File đáp án 9 10 p2

1 Câu 81 Cho các số phức 1z , 2z , 3z thỏa mãn 1 2 3 1z z z= = = Tính giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 1 2 2 3 3 1P z z z z z z= − + − + − A 9P = B 10P = C 8P = D 12P = Lời giải Chọn A Gọi ( )1 1;[.]

Câu 81 Cho các số phức z , 1 z , 2 z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3 = Tính giá trị lớn nhất của biểu thức 1

Gọi A x y ; ( 1; 1) B x( 2;y2); C x y( 3; 3)là các điểm lần lượt biễu diễn các số phức z ; 1 z ; 2 z 3

vì z1 = z2 = z3 = suy ra 1 A; B ; C thuộc đường tròn tâm O bán kính bằng 1

= −  ( với G là trọng tâm tam giác ABC )

Dấu “ = “ xảy ra khi G  , hay ABC O  đều

Câu 82 Cho số phức z thỏa mãn 3 z + + z 2 z −  z 12.Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

của z − + 4 3 i Giá trị của M m bằng:

3 x + 2 y = 6. Điểm biểu diễn z thỏa mãn (2) là đường tròn tâm I ( 4; 3 − ) bán kính R =  P 0

P đạt min, max khi bán kính đường tròn đạt min, max khi xét sự tương giao với miền hình thoi

3 2

+ Điểm giao xa nhất là đỉnh A ( ) 0;3của hình thoi Do đó M = 42+ 62 = 2 13.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 17

Câu 86 (Mã 111-2021-Lần 2) Xét các số phức z và w thay đổi thỏa mãn z = w = và 3 z w− =3 2

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= + + + − +z 1 i w 2 5i bằng:

Lời giải

Chọn B

Cho

13

Gọi M và N là các điểm biểu diễn số phức z và w

Theo giả thiết

Dấu “= ” xảy ra khi

z iw

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

6 8 6 8

w 2

i z

8 6w

5 5

i z

Câu 94 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2021) Xét các số phức z, w thỏa mãn z−2w = và 4

3z+ = Khi 5w 5 z−3w i+ đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính giá trị z w− + ? 1

Vậy để tồn tại m thỏa mãn z−  thì bất phương trình 1 k ( ) 2

f m k

với k  phải có nghiệm 0

Dựa vào bảng biến thiên ta có

Suy ra tam giác OAB vuông tại A

Gọi C(0; 5− là điểm biểu diễn cho số phức ) −5i

Ta có:

2 2

Vậy giá trị lớn nhất của P = 19+ 5

Câu 97 (Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần 2 - 2021) Xét các số phức z thỏa mãn z − = Gọi M và m1 2

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= + +z 2 2 3− Tổng M m z + bằng

Câu 98 (Sở Nam Định - 2021) Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M a b là điểm biểu diễn của số phức ( ); z

thỏa mãn z− +(4 4i) =4 Gọi A B C, , lần lượt là điểm biểu diễn của số phức

Đường thẳng AB đi qua B( )3;1 và nhận AB =( )5; 4 làm vtcp có phương trình: 3 5

  đạt giá trị nhỏ nhất khi M nằm giữa A B,

Do đó tọa độ M là nghiệm của hệ:

17 53541

t t

z i+  và w= +( )i 1 z+2z+ là số thuần ảo Biết rằng tồn tại số phức 1 z= +a bi a b,( ,  )

được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất, với A( )1;4 Tính a b−

Ta có w= +( )i 1 z+2z+ là số thuần ảo nên ta có phương trình: 1 3a b+ + =1 0 Vậy tập hợp các

C 5 2 2−

D 5

Lời giải

Chọn A

Gọi A B, lần lượt là các điểm biểu diễn số phức ,z w , khi đó với | z w+ =| 2 ta luôn có OAB

là tam giác vuông tại O với OA OB =0, khi đó ta luôn có z w là số thuần ảo tức

Câu 101 (Chuyên Vinh – 2022) Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z z = +|z z |

Xét các số phức z z1, 2 sao cho S z1−z2 = Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

30 10 5 cos 30 8 5 sin 6 5 cos

2 60 8 5 sin 16 5 cos 2 60 8 5 sin 2cos

Suy ra T max =10 2 khi:

30 10 5 cos 30 8 5 sin 6 5 cos

Câu 103 (Đại học Hồng Đức – 2022) Cho số phức z thoả mãn iz z + +(1 2 )i z− −(1 2 )i z− =4i 0 Giá trị

lớn nhất của P= + +z 1 2 i + + − gần số nào nhất sau đây? z 4 i

Câu 105 (THPT Nguyễn Tất Thành-Đh-SP-HN-2022) Cho hai số phức z và w thay đổi thỏa mãn các

điều kiện z+ + = và 1 i z w− −3 4i = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 P= − − − z w 1 i

A. minP =3 2 1− B. minP =3 2 C. minP =5 2 D. minP =5 2 1−

Suy ra MM MM1 2=IM2− R2

Vì vậy w z−  −1 w z1 =IM2−R2

Do đó, w z −  − đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi IM đạt giá trị nhỏ nhất Lúc đó, M là 1 w z1hình chiếu vuông góc của I trên  và M = −( 2;3)

Gọi H là trung điểm của M M , ta có 1 2 IH= IM12−M H1 2 = 32−( 5)2 = 2

Vì bốn điểm M M M H thẳng hàng nên 1, 2, , MIH vuông tại H suy ra

Câu 107 (THPT Phù Cừ - Hưng Yên - 2022) Cho số phức z và số phức w= −(z i z)( + +i) 2z−3i thỏa

mãn w i− 2022 −i2023 − = Giá trị lớn nhất của biểu thức w 1 0 2 2

| 3 | | 1 3 |

T = − +z i + z + − i bằng 5

Câu 108 (Sở Bắc Giang 2022) Giả sử z z là hai trong các số phức z thỏa mãn 1; 2 (z−6)(8−i z ) là số

thực Biết rằng z1−z2 = Giá trị nhỏ nhất của 6 z1+3z2 bằng

Đặt z x yi= + với x y ; Gọi A B; lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z z 1; 2

Xét điểm M thỏa mãn MA+3MB= 0 MO OA+ +3MO+3OB= 0 OA+3OB=4OM

Gọi H là trung điểm AB, khi đó: HI2 =R2−HB2 =16,

Lời giải

Chọn B

Gọi A là điểm biểu diễn của z z− A thuộc trục Oy với 4−  y A 4

Gọi B là điểm biểu diễn của 2w B thuộc đường tròn tâm I(6; 4− ; bán kính ) R = 2

Khi đó T=2AB

Ta có hình vẽ:

Ta có Tmax =2ABmax =2(IA R+ )=24 với A( )0; 4

Câu 110 (Sở Hà Tĩnh 2022) Cho số phức z= +x yi x y,( ,  ) thỏa mãn z+ − +z 2 3z− +z 4i 6 và

+) Biểu thức P=2x+3y+5 đạt giá trị lớn nhất là M =Pmax =7 khi x=4,y= −2(tại C)

Biểu thức P=2x+3y+5 đạt giá trị nhỏ nhất là min 13

Câu 111 (Chuyên Lam Sơn 2022) Cho M N P, , lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z z z thỏa 1, 2, 3

mãn điều kiện 5z1+ − =9 3i 5 z1,z2− =2 z2− −3 i z, 3+ +1 z3− = Khi 3 4 M N P, , không

thẳng hàng, giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi p của tam giác MNP là

Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng AB 1

Tập hợp điểm N biểu diễn số phức z là đường thẳng BC 2

z + + z − = PA PC+ =AC  Tập hợp điểm P biểu diễn số phức z là đoạn AC 3

x y

C B

x + 3y + 8 = 0

x - 3y - 4 = 0

x + 3y + 2 = 0 1

Khi đó MN+NP+PM =PM1 +MN+NP2 PP1 2

Ta thấy PBP1 2=PBA ABC CBP1 + + =PBA ABC PBC+ + =2ABC

Gọi D thuộc đường tròn ( ) : (C x−1)2+y2 = sao cho BCD4  đều và EMD sao cho

MB=ME Khi đó ta suy ra D(3;0) và nhận định như sau:

