File đáp án 9 10 p3

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 Dạng 2 2 Cực trị lên quan đến giá trị biểu thức Câu 1 (THPT Yên Định Thanh Hóa[.]

Trang 1

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Điện thoại: 0946798489

Dạng 2.2 Cực trị lên quan đến giá trị biểu thức

Câu 1 (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d có phương

Do đó MA2MB2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi

và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d

Phương trình mặt phẳng  P đi qua I và vuông góc với đường thẳng d là

x y z t

Câu 3 (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

và v 3 ;t  6

ngược hướng hay t  1

Phương trình mặt phẳng trung trực của AB :    : 2 x    y 3 0

Vì  2.3 1.2 3 2.5 1.3 3         50 0  nên B , C nằm về một phía so với    , suy ra A , C

nằm về hai phía so với   

Điểm M thỏa mãn MAMB khi M     Khi đó MB MC MA MC AC

Trang 3

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

, do đó tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương

Câu 6 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm

 1;2;3 ,   0;1;1 ,   1;0; 2 

A B C  và mặt phẳng   P x y z :     2 0 Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao

cho giá trị của biểu thức TMA22MB23MC2 nhỏ nhất Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng

Lời giải Chọn D

Gọi I a b c  ; ;  là điểm thỏa mãn IA2IB3IC 0

Ta có IA1a; 2b;3c IB,a;1b;1c IC,1a;b; 2 c

23

Ta chứng minh được T6MI2IA22IB23IC2 Do đó T đạt GTNN khi MI đạt GTNN  M

là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P)

Ta có

232:316

Trang 4

x y z

Lưu ý thêm cách tìm điểm M như sau:

Gọi  là đường thẳng qua I và vuông góc với  P Phương trình của : 1 2

Trang 5

6256

Trang 6

Khi đó MA MB   AB (tính chất 3 cạnh của tam giác) suy ra MA MB  đạt giá trị lớn nhất khi , ,

M A Bthẳng hàng và Mnằm ngoài đoạn thẳng AB hay Mlà giao điểm của đường thẳng

ABvới ( ) P

Đường thẳng ABcó véc tơ chỉ phương AB  (10; 0; 2)

và qua điểm (2;1;3)B nên có phương trình

2 513

Chọn điểm Isao cho 2IA IBIC 0

2 IA IB     IC    0  4 IA AB     AC   0 Suy ra tọa độ điểm I là I0;1;2

Khi đó S 4NI22IA2IB2 IC2, do đó S nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I lên mặt phẳng  P

Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng  P là

012

Trang 7

Gọi I là trung điểm AB  I  3;1; 4  Gọi H là hình chiếu của I xuống mặt phẳng   

Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(1;0; 2), (3;1; 1).B  và mặt phẳng

( ) :P x   y z 1 0. GọiM a b c( ; ; ) ( ) P sao cho 3MA2MB

 là hình chiếu vuông góc của I trên ( ).P

Gọi  là đường thẳng qua I và vuông góc với ( ).P Khi đó  nhận vectơ pháp tuyến của ( )P là

Trang 8

Tọa độ Mlà nghiệm của hệ

1 0

22

2

33

Gọi điểm I x y z thỏa mãn  ; ;    3 0

 M là hình chiếu của I trên mặt phẳng  

Phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng   là:

Trang 9

(1; 2;0), (1; 1;3), (1; 1; 1)

A B  C   và mặt phẳng ( ) : 3P x3y2z150 Xét M a b c( ; ; ) thuộc mặt phẳng ( )P sao cho 2MA2MB2MC2 nhỏ nhất Giá trị của a  bằng b c

Trang 10

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

x y z t

Câu 17 (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox ,yz cho mặt cầu

  S : x12y22z12 và hai điểm 9 A  4;3;1 , B  3;1;3 ; M là điểm thay đổi trên   S Gọi ,

m n là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2MA2MB2 Xác định  m n  

Trang 11

 lớn nhất (nhỏ nhất) M là giao điểm của đường thẳng IK (với K  1;2; 1   là tâm của

mặt cầu (S)) với mặt cầu (S)

Ta có: MI đi qua I  5;5; 1   và có vectơ chỉ phương là KI4;3;0 

Phương trình của MI là:

1 4

2 31

35

3.5

Vì NN1NN2 nên MN nhỏ nhất khi và chỉ khi M N2 Vậy M  0;2;0  là điểm cần tìm

Suy ra: a b   2.

