File đáp án 9 10 p1

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9 10 ĐIỂM Dạng 1 Bài toán liên qu[.]

Trang 1

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Điện thoại: 0946798489

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Dạng 1 Bài toán liên quan đến mặt cầu – mặt phẳng – đường thẳng

Câu 1 (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A4;6; 2 và B2; 2;0  và mặt phẳng  P :x  y z 0 Xét đường thẳng d thay đổi thuộc  P và đi qua B , gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định Tính bán kính R

của đường tròn đó

Lời giải Chọn D

Gọi I là trung điểm của AB I3;2;1

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Câu 3 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   2 2 2

Trang 3

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Câu 5 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   S : x22y32z4214 và mặt phẳng

   :x3y2z 5 0 Biết đường thẳng  nằm trong    , cắt trục Ox và tiếp xúc với  S Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của ?

Trang 4

Câu 7 (Chuyên Thái Bình 2019) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;1;1 , B2;2;1

và mặt phẳng  P :xy2z Mặt cầu 0  S thay đổi qua , A B và tiếp xúc với  P tại H Biết H chạy

trên 1 đường tròn cố định Tìm bán kính của đường tròn đó

Gọi K là giao điểm của AB và  P  K   1; 1;1

Có Mặt cầu  S tiếp xúc với  P tại H

 HK là tiếp tuyến của  S

 KH2KA KB  12KH 2 3

không đổi

 Biết H chạy trên 1 đường tròn bán kính 2 3 không đổi

Câu 8 (Chuyên Lam Sơn 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu

S x y z  x y z  và mặt phẳng    : 4x3y12z100 Lập phương trình mặt phẳng    thỏa mãn đồng thời các điều kiện: Tiếp xúc với   S ; song song với    và cắt trục Oz ở điểm

có cao độ dương

A 4 x  3 y  12 z  78 0  B 4 x  3 y  12 z  26 0 

C 4 x  3 y  12 z  78 0  D 4 x  3 y  12 z  26 0 

Lời giải Chọn C

Trang 5

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

Ba điểm A, B , C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA, MB,

MC là tiếp tuyến của mặt cầu Biết rằng mặt phẳng  ABC  đi qua điểm D  1;1;2  Tổng T x02y02z02

bằng

A 30 B 26 C 20 D 21

Lời giải Chọn B

* MA, MB , MC là tiếp tuyến của mặt cầu MOABC

 ABC  đi qua D  1;1; 2  có véc tơ pháp tuyến OM x y z 0; 0; 0

có phương trình dạng:

x x y y z z 

* MA là tiếp tuyến của mặt cầu tại A MOA vuông tại A  OH OM  OA2  R2  9

Gọi H là hình chiếu của O lên  ABC   OH OM   HM , ta có:

Trang 6

 Hai mặt phẳng    P , P chứa ' d và tiếp xúc với ( ) S tại T, T' Tìm tọa

độ trung điểm Hcủa TT'

Mặt cầu  S có tâm I1; 0; 1 , bán kính R 1

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u d 1;1; 1 

Gọi K là hình chiếu của I trên d, ta có K t; 2  t; t IKt1; 2  t; t 1

Câu 11 Trong không gian Oxyz, cho điểm E2;1;3, mặt phẳng  P : 2x2y z  3 0 và mặt cầu

  S : x32y22z5236 Gọi  là đường thẳng đi qua E, nằm trong  P và cắt  S tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất Phương trình của  là

Mặt cầu   S có tâm I  3;2;5  và bán kính R6

Trang 7

IE R điểm E nằm trong mặt cầu  S

Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng   P , A và B là hai giao điểm của  với   S Khi đó, AB nhỏ nhất  ABOE , mà ABIH nên ABHIE ABIE

Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm cầu I  3;1;0 lên d , từ đó ta tìm được H  3;0; 1   Thấy

IH R  nên d cắt ( )S Vậy mặt phẳng cần tìm nhận IH 0; 1; 1  



làm VTPT nên pt mặt phẳng là yz 1 0

Câu 13 (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho

điểmE1;1;1, mặt phẳng  P :x3y5z 3 0 và mặt cầu   2 2 2

S x y z  Gọi  là đường thẳng qua E, nằm trong mặt phẳng  P và cắt  S tại 2 điểm phân biệt A B , sao cho AB 2 Phương trình đường thẳng  là

A

1 221

I

Trang 8

Xét IAHvuông tại HIH  IA2AH2  4 1  3

Mặt khác ta có IE1;1;1IE 3IH 

H EIE 

Đường thẳng  đi qua E1;1;1; vuông góc với IE và chứa trong  P nên:

Véctơ chỉ phương của :nn P;IE  8; 4; 4

.sin2

R sinBIC1 90BIC  IBC vuông cân tại I BCIC 2 R 22 6

Gọi J là trung điểm của BC Ta có IJ BC và 6

2

 BC 

IJ  2

AIJ vuông tại  J AI IJ , kết hợp thêm với  1 và  2 ta có IJ  AI  AJ  A là

trung điểm của BC và IABC

 P có vectơ pháp tuyến   1;1;1

P

n có giá vuông góc với 

Trang 9

Gọi I là tâm của mặt cầu cần lập Vì Id nên giả sử I t t t ; ;  Có IK     t; t; 2 t

Thiết diện của mặt cầu và mặt phẳng   P là đường tròn tâm K nên ta có IK    P Suy ra IK

và n  0;0;1

cùng phương Do đó tồn tại số thực k để

.0

0.0

Vậy mặt cầu cần tìm có phương trình: x2y2z29

Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   P : x     y z 3 0 và hai điểm

 1;1;1 

M , N     3; 3; 3  Mặt cầu   S đi qua M, N và tiếp xúc với mặt phẳng   P tại điểm Q Biết rằng

Q luôn thuộc một đường tròn cố định Tìm bán kính của đường tròn đó

Trang 10

Vậy Q luôn thuộc đường tròn tâm I bán kính R 6

Câu 17 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

Cho các phát biểu sau đây:

I Đường thẳng d cắt mặt cầu  S tại 2 điểm phân biệt

II Mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu  S

III Mặt phẳng  P và mặt cầu  S không có điểm chung

IV Đường thẳng d cắt mặt phẳng  P tại một điểm

Số phát biểu đúng là:

Lời giải Chọn D

Trang 11

Xét hệ phương trình

 2

22

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng  và mặt phẳng (P)

Suy ra H là trung điểm của đoạn AB nên AH = 2d I ,  IH  IA2AH2  5 và

B A

P

Trang 12

Do IK  P nên phương trình tham số đường thẳng

Gọi ;A B là hai điểm thuộc lần lượt 1và2 sao cho ABlà đoạn thẳng vuông góc chung giữa 2

đường Gọi M là trung điểm AB Dễ có mặt cầu tâm M bán kính

Trang 13

Câu 20 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai

đường thẳng 1

2:4

Viết phương trình mặt cầu   S có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc

với cả hai đường thẳng d1 và d2

Để phương trình mặt cầu   S có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng 1

d và d2 khi và chỉ khi:

Tâm mặt cầu   S nằm trên đoạn thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng d1 và d2, đồng thời

là trung điểm của đoạn thẳng vuông góc chung

Gọi điểm M  2 ; ;4 t t  thuộc d1; gọi điểm N(3t t'; '; 0) thuộc d2 với MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2

M N



 



Gọi điểm I là tâm mặt cầu   S , do đó điểm I là trung điểm MN

 2;1;2 

I

 RIM IN 2 Suy ra mặt cầu   S : x22 y12 z22 4

Câu 21 (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho mặt cầu ,

Trang 14

Mặt cầu   S có tâm I  1;2; 3   và bán kính 2 2  2

R      Gọi   C là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng  ABC  và mặt cầu   S

Đặt MAMBMCx khi đó ABx BC; x 2;CAx 3 do đó tam giác ABC vuông tại B nên trung điểm H của AC là tâm đường tròn   C và H I M thẳng hàng , ,

Câu 22 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho

điểm M  3;3; 3  thuộc mặt phẳng   : 2x2y z 15 và mặt cầu 0

  S : x22y32z52100 Đường thẳng  qua M , nằm trên mặt phẳng   cắt  S tại , A B

sao cho độ dài AB lớn nhất Viết phương trình đường thẳng 

73

x y z

A

I

C

Trang 15

Đường thẳng M H đi qua M  3;3; 3  và có VTCP MH  1; 4; 6

Gọi d là trục của  ABC, ta có ABC:xy   z 2 0

Do  ABC đều nên d đi qua trọng tâm 2; 2; 2

32:

323

D

C

M

B I

G

Trang 16

Câu 24 (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian Oxyz, cho  P :2xy2z  , 1 0

0;0;4 , 3;1; 2

A B Một mặt cầu  S luôn đi qua A B , và tiếp xúc với  P tại C Biết rằng, C luôn thuộc

một đường tròn cố định bán kính r Tính bán kính rcủa đường tròn đó

A Đáp án khác B

4

2 2446513

Ta có AB3;1; 2 

là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB

Phương trình tham số của đường thẳng AB là

710

T

TB TA

TA TB

A TB

Trang 17

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Câu 25 (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S ABCD với S  1; 1;6  

, A  1;2;3 

, B  3;1;2 

, C  4;2;3 

, D  2;3;4 

Gọi I là tâm mặt cầu   S

ngoại tiếp hình chóp Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng  SAD 

nên tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Gọi M là trung điểm của AC Ta có: 5; 2;3

Phương trình tham số của đường thẳng d là:

5223

nên suy ra SA   ABCD 

Gọi N là trung điểm của SA, ta có: 1; ;1 9

Trang 18

Câu 26 Trong không gian Oxyz , xét số thực m  0;1  và hai mặt phẳng    : 2 x y   2 z  10 0  và

Gọi I a b c  ; ;  là tâm mặt cầu

Theo giả thiết ta có R  d I  ,      d I  ,    

Mà    

 22

11

,

11

1111

Trang 19

Câu 27 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt

phẳng   P : x  2 y  2 z   3 0 và mặt cầu   S tâm I  5; 3;5  , bán kính R 2 5 Từ một điểm A thuộc

mặt phẳng   P kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu   S tại B Tính OA biết AB  4

A OA  11 B OA 5 C OA 3 D OA  6

Lời giải Chọn A

IA IB AB  R AB    d I P  A là hình chiếu của I lên (P)

Đường thẳng IA đi qua I  5; 3;5   có VTCP u n( )P 1; 2; 2 

Ba điểm A, B , C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA, MB , MC là tiếp tuyến của

mặt cầu Biết rằng mặt phẳng ABC đi qua  D1;1; 2 Tổng Tx02y02z02 bằng

Lời giải Chọn B

Mặt cầu  S có tâm O0; 0; 0 và bán kính R Gọi M1t0;1 2 ; 2 3 t0  t0d

Gỉa sử T x y z ; ;    S là một tiếp điểm của tiếp tuyến MT với mặt cầu  S Khi đó

Trang 20

Câu 29 (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho hai điểm

0; 0; 3 ,  2; 0;1

A B  và mặt phẳng   : 2xy2z  Hỏi có bao nhiêu điểm 8 0 C trên mặt phẳng

  sao cho tam giác A B Cđều?

và điểm M1;10; 0dnên phương trình tham số của d là:

110

Do phương trình  * vô nghiệm nên không tồn tại điểm Cthỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 30 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x2y2z2 9

và điểm M x y  0; ; 0 z0thuộc đường thẳng

1: 1 2

Ba điểm ,A , B C phân biệt cùng thuộc mặt cầu

sao cho MA , MB , MC là tiếp tuyến của mặt cầu Biết rằng mặt phẳng  ABC  đi qua D  1; 1; 2  Tổng

Suy ra tọa độ ,A B, C thỏa mãn hệ:

Trang 21

61

1 16

 P :x     Gọi d  , y z 2 0   lần lượt là hình chiếu của d và  lên mặt phẳng  P Gọi M a b c là  ; ; 

giao điểm của hai đường thẳng d  và  Biểu thức ab c bằng

Lời giải

Do d  là hình chiếu của d lên mặt phẳng  P khi đó d  là giao tuyến của mặt phẳng  P và

mặt phẳng   chứa d và vuông góc với mặt phẳng  P

Trang 22

 một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng   là n  u n d, P  3;2; 1 

  

Phương trình mặt phẳng   đi qua A  2;0; 2 và có một vec tơ pháp tuyến n    3; 2; 1 

là

3x2y  z 4 0

Do  là hình chiếu của  lên mặt phẳng  P khi đó  là giao tuyến của mặt phẳng  P và

mặt phẳng   chứa  và vuông góc với mặt phẳng  P

 một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng   là n  u n, P0; 2; 2  

  

Phương trình mặt phẳng   đi qua B3;1; 4 và có một vec tơ pháp tuyến n  0; 2; 2  

Câu 33 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d

là giao tuyến của hai mặt phẳng    : x my z    2 m   1 0 và    : mx   y mz m    2 0 Gọi  là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng  Oxy  Biết rằng với mọi số thực m thay đổi thì đường thẳng luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định Tính bán kính R của đường tròn đó

Lời giải Chọn A

Mặt phẳng    : x my z    2 m   1 0 có một vectơ pháp tuyến là n11;m;1

Mặt phẳng    : mx   y mz m    2 0 có một vectơ pháp tuyến là n2m;1;m

Trong mặt phẳng  Oxy , gọi I a b  ; ;0  là tâm đường tròn

Theo giả thiết  là tiếp tuyễn của đường tròn  d I d  ;   d I P  ;     R (cố định)

am b m b

R m

 



Trang 23

22

2 000

2 0

a b R a b R

đường thẳng MN , NP , PM?

Nếu điểmA x y z  ; ;  thuộc  C thì

Phương trình mặt phẳng MNP là  x   y z 6 0

Gọi I là tâm mặt cầu thỏa bài toán, H là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng MNP , 

J , K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các đường thẳng MN , NP , PM Ta có

IJ IKILHJ HKHL

Suy ra I thuộc đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp hoặc tâm đường tròn bàng tiếp của

tam giác MNP và vuông góc với mặt phẳng MNP 

Hình chóp O MNP là hình chóp đều nên đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác MNP và vuông góc với mặt phẳng MNP cũng chính là đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng MNP 

Phương trình đường thẳng d là xyz

Dễ thấy d  suy ra mọi điểm thuộc d đều là tâm của một mặt cầu thỏa bài toán Vậy có vô

số mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa  C và tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM

Trang 24

Câu 35 Trong không gian cho mặt phẳng   P : x z    6 0 và hai mặt cầu   2 2 2

S x y z  ,

 S2 :x2y2z24x4z 7 0 Biết rằng tập hợp tâm I các mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt cầu  S1 ,

 S2 và tâm I nằm trên   P là một đường cong Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong đó

Mặt cầu  S1 có tâm O  0;0;0  và bán kính R 1 5 Mặt cầu   S có tâm E   2;0;2  bán kính

R  Ta có     1

6,

2

d O P  R và dE, P  2R2, OE 2 2, OER2 R1 nên mặt cầu  S2 nằm trong mặt cầu  S1 Như vậy mặt cầu   S tâm I tiếp xúc với cả  S1 và  S2 thì

  S tiếp xúc trong mặt cầu  S1 và tiếp xúc ngoài với  S2 Gọi R là bán kính của   S khi đó

Mặt cầu   Sm có tâm 2

; ;2

Trang 25

Với m1, m2 tùy ý và khác nhau, ta được hai phương trình mặt cầu tương ứng:

Dễ thấy   3 là phương trình tổng quát của mặt phẳng

 Họ mặt cầu   Sm có giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng   P cố định có phương trình: x2y2z 1 0

Câu 37 (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021)Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz, cho mặt câu   2 2

M a b c a  nằm trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA MB MC, , đến mặt cầu

  S (A B C, , là các tiếp điểm) thỏa mãn  60AMB  , 90BMC  , CMA  120.Tính Q  a b c

A Q 3 B 10

3

Q  C Q 2 D Q 1

Mặt cầu   S có tâm I  1;2; 3  và bán kính 2 2  2

R       Gọi đường tròn   C là giao tuyến của mặt phẳng  ABC  với mặt câu   S

I

Tiêu đề	Bài toán liên quan đến mặt cầu – mặt phẳng – đường thẳng
Tác giả	Nguyễn Bảo Vương
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Tài liệu ôn thi THPTQG 2023
Năm xuất bản	2023

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	1,13 MB