BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH đề tài Sử dụng nội suy Lagrange giải các bài tập trong Exercise Set 3.1 (trang 114) 1, 3, 5, 11, 15, 18, 20

Một trong lý dokhiếnchúngquantrọnglàvìchúngxấpxỉmột cáchkhôngđồngđềucáchàmliêntục.Tứcvới mọi hàm đãbiết, được xác định và liên tục trên một khoảng đóng, sẽ có một đa thứcgần nhấtvớihàmcầ

ĐẠI HỌCQUỐCGIATPHCM TRƯỜNGĐẠIHỌCBÁCHKHOA

BÁOCÁOBÀITẬPLỚNP HƯƠNGPHÁP TÍNH

ĐỀTÀI6

GVHD: Nguyễn Đình DươngNhóm:L11–06

TPHCM,7 tháng5năm2021.

BÀITẬPLỚNPHƯƠNGPHÁPTÍNH NHÓM6

tập trong Exercise Set 3.1 (trang114):1,3,5,11,15,18,20.

11 PhanNhấtThuận 2014656 Viết powerpoint

12 VõQuốc Trình 2012295 Viết powerpoint

Mục lục

I TÓMTẮTNỘIDUNGLÝTHUYẾT 5

1 Phép nộisuyvàđathứcLarange 5

2 Định lýxấpxỉWeierstrass 5

3 Phép nộisuyđathứcLarange 7

4 Saisốcủaphépnộisuy 8

II BÀITẬPTHỰCHÀNH 9

1 Bài1 9

2.B à i 3 12

3.B à i 5 14

4.B à i 11 20

5.B à i 15 21

6.B à i 18 22

III TÀILIỆUTHAMKHẢO 24

I TÓMTẮTNỘIDUNGLÝTHUYẾTPhé

pNội Suyvà XấpXỉĐaThức

1 Phép nộisuy và đa thứcLarange

Cácđathứcđạisốlàmộttrongnhữnglớphàmphổbiếnvàhữuíchnhất,ánhxạtậpcácsốthựcthànhchínhnó,là tậpcáchàmcódạng:

𝑷𝒏(𝒙)=𝒂𝒏𝒙𝒏

+⋯+𝒂𝟏𝒙 +𝒂𝟎,Trong đó n là số nguyên không âm và𝒂𝟎, … , 𝒂𝒏là các số thức không ổi Một trong lýđổi Một trong lý

dokhiếnchúngquantrọnglàvìchúngxấpxỉmột cáchkhôngđồngđềucáchàmliêntục.Tứcvới mọi hàm đãbiết, được xác định và liên tục trên một khoảng đóng, sẽ có một đa thứcgần nhấtvớihàmcần xấp xỉ.Điềunàyđượcthểhiệnrõqua định lýxấpxỉWeierstrass

mà đa thức được sử dụng để làm hàmxấpxỉliêntục

Các đa thức Tay-lor được giới thiệu trong phần 1.1, mà chúng được miêu tả là mộttrongnhững khối kiến tạo cho phương pháp tính Với sự nổi bật này, bạn có thể mongđợi rằngphép nội suy đa thức sẽ sử dụng các hàm này Tuy nhiên, đây không phải là nhưvậy ĐathứcTay-lorhoàntoànxácđịnhvớimộtphươngtrìnhởmộtđiểmnhấtđịnh,nhưngnóchỉ

tậpchungđộchínhxácxoayquanhđiểmđó.Mộthàmxấpxỉđathứctốtcầnphảiđộchínhxác

nhậtđịnhtạimọiđiểmxác định,và đa thứcTay-lorkhôngthựchiệnđượcnhưvậy

Ví dụ:Chúngta khaitriểnTay-lorbậc6tại𝒙𝟎=𝟎cho𝒇(𝒙)=𝒆𝒙.Vìđạo hàmcủa𝒇(𝒙)

thường có hiệu quả hơn ta cần dụng các phương pháp mà ta có thể bao hàmthông tin củanhiều điểm thay vì một điểm như đa thức Taylor Ứng dụng chính của đathức Taylor trong phân tích số không phải là để xấp xỉ mà là để tính đạo hàm và ướclượngsaisố.

3 Phép nội suyđathức Lagrange

Vấn đề của việc tính toán một đa thức bậc một đi qua hai điểm rời rạc (x0, y0) và (x1,

y1)cũng giống như việc xấp xỉ một hàm số f với f(x0) = y0và f(x1) = y1bằng cách sử dụngnội suy đa thức bậc một tại các điểm được cho trước Sử dụng đa thức này để tính xấp xỉmộtgiátrị

trongmộtkhoảngđược chobởicácđiểmnútđược gọi lànộisuy đa thức

TađịnhnghĩahàmđathứcmộisuyLagrangenhưsau:

𝑳𝟎(𝒙)=𝒙 − 𝒙

(𝒏+𝟏)! 𝟎 𝟏 𝒏

4 Sai số của phép nội suy:

Giảsử𝑷𝒏(𝒙)làđathứcnộisuycủa𝒇(𝒙),tứclà𝑷𝒏(𝒙𝒊)=𝒇 (𝒙𝒊)(i=0,1,2…n)

II BÀITẬPTHỰCHÀNH

1 Bài 1:Cho các giá trị x 0 =0, x 1 =0,6 và x 2 =0.9 Hãy xây dựng đa thức nội suy chocác hàm dướiđâyvới bậc một vàbậc hai đểxấpxỉf(0,45),tìmsai sốtuyệtđối a.f ( x ) = cosx c f(x)=ln(x+1)

P2(x)=1- 0,0324534x- 0,431089x2

Giátrịgầnđúngcủaf(0,45)=cos(0,45)=0,900447P1(0

,45)=1-0,291107.0,45=0,869002

P2(0,45)=1 - 0 , 0 3 2 4 5 3 4 0 , 4 5 - 0 , 4 3 1 0 8 9 0 , 4 5 2=0 , 8 9 8 1Vậysai số tuyệt đối là:Δaa1=|0,900447-0,869002 |=0,031445

ĐOẠNCODE

2 Bài3:Dùngđịnh lí3.3 đểgiảitìm biênsai số cho bài 1.

Ta cócôngthứcbiênsai sốtheođịnh lí3.3:

𝒇(𝒏+𝟏)

(𝝃(𝒙))

(𝒏+𝟏)! (𝒙−𝒙𝟎)(𝒙− 𝒙𝟏)…(𝒙−𝒙𝒏)Với𝐟(𝐧+𝟏)

𝒇′(𝒙)=− 𝐬 𝐢𝐧 ( 𝒙 )

𝒇′′(𝒙)=− 𝐜𝐨𝐬(𝒙)

𝒇′′(𝟎)=−𝐜𝐨𝐬 (𝟎)= −𝟏 và𝒇′′(𝟎.𝟔)=𝐜𝐨𝐬 (𝟎.𝟔)=𝟎 𝟖𝟐𝟓𝟑𝟒VậyGTLNcủa𝒇′′(𝒙)vớixthuộc[0,0.6]là𝒇′′(𝟎)=−𝐜𝐨𝐬 (𝟎)=−𝟏

𝒇(𝟑)(𝒙)=𝐬𝐢𝐧(𝒙)

𝒇(𝟑)(𝟎)=𝐬𝐢𝐧 (𝟎)=𝟎 và𝒇(𝟑)(𝟎.𝟗)=𝐬𝐢𝐧 (𝟎.𝟗)=𝟎 𝟕𝟖𝟑𝟑𝟑VậyGTLNcủa𝒇(𝟑)(𝒙)vớixthuộc[0,0.9]là𝒇(𝟑)(𝟎.𝟗)=𝐬𝐢𝐧 (𝟎.𝟗)=𝟎 𝟕𝟖𝟑𝟑𝟑Từđó,ta cóbiên saisố chophép nội suyLagrange bậc1là:

𝒇′′(𝝃) 𝟏

|

𝟐 ! ∗𝑚𝟏(𝒙)|= | −𝟐!∗(−𝟎 𝟎𝟔𝟕𝟓)|≤ 𝟎 𝟎𝟑𝟑𝟕𝟓Biênsaisốcho phépnộisuyLagrange bậc2là:

| ∗𝑚 (𝒙)|=|𝟒 ∗(−𝟎.𝟎𝟔𝟕𝟓)|≤𝟎.𝟎𝟎𝟖𝟒𝟒𝟐! 𝟏

𝟐!

