File đáp án 9 10 p2

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 Dạng 2 Cực trị 1 Một số bất đẳng thức cơ bản Kết quả 1 Trong một tam giác, cạnh[.]

Trang 1

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Điện thoại: 0946798489

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

Dạng 2 Cực trị

1 Một số bất đẳng thức cơ bản

Kết quả 1 Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn thì lớn hơn

Kết quả 2 Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường

thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất Như trong hình vẽ ta luôn có AM AH

Kết quả 3 Với ba điểm A B C, , bất kì ta luôn có bất đẳng thức ABBCAC

Tổng quát hơn ta có bất đẳng thức của đường gấp khúc: Với n điểm A A1, 2, A nta luôn có

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xy

Kết quả 5 Với hai véc tơ a b ,

ta luôn có a b  a b

   

Đẳng thức xảy ra khi akb k, 



2 Một số bài toán thường gặp

Bài toán 1 Cho điểm A cố định và điểm Mdi động trên hình  H (  H là đường thẳng, mặt phẳng) Tìm

giá trị nhỏ nhất của AM

Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của Alên hình  H Khi đó, trong tam giác AHM

Vuông tại Mta có AM AH

Đẳng thức xảy ra khi MH Do đó AM nhỏ nhất khi Mlà hình chiếu của A lên  H

Bài toán 2 Cho điểm A và mặt cầu  S có tâm I, bán kính R, Mlà điểm di động trên  S Tìm giá trị

Vậy minAM|AIR|, maxAM RAI

Bài toán 3 Cho măt phẳng ( )P và hai điểm phân biệt A B, Tìm điể M thuộc ( )P sao cho

Trang 2

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( )P

- TH 2: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( )P Gọi A đối xứng với A qua ( )P Khi đó

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( )P

- TH 2: Nếu A và B nằm khác phía so với ( )P Gọi A'đối xứng với Aqua  P , Khi đó

|AMBM| A M BM A B

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( )P

Bài toán 4 Viết phương trinh măt phẳng ( )P di qua A và cách B một khoảng lớn nhất

Lời giải Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng ( ),P khi đó

d( , ( ))B P BH BA

Do đó  P là mặt phẳng đi qua Avuông góc với AB

Bài toán 5 Cho các số thực dương  , và ba điểm A B, , C Viết phương trình măt phẳng

Trang 3

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

d( , ( )) d , ( )

Đến đây ta chuyển về trường hợp trên

So sánh các kết quả ở trên ta chọn kết quả lớn nhất

Bài toán 6 Trong không gian cho n điểm A A1, 2,,A n và diểm A Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và tổng khoảng cách từ các điểm A i i( 1,n ) lớn nhất

- Trong n điểm trên có m điểm nằm về một phía và k điểm nằm về phía khác (m k n ) Khi đó, gọi G1

là trọng tâm của m điểm, G là trọng tâm của k điểm 2 G đối xứng với 3 G qua 1 A Khi dó

md , ( ) d , ( )

Đến đây ta chuyển về bài toán trên

Bài toán 7.Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua đường thẳng  và cách Amột khoảng lớn nhất

Lời giải Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng ( )P và đường thẳng  Khi đó

d( , ( ))A P AHAK

Do đó ( )P là mặt phẳng đi qua K và vuông góc vói AK

Bài toán 8 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A A1, 2,,A n Xét véc tơ

w MA M A  M A

Trong đó  1; 2 nlà các số thực cho trước thỏa mãn 12 n0 Tìm điểm

M thuôc măt phẳng ( )P sao cho |w|

M P nên điểm M cần tìm là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( )P

Bài toán 9 Trong không gian Oxy z, cho các diểm A A1, 2,,A n Xét biểu thức:

Trang 4

Vì 1GA122GA22n GA n2 không đổi nên

• với 12n 0 thì T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất

• với 12n 0 thì T đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất

Mà M( )P nên MG nhỏ nhất khi điểm M là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( )P

Bài toán 10 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng ( )P cắt nhau Viết phương trình của mặt phẳng ( )Q chứa d và tạo với mặt phẳng ( )P một góc nhỏ nhất

Lời giải Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( )P và lấy điểm Md M, I Gọi H K,

lầ lượt là hình chiếu của M lên ( )P và giao tuyến  của ( )P và ( )Q

  Khảo sát f t( ) ta tìm được max của f t( )

Bài toán 11 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d chéo nhau Viết phương trinh mặt phẳng ( )P chứa d và tạo với d một góc lớn nhất

Lời giải Trên đường thẳng d , lấy điểm M và dựng đường thẳng  đi qua M song song với d Khi đó góc giữa  và ( )P chính là góc giữa d và ( )P

Trên đường thẳng , lấy điểm A Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên ( )P và d, là góc giữa

 và ( )P

Khi đó AMH và cos HM KM

Trang 5

Suy ra ( )P là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (AMK) Do dó ( )P đi qua M và nhận

  Khảo sát f t( ) ta tìm được max của f t( )

Dạng 2.1 Cực trị liên quan đến bán kính, diện tích, chu vi, thể tích

Câu 1 (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A3; 2; 6 ,  B0;1; 0 và mặt cầu   S : x12y22z3225 Mặt phẳng  P :axbycz20 đi qua A B, và cắt  S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất Tính T a b c 

Lời giải Chọn A

5



10



Trang 6

Câu 2 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Mặt phẳng  P đi qua điểm M1;1;1 cắt các tia Ox , Oy,

Oz lần lượt tại A a ;0;0, B0; ; 0b , C0;0;c sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất Khi đó 

Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A  2;0;0 , M  1;1;1  Mặt phẳng   P thay đổi qua

AM và cắt các tia Oy , Oz lần lượt tại B , C Khi mặt phẳng  P thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt

giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn B

Vậy minS ABC 4 6, đạt được khi b c 4

Trang 7

Câu 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x12y22z32 9, điểm

( ) :S x1  y2  z3 27 Gọi   là mặt phẳng đi qua 2 điểm A0; 0; 4 ,B2; 0; 0 và cắt

 S theo giao tuyến là đường tròn  C sao cho khối nón có đỉnh là tâm của  S , là hình tròn  C có thể

tích lớn nhất Biết mặt phẳng   có phương trình dạng ax by   z c 0, khi đó a b c  bằng:

Lời giải Chọn D

Trang 8

2 2

55

b b

+ Tới đây ta có thể Thử các trường hợp đáp án

Hoặc ta làm tự luận như sau:

Đặt

2

2 55

b t b

Trang 9

CD  và A C D, , thẳng hàng Gọi S S1, 2 lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD Khi

đó tổng S1S2 có giá trị bằng bao nhiêu?

Trang 10

Gọi H1 là hình chiếu của B trên mặt phẳng  P khi đó 1    

xy z  và các điểm A0;1;1 ; B1; 0; 0 ( A và B nằm trong mặt phẳng  P ) và mặt cầu

  S : x22y12z22 4 CD là đường kính thay đổi của  S sao cho CD song song với mặt phẳng  P và bốn điểm , , , A B C D tạo thành một tứ diện Giá trị lớn nhất của tứ diện đó là

Lời giải Chọn C

Trang 11

Câu 9 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có điểm A1;1;1 , B2; 0;2 ,

xy z  Mặt phẳng mặt phẳng B C D   song song với mặt phẳng

BCDvà đi qua điểmB Vì 3 3 3 3

Trang 12

suy ra bảng biến thiên của hàm số y f x  là

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: x     9 b 9 a 6 T1

Do đó minSABC 2 6 khi a  1 Khi đó ta có C  1;1; 2   a b 0

Câu 12 (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz mặt phẳng ,  P

đi qua điểm M1; 2;1 cắt các tia Ox Oy Oz lần lượt tại các điểm , ,, , A B C ( , , A B C không trùng với gốc O) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất Mặt phẳng  P đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A N0; 2; 2 B M0; 2;1 C P2; 0; 0 D Q2; 0; 1 

Lời giải Chọn A

Gọi   P cắt các tia Ox Oy Oz lần lượt tại các điểm , , A a  ;0;0 ;   B 0; ;0 ; b   C 0;0;c   a b c , ,  0 

Ta có   : x y z 1

P

a  b  c 

Trang 13

Câu 13 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho mặt phẳng  P

đi qua điểm M9;1;1 cắt các tia Ox Oy Oz, , tại A B C, , (A B C, , không trùng với gốc tọa độ ) Thể tích tứ diện

OABC đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

làm véctơ pháp tuyến Do đó, mặt phẳng   có phương trình là

Trang 14

a x a b y b c z c    2 2 2

0

axbycz a b c   axbycz 3 0Suy ra: 3

;0;0

A a

3 0; ;0

B b

3 0;0;

V S

OH

( ) :P xy z 0 và mặt cầu ( ) :S x2(y1)2(z2)2 1 Xét một điểm Mthay đổi trên mặt phẳng ( )P Gọi khối nón ( )N có đỉnh là điểm Mvà có đường tròn đáy là tập hợp các tiếp điểm vẽ từ Mđến mặt cầu

( )S Khi ( )N có thể tích nhỏ nhất, mặt phẳng chứa đường tròn đáy của ( )N có phương trình dạng

0

x ay bz c    Tính a b c 

 Cắt bởi mặt phẳng đi qua tâm I(0;1; 2)và điểm M ta được thiết diện như sau:

Khi đó ( )N có bán kính đáy là 2

AB

RHA

và đường cao hMH

Dễ thấy khi M càng gần I thì ( )N có R h; càng nhỏ hay thể tích nhỏ nhất khi IM ngắn nhất,

tức là M là hình chiếu vuông góc của I lên ( )P

A

Trang 15

IH IM IA  IH    IM

Suy ra

13

IH  IM

 

và

1 2 5( ; ; )

Trang 16

3 30

( ;( )) 3 32

22

AF d A P AG

354

AB

Cách 2

Mặt phẳng trung trực đoạn AB có phương trình là ( ) : 5Q  x y 2z 1 0

Gọi I là tâm mặt cầu Khi đó I     P  Q

Tọa độ điểm Ithỏa mãn hệ 5 2 1 0

Khi đó 2 2  2 2  2  2

R IA  t t  t  t   Vậy minR  35

Câu 17 (Sở Lào Cai - 2021) Trong không gian Oxyz cho hai điểm (3; 2; 0);, A  B( 1; 2; 4). Xét trụ ( )T nội tiếp mặt cầu đường kính AB và có trục nằm trên đường thẳng AB Thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất thì chứa đường tròn đáy đi qua điểm nào dưới đây?

A C0; 1; 2 3    B C0; 1; 2 3   C C1; 0; 2 3   D C  1; 0; 2 3 

Ta có: AB ( 4; 4; 4)

Bán kính mặt cầu 1 1 ( 4)2 42 42 2 3

Gọi (1; 0; 2)O là tâm của mặt cầu

Gọi h là chiều cao của trụ, r là bán kính đáy của trụ

Ta có:

2

( )4

Trang 17

Câu 18 (Đề Tham Khảo 2021) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2;1;3 và B6;5;5 Xét khối nón  N có đỉnh A, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB Khi  N có thể tích lớn nhất thì

mặt phẳng chứa đường tròn đáy của  N có phương trình dạng 2x by cz  d0 Giá trị của b c d bằng

(Nhờ vẽ hình giúp, xin cảm ơn)