Tứ giác DBMC nội tiếp nên DCB=DMB =  , khi đó ta suy ra BME60  đều

Lại có tiếp DBE CBE+ =  =60 CBE CBM+ DBE=CBM

Xét ABE và CBM có: DB=BC DBE; =CBM BDM; =BCM, suy ra

Câu 113 (Thị xã Quảng Trị 2022) Gọi S là tập hợp tất cả các số phức w=2z − + sao cho số phức z 5 i

thỏa mãn (z− +3 i z)( − − =3 i) 36 Xét các số phức w w1, 2 thỏa mãn S w1−w2 = Giá trị lớn 2nhất của P= w1−5i2− w2−5i2 bằng

Tiếp đến xét các điểm A w( ) ( )1 ,B w thuộc đường tròn 2 ( )C sao cho w1−w2 = AB= , cùng với 2tọa độ điểm C(0;5), và gọi E là trung điểm AB , khi đó ta có:

1

2 2 2

A  Từ hình vẽ trên ta kết luận C

232

4

P= −z z + −z z =MA MB+ =MA +MB A B =

Câu 115 (THPT Quảng Xương 1 – Thanh Hóa 2022) Cho số phức z có phần thực không âm, phần ảo

không dương, đồng thời thỏa mãn |z+ +  −2 i| |z 3 |i và z z( − + − −2 i) 4i 1 là số phức có phần

ảo không dương Khi số phức w= +z 3zi có phần ảo nhỏ nhất thì modun của w bằng

Tiếp đến ta có số phức w= +z 3zi= +(a 3 ) (b + +b 3 )a i có phần ảo nhỏ nhất tức b+3a nhỏ nhất

Dễ dàng vẽ hình nhận thấy được b+3a nhỏ nhất khi ( ; )a b =(0; 2)− tức w= − − 6 2i

Từ đó ta suy ra |w =| 2 10

Câu 116 (Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng 2022) Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho

|z+ − + − −1 i| |z 3 4 | 5i = Xét các số phức z z thuộc S thỏa mãn 1, 2 z1−z2 = , giá trị lớn nhất 2của P= z1−5i2 − z2−5i2 bằng

được phương trình sau: cos cos 4sin( ) 0 2sin sin 4cos 0

Từ đó ta suy ra với hệ thức trên ta có được A C B, , thẳng hàng Khi đó ta có hình vẽ như sau:

Ta suy ra |z w− |max=ABmax =2 42− =12 2 15

Câu 118 (Chuyên KHTN 2022) Cho số phức z thỏa mãn | | 1z = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Khi đó điểm M chạy trên đường tròn tâm O , bán kính R = Đặt 1 A( 1;0), (0;1)− B , ta suy ra

M C=CO R+ = + nên suy ra

22

Từ đó ta suy ra:

Ta gọi A A lần lượt là điểm đối xứng của A qua 1, 2 d d1, 2 Khi đó ta có:

P= z −z + − +z z − = AM+MN+NA=A M+MN+NA  A A Dấu bằng xảy ra khi

0 0

Câu 122 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định 2022) Cho các số phức z và w thỏa mãn

10

w

z z

w i+ = − + +  − + + w i w i + =

Dấu " "= xảy ra khi ( ) ( )

12

112

3 1

2 2

z k

Vậy giá trị lớn nhất của w i+ là 3 2

Gọi ( )C là đường tròn đối xứng của 1 ( )C qua đường thẳng 1 

Đường thẳng I I  qua 1 1 I và vuông góc  có phương trình là: 1 x+3y−10 0=

Giao điểm của I I  và  có tọa độ là 14 121 1

Câu 125 (Chuyên Thái Bình 2022) Cho số phức z thỏa mãn z+ +z 2 z− = Gọi z 8 M m, lần lượt là

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = − − Giá trị của M m z 3 3i + bằng

CD với C(2;m D) (, −m;0)

Ta có phương trình đường thẳng d là (m+2)x my+ − = 2 0

Suy ra A B, là giao của đường tròn ( )C và đường thẳng d

Điều kiện để d cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt là

I AB= AI +IB =R =

T = + =i MA AI −  R T −  T (với )

Ta thấy MA nhỏ nhất khi M =IA( )C và M nằm giữa I và A

12

R =

(0; 1)

( ) ( )

z w

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( )C tâm I −( 1;1), bán kính R = 2

