6 cos x0 3

4 sin xsinxcosx

Ví dụ 4: Cho phương trình 2 Tìm m để phương trình có hai

3sin x2(m1) sin cosx x  m 2 0 nghiệm x x1, 2 với 1 ; 0 và

2

x    

2

x   

 

Dạng 4: Một số dạng phương trình lượng giác khác

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) cos 22 xcos 32 xsin 42 xsin 52 x b) 2

tanxcotx2 cos 2x

Ví dụ 2: Giải các phương trình

a) sinx cos 2x0 b) sinxcosx 3sin 2x1

Dạng 5: Tìm điều kiện để phương trình lượng giác chứa tham số có nghiệm

Phương pháp:

Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để các phương trình sau đây có nghiệm

sin 2 sin cos ( 2 3) cos 3

Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

a) 3 tan2x2 tanx  2 m 0 b) 6 6

cos xsin x m cos 2x

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Bài 1: Giải các phương trình:

a) 2 cosx 1 0 b) 2 sin 2x 1 0

c) 3 tan( 60 )o 3 d)

6

x 

Bài 2: Giải các phương trình

cos

x

x



cos

x x





2 cos 3

x

x

Bài 3: Giải các phương trình sau

a) 2 sin2 xsinx 1 0 b) 3cos 2x2 cosx 8 0

Bài 4: Giải các phương trình sau đây:

cos

x

x

1 sin 2

x



Bài 5: Giải các phương trình sau đây

a) cos (2 x3 ) 4 sin(4     x) 4 0 b) 1 cos(3 ) sin 7 0

x

Bài 6: Tìm m nguyên dương để phương trình 2 2 có nghiệm

4 3sin 6 cos

2

x

2

x xm x

a) Giải phương trình khi 3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm

4

m

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Bài 8: Giải các phương trình sau:

a) 3sinx4 cosx5 b) 3 sinxcosx1

c) sinx 3 cosx 3 d) sin(x15 ) cos(o  x15 )o  6

Bài 9: Giải các phương trình sau

a) sin 4xsin 6x 3(cos 6xcos 4 )x b) ( 32) sin 2xcos 2x 1 0 c) sin( 45 ) cos(o 45 )o 2 sin 4 d)

x  x  x cos 7xsin 5x 3(cos 5xsin 7 )x

Bài 10: tìm nghiệm của các phương trình sau đây thỏa mãn điều kiện chỉ ra

a) cos 3 2 3 cos 2 0 với điều kiện



b) sin 3 cos 3 5 2 với điều kiện

Bài 11: Giải các phương trình sau đây

a) 2 cos 2 x 3 sin 2xsinx 3 cosx

b) 3 sin 2x2 cos2 x2 2 2 cos 2 x

Bài 12: Tìm m để phương trình 3sinxmcosx 2 m có nghiệm

Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx

Bài 13: Giải các phương trình sau:

2 sin cosx x5 cos x 4 0

cos 2x3sin 2 cos 2x x 1 0

Bài 14: Giải phương trình 3 sin cos 1

cos

x

sin x2(1m) sin cosx x(m2) cos x m 1 a) Giải phương trình khi m=-2

b) Tìm m để phương trình có nghiệm