Mặt cầu đường kính AB có tâm và bán kính là I 4;3; 4 , R 3

Gọi I là tâm mặt cầu và H là tâm đường tròn đáy của hình nón Ta có

Mặt phẳng chứa đường tròn đáy của khối nón đi qua H, nhận AB

là một vecto pháp tuyến nên

có phương trình là 2x2y z 21 0 Vậy b c d  18

Câu 19 (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2021) Trong không gian cho hai điểm I2;3;3và J4; 1;1  Xét khối trụ  T có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính IJ và có hai tâm nằm trên đường thẳng IJ Khi có thể tích  T lớn nhất thì hai mặt phẳng chứa hai đường tròn đáy của  T có phương trình

dạng x by cz  d10 và x by cz  d2 0 Giá trị của d12d22 bằng:

Gọi H K, lần lượt là tâm của hai đường tròn đáy của hình trụ

Trang 18

Không mất tính tổng quát gọi d1 1 2 3;d2  1 2 3d12d22 26

Câu 20 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A a ; 0; 0 , B0; ; 0 , C 0; 0;b   c với 

4, 5, 6

a b c và mặt cầu  S có bán kính bằng 3 10

2 ngoại tiếp tứ diện O ABC Khi tổng

OA OB OC đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng  đi qua tâm I của mặt cầu  S và song song với mặt

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O ABC là

Trang 19

2 2

I 

  Mặt phẳng  song song với mặt phẳng OAB  Oxy:z0  :z e 0

Câu 21 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm C1; 2;11 , H( 1; 2; 1)  , hình nón N có đường cao

CH h và bán kính đáy là R 3 2 Gọi M là điểm trên đoạn CH,  C là thiết diện của mặt phẳng

 P vuông góc với trục CH tại M của hình nón N Gọi N  là khối nón có đỉnh  H đáy là  C Khi thể

tích khối nón N  lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp nón  N  có tọa độ tâm  I a b c ; , , bán kính là d Giá trị ab c d bằng

Đặt HM  x, 0xh Gọi I R r, , lần lượt là tâm và bán kính đường tròn đáy của nón ( )N , bán kính đường tròn  C Khi đó ta có CH h12 là chiều cao của ( ),N R 3 2

.3

3

R h x

x h

13

R

h x x h



Trang 20

Ta có Xét hàm số    

2

2 2

13

1

33

Câu 22 Trong hệ trụcOxyz, cho hai mặt cầu   S1 : x12y32z2249 và

  S2 : x102y92z22400 và mặt phẳng  P : 4x3ymz22 Có bao nhiêu số nguyên 0

m để mp (P) cắt hai mặt cầu    S1 , S2 theo giao tuyến là hai đường tròn không có tiếp tuyến chung?

Trang 21

Mặt cầu  S có tâm 1 I1; 3; 2 , bán kính R 1 7; mặt cầu  S2 có tâm J10;9; 2, bán kính

2 20

R  Ta có IJ9;12;0

, IJ 15 Mặt phẳng  P : 4x3ymz22 có vec tơ pháp tuyến 0 nP4; 3; m

Do IJ n   P 0

nên IJ song song hoặc chứa trong (P)

Bán kính đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu    S1 , S2 là 2  7 20 15 28

r

J I

Trang 22

x

   Khoảng cách từ điểm E1;1;1 tới mặt phẳng  P là     2 2 2

11

12

Mặt cầu  S có tâm I1; 2; 1  và bán kính R  3

Trang 23

Xét khối nón  N có đỉnh I , bán kính đáy r và chiều cao h ( h là khoảng cách từ tâm I đến mặt

phẳng chứa đường tròn đáy) có thể tích là

Khảo sát hàm f h 3h h 3 trên khoảng 0; 3 ta được V N max khi h  1

Bài toán quy về lập phương trình mặt phẳng  P đi qua 2 điểm A,B và cách điểm I một khoảng

Mặt cầu đường kính AB có tâm I2; 2; 2  và bán kính bằng 3

Gọi x, 0 x3 là bán kính đáy của  T , khi đó  T có chiều cao bằng h2 9x2, do đó thể tích của  T bằng

Tiêu đề	Dạng 2. Cực trị
Tác giả	Nguyễn Bảo Vương
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Tài liệu ôn thi
Năm xuất bản	2023

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	1,01 MB