Biênsaisốcho phépnộisuyLagrange bậc2là:

𝒇(𝟑)(𝝃)

|𝟑! ∗ 𝑚𝟐(𝒙)|=|

𝟎.𝟑𝟕𝟓

∗𝟎 𝟎𝟑𝟎𝟑𝟕𝟓|≤ 𝟎 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟗𝟖𝟑!

𝒇(𝟑)(𝝃) 𝟐

|𝟑! ∗𝑚𝟐(𝒙)|= |𝟑!∗𝟎 𝟎𝟑𝟎𝟑𝟕𝟓|≤ 𝟎 𝟎𝟏𝟎𝟏𝟑d

Biênsaisốcho phépnộisuyLagrange bậc2là:

𝒇(𝟑)(𝝃)

−𝟏𝟗.𝟒 𝟖 𝟐 𝟒 𝟑

|𝟑! ∗𝑚𝟐(𝒙)|=|

∗𝟎.𝟎𝟑𝟎𝟑𝟕𝟓|≤𝟎.𝟎𝟗𝟖𝟔𝟑𝟑!

3 Bài 5:Dùng đa thức nội suy Lagrange đến bậc 1, bậc 2 và bậc 3 để tính xấp xỉcácbàisau:

Theo công thức nội suy Lagrange, ta

+𝟏𝟖.𝟖𝟐𝟎𝟗𝟏∗ (𝒙−𝟖,𝟏)(𝒙−𝟖.𝟑)(𝒙−𝟖.𝟔)

(𝟖.𝟕−𝟖.𝟏)(𝟖.𝟕−𝟖.𝟑)(𝟖.𝟕−𝟖.𝟔)

x -0.25 -0.5

f(x) -0.02475000 0.33493750

4 Bài 11.Sử dụng các giá trị được làm tròn đến chữ số thứ 4 sau dấu phẩy bêndưới để xấp xỉ đa thức Lagrange bậc ba tại f(1,09) Với hàm được tính gầnđúng là f(x) = log 10 (tanx) Hãy dùng kiến thức phần này để tìm phạm vi của saisố trongphéptínhgầnđúngnày

5 Bài15:Sửdụng sốliệuởcâu11,dùng Maple đểgiải đếnlầnlặpthứ10:

…(𝒙−𝟏𝟗𝟓𝟎 )(𝒙−𝟏𝟗𝟔𝟎 )… (𝒙−𝟏𝟗𝟗𝟎)

𝒍𝟓(𝒙)=

( 𝟐𝟎𝟎𝟎− 𝟏 𝟗 𝟓 𝟎 )(𝟐𝟎𝟎𝟎− 𝟏 𝟗 𝟔 𝟎 )…(𝟐𝟎𝟎𝟎− 𝟏𝟗𝟗𝟎)Khiđótasẽnộisuyđathức Larange:

396000 người vậy sai sốkhálớn (chênhlệchkhoảng29 760 000 người)

TínhxấpxỉdânsốcủaUStrongnăm1975tađược215042000người.Vì1975khágần sovớicácmốcnộisuy (1970và1980)nênsai sốkhônglớn

TínhxấpxỉdânsốcủaUStrongnăm2020tađược513442000người.Vì2020kháxasovới

mốcnộisuy (2000)nênsaisốlớn

Vậy khi ta tính xấp xỉ gần mốc nội suy thì sai số không lớn, có thể tin tưởngđược;cònkhi ta tínhxấp xỉxamốcnộisuy thì saisốlớn,khôngtintưởngđược

III TÀILIỆUTHAMKHẢO

1 Numerical Analysis, 9th ed (hcmut.edu.vn)

2 Sách giáo trình Phương Pháp Tính ĐHQGTPHCM – Đại học BáchKhoa

3 Khóa học: Phương pháp tính (MT1009)_NguyễnĐình Dương (DH_H K202) (hcmut.edu.vn)

4 Oxford | Định nghĩatrongTừ điển tiếng Anh Cambridge