Gọi A B, ( )C là hai điểm biểu diễn các số phức z , 1 z 2

Theo giả thiết z1−z2 = 3AB= 3 Gọi M −( 6;0) biểu diễn số phức z = − 3 6

Dấu " "= xảy ra khi MI =k BA, (k 0) Vậy giá trị lớn nhất của P =2 78

Câu 129 (Sở Bình Phước 2022) Cho số phức z thoả mãn z− −3 4i = 5 Gọi M và m lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

Gọi A B, lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức z z1, 2 Khi đó AB= z1−z2

Độ dài AB lớn nhất khi AB là đường kính của đường tròn ( )C  −z1 z2 = AB= 18

Ta có I là trung điểm của AB nên có 2 2 2 ( )

w 2022

t t

=

+

2 2

w 1011 2

24

Vậy maxP =6 2 khi IA M M cùng hướng , 1 2

Câu 134 (Sở Vĩnh Phúc 2022) Gọi M N P, , lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z z z thỏa 1, ,2 3

mãn điều kiện 5z1+ −9 3i = 5z1 , z2− =2 z2− − , 3 i z3+ +1 z3− = Khi 3 4 M N P, , là ba

đỉnh của một tam giác thì giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác MNP bằng

Ta có: z3+ +1 z3− =3 4 PA+PB=AB nên P thuộc đoạn AB

Gọi E F lần lượt là điểm đối xứng của , P qua d d 1, 2

Ta có: CE=CP=CF, MP=ME, NP=NF

Chu vi tam giác MNP là: MP NP MN+ + =ME+NF+MNEF

Do tam giác CEF cân tại C( )3;0 và ECF=2ACB

Câu 135 (THPT Đồng Lộc - Hà Tĩnh 2022) Cho hai số phức z z là hai trong các số phức thoả mãn 1, 2

(z i+ ) (z+3i)− là số ảo, biết 21 z1−z2 = Giá trị lớn nhất của biểu thức 8 P= z1+3z2+2022i

A. minP =2 2 B. minP =5 2 C. minP =2 5 D minP = 5

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng : 2x− − =y 2 0

Gọi A(0; 1− biểu diễn số phức z) = − và i B( )0;3 biểu diễn số phức z= 3i

Thì P= + + − =z i z 3i MA MB+ nên Pmin (MA MB+ )min

Do A và B nằm cùng 1 phía đối với đường thẳng 

Gọi A a b( ); đối xứng với A qua 

 trung điểm H của đoạn AA nằm trên  và AA vuông góc với đường thẳng 

a b

MA MB+ =MA+MBBA= nên Pmin =2 5 khi M B A, , thẳng hàng

Câu 137 (Sở Lai Châu 2022) Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 |z− −3 2 | |i = −z 1|,z1−z2 =2 2 và số

phức w thỏa mãn |w− − =2 4 | 1i Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= z2− − +2 3i z1− bằng w

Câu 138 (Sở Lai Châu 2022) Cho số phức z thỏa mãn (z+ −1 i z)( + + =1 i) 5 và P= −|z 2 |i 2 − +|z 1|2

Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng

Khi đó ta suy ra F max khi CEmin

Vậy CEmin =|EI− =R| | 2 9 | 9− = − 2Fmax =166 4(9− − 2)2= −64,176 −64

Câu 140 (Sở Sơn La 2022) Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1+ +3 2i = và 1 z2+ − = Xét các số 2 i 1

phức z= +a bi a b, ( ,  ) thỏa mãn 2a b− = Khi biểu thức 0 T = − + −z z1 z 2z2 đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị biểu thức P=a2+b2 bằng

A 4

B 9

C 5.

D 10

Lời giải

Gọi M M M lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức 1, 2, z1, 2 ,z z trên hệ trục tọa độ Oxy Khi 2

đó, điểm M thuộc đường tròn 1 ( )C tâm 1 I − −1( 3; 2), bán kính R =1 1; điểm M thuộc đường 2

( )C tròn tâm 2 I −2( 4; 2), bán kính R =2 2; điểm M thuộc đường thẳng d: 2x− =y 0

Khi đó bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = − + −z z1 z 2z2 trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của P=MM1+MM2

min MM +MM =min MM +MM vói M3( )C3

Gọi A B, lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng I I với 2 3 ( ) ( )C2 , C (Quan sát hình vẽ) 3

Khi đó với mọi điểm M2( )C2 ,M3( )C3 ,M ta có d MM2 +MM3 AB, dấu "=" xảy ra khi

Câu 141 (Chuyên Hùng Vương – Gia Lai 2022) Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho z không

phải là số thực và số phức 2

2

z w

z

=+ là số thực Xét các số phức z z1, 2 thỏa mãn S z1−z2 =2 Giá trị nhỏ nhất của P= z1−3i2+ z2−3i2 bằng

Gọi z1 = +x1 y i1 và z2 = +x2 y i2 điểm biểu diễn z và 1 z lần lượt là 2 A x y và ( 1; 1) B x y( 2; 2)

Dấu " = " xảy ra khi I K O, , thẳng hàng  = − và z1 1 i z2 = − + 1 i

Vậy: MinP =10 khi z1= − và 1 i z2 = − + 1 i

Câu 142 (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2022) Xét các số phức z thỏa | z− +1 2 | 2 5i = và số phức

w thỏa mãn (5 10 )+ i w= −(3 4 )i z−25i Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 143 (Sở Nghệ An 2022) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z+ +3 6 | |i = − −z 2 5 |i và số phức z có 1

phần thực bằng phần ảo Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z12+ −z z1 là

Gọi ( )d là tiếp tuyến tiếp xúc với ( )P và song song với ( )d với ( )d : 5x− + = y C 0

Khi đó gọi A x y là điểm tiếp xúc đó, ta suy ra 0( 0; 0) ( )

Từ ( )1 và ( )2 suy ra điểm A nằm trên đường tròn tâm I − −1( 6; 10) và bán kính R =1 4; điểm

B nằm trên đường tròn tâm I2( )6;3 và bán kính R =2 12

z i z

=

− có phần ảo bằng

22

Câu 146 (Sở Bình Thuận 2022) Cho các số phức ,z w thỏa mãn |z i− =| 1,| | |z = w| và zw là số thuần ảo

với phần ào dương Giá trị nhỏ nhất của |w− −4 4 |i bằng

A 29

B 6

Suy ra điền M z( ) thuộc đường tròn ( )C tâm I(0;1), bán kính R = 1

Mà zw là số thuần ảo với phần ảo dương nên ta có: 0

có được OM ⊥ON

Trường hợp 1: N w( ) là ành của M qua phép quay tâm O và góc quay 90 ngược chiều kim đồng hồ, khi đó ta suy ra N w( )( )C1 tâm I1(1;0), bán kính R = 1 1

Với A(4; 4), suy ra: |w− −4 4 |i =NAI A R1 − 1= − = 5 1 4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 8 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức |w− −4 4 |i bằng 4

Câu 147 (Sở Hậu Giang 2022) Cho hai số phức w; z thỏa mãn 3 5

5

w i+ = và 5w= +(2 i)(z− Giá 4)trị lớn nhất của biểu thức P= − − + − −z 1 2i z 5 2i bằng

Suy ra M x y thuộc đường tròn ( ); ( ) ( ) (2 )2

Gọi K là 1 giao điểm của đường tròn ( )C sao cho I nằm giữa H và K

Mặt khác, MH KH với mọi M( )C nên 2 2 ( )2 2

Gọi điểm biểu diễn của z1, 2− z2 lần lượt là M N A, ; (−3;1 ,) (B 4; 6 ,− ) (I − − 4; 4)

Ta có MA MB+ =7 2 , AB=7 2 nên M nằm trên đoạn AB

Phương trình đường thẳng AB x: + + =y 2 0 Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng AB ,

suy ra phương trình đường thẳng IH x: − =y 0

Khi đó H − −( 1; 1) Ta dễ thấy HA HB ngược hướng tức là H nằm trên đoạn AB ,

Khi đó giá trị nhỏ nhất của MN là IH − =1 3 2 1− Vậy a b c+ + = 4

Câu 149 (Sở Cần Thơ 2022) Cho hai số phức ,z w thỏa mãn w i− = và 2 z+ =2 i w Gọi M m, lần lượt

là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z Giá trị của bằng

Câu 151 (THPT Ngũ Hành Sơn - Đà Nẵng 2022) Gọi z , 1 z là hai trong các số phức thỏa mãn 2

(z−6 8) ( +zi) là số thực Biết rằng z1−z2 = , giá trị nhỏ nhất của 4 z1+3z2 bằng