Trang 12

Câu 19 Cho mặt cầu   S : x22y12z32 9 và hai điểm A1 ; 1 ; 3, B21 ; 9 ; 13  Điểm M a ; ; b c thuộc mặt cầu   S sao cho 3MA2MB2 đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó giá trị của biểu thức T a b c bằng

Do 3IA2 IB2 không đổi vì ba điểm A B I ; ; cố định nên 3MA2 MB2 đạt giá trị nhỏ nhất khi MI

nhỏ nhất Khi đó M là giao điểm của đường thẳng IJ với mặt cầu  S , ( J2 ; 1 ; 3 là tâm của mặt cầu  S )

Ta có phương trình đường thẳng IJ là

2 21

Kiểm tra IM1IM239 nên M14; 2;1 là điểm cần tìm Vậy T a b c  8

d      và mặt cầu  S :

x32y42z52729 Cho biết điểm A    2; 2; 7, điểm B thuộc giao tuyến của mặt cầu  S

và mặt phẳng  P : 2x3y4z1070 Khi điểm M di động trên đường thẳng d giá trị nhỏ nhất của

biểu thức MAMB bằng

Lời giải

Trang 13

Mặt cầu  S có tâm I    3; 4; 5 và bán kính R 27

Đường thẳng d có 1 véc-tơ chỉ phương là u2;3; 4d P

Gọi K là giao điểm của mặt phẳng  P và đường thẳng d Vì Id nên K là tâm của đường

B A

Trang 14

Trang 15

Từ giả thiết ta có M thuộc giao tuyến d của hai mặt phẳng  P và  Q

Mặt phẳng   P có một vectơ pháp tuyến là n P 1; 2;1

Mặt phẳng   Q có một vectơ pháp tuyến là n  Q  1;1;1

Khi đó đường thẳng d đi qua N1;1;1 và có một vectơ chỉ phương là

227

Trang 16

Lời giải Chọn A



 Suy ra P 6 3 Vậy minP 6 3

Cách 2:

+) Gọi  P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d

Gọi  Q là mặt phẳng chứa đường thẳng d và đi qua điểm B

Gọi     P  Q

Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d và  C là đường tròn tâm I , bán kính

AI và đường tròn  C thuộc mặt phẳng  P

Gọi A A1, 2 là giao điểm của đường thẳng  và đường tròn  C (trong đó A1 và B nằm về hai

phía của đường thẳng d)

B

Trang 17

+) Mặt phẳng  P đi qua A6;0;0 và có vectơ pháp tuyến n P u d 2; 2;1

Hình chiếu vuông góc của A  1; 2;3 xuống mặt phẳng Oxy là  C  1; 2; 0

Hình chiếu vuông góc của B3; 2;5 xuống mặt phẳng Oxy là  D3; 2; 0

Khi đó CD4; 0;0ud 1;0;0

Phương trình đường thẳng CD là

320

y z

A B C  và mặt phẳng ( ) :P xy z 20 Điểm M a b c nằm trên ( ) ; ;  P sao cho

biểu thức MA22MB23MC2 đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó giá trị của biểu thức T  a b 9c bằng

A 13

139



Lời giải Chọn D

Gọi I x y z là điểm thoả mãn  ; ;  IA2IB3IC0 2 2 1

Vì IA22IB23IC2 không đổi nên biểu thức MA22MB23MC2 nhỏ nhất  MI nhỏ 2

nhất  M là hình chiếu vuông góc của điểm I trên ( )P

Gọi  là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với mặt phẳng ( )P

Trang 18

Phương trình tham số của 

232:312

và hai điểm A8; 0; 0 , B4; 4; 0 Điểm M bất kỳ thuộc mặt cầu  S Biết MA3MB đạt giá trị nhỏ nhất

tại điểm M có tọa độ M x y z 0; 0; 0 Giá trị biểu thức T4x09y0 bằng:

A T  46 B T  124 C T 46 D T 124

Mặt cầu  S có tâm và bán kính lần lượt là I1;9; 0 , R3 2

Câu 27 (Sở Hà Nam 2022) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   S : x22y12z2235

và hai điểm M6; 14; 7  và N10;8; 9 Với A là điểm thuộc mặt cầu  S sao cho AM AN đạt giá trị lớn nhất, khi đó tiếp diện của mặt cầu  S tại điểm A có phương trình là

A 3xy5z350 B 3x y 5z380

C 3x y 5z420 D 3xy5z450

Trang 19

Lời giải Chọn B

Suy ra AM AN lớn nhất khi AM AN và AK đạt giá trị lớn nhất

Vì IKMN , suy ra AM  AN khi A thuộc đường thẳng  

; phương trình tiếp diện tại A: 3x y 5z380

;3; 43

Vì M Oyz  nên gọi M0; b; c

Theo giả thiết ta có một véc tơ chỉ phương của   là 2 ; 3; 4

3

AM i Ox

Trang 20

Từ đó suy ra, điểm M nằm trên mặt phẳng Oyz và có quỹ tích là đường tròn   C có tâm là

 

Suy ra 9 12

  Dấu bằng xảy ra khi MH, lúc đó M là hình chiếu của A trên  P

Đường thẳngMA qua A1; 2; 3  và nhận VTPT của mp P : n P 2; 2; 1 

làm VTCP có

phương trình tham số:

1 2

2 23

Trang 21

Câu 31 (Sở Hậu Giang 2022) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

 P : 3x3y2z15 và ba điểm 0 A1; 2; 0, B1; 1;3 , C1; 1; 1  Điểm  M x y z 0; 0; 0 thuộc  P

sao cho 2MA2MB2MC2 nhỏ nhất Tính giá trị biểu thức T2x03y0z0

         1

Trang 22

Dạng 2.3 Cực trị liên quan đến chu vi, diện tích, bán kính, thể tích

Câu 1 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật

1',

'

B

C M

Trang 23

và hai điểm A1;5; 0, B3;3; 6 Gọi M a b c là điểm trên  ; ;   d sao cho chu vi tam

giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất Tính Pa  b c

t k

Câu 3 (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD

có A  1;1; 6, B   3; 2; 4 , C1; 2; 1 , D2; 2; 0  Điểm M a b c thuộc đường thẳng  ; ;  CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất Tính a b c 

Gọi  P là mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với đường thẳng CD

H là giao điểm của  P và đường thẳng CD

A

B

H D C

Trang 24

Phương trình mặt phẳng  P qua A  1;1; 6có véc tơ pháp tuyến CD  1; 4;1 

Gọi    qua AB và vuông góc với CD

Trang 25

2

ABM

S  AB MH với H là hình chiếu vuông góc của M lên AB

Do AB không đổi nên S ABM nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất

MH nhỏ nhất khi M nằm trên giao tuyến của mặt phẳng   Q và   P ;

với   Q là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp  P

Trang 26

Suy ra min r  2, đạt được khi IH  P

Khi đó mặt phẳng  P đi qua H3;0; 1  nhận IH 0; 1; 1  



làm một véctơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng  P là: 0x31y01z10 y  z 1 0

Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 2;6), (0;1;0) B và mặt cầu

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến K là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng AB,

H là hình chiếu vuông góc của I lên  P

nón  N có đỉnh là tâm của  S , đường tròn đáy là  C có thể tích lớn nhất bằng

H I

K A

B

Trang 27



Ta có tâm cầu I1; 2;3 ; R  4 3

Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm cầu I lên mặt phẳng  

Vậy chiều cao của khối nón  N là hd I P , IHIK, trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên AB

Gọi  Q là mặt phẳng đi qua I và vuông góc với ta có  Q :x 2z 7  0

Khảo sát V ta tìm được Vmax  39 

Câu 9 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật

'

B

C M

Trang 28

1',

Gọi A là hình chiếu vuông góc của O

trên d Điểm M di động trên tia Oz, điểm N di động trên đường thẳng d sao cho MN OM AN Gọi

I là trung điểm đoạn thẳng OA Trong trường hợp diện tích tam giác IMN đạt giá trị nhỏ nhất, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng M d,  có tọa độ là

A 4;3;5 2 B 4;3;10 2 C 4;3;5 10 D 4;3;10 10

Gọi A4 3 ;3 4 t;0 t   là hình chiếu vuông góc của O trên d

Trang 29

x x



Vậy maxSOAB  7 khi OI 1 hay I M

Câu 12 Trong không gian Oxyz , cho điểm A  1;4;3  và mặt phẳng   P : 2 y z   0 Biết điểm B thuộc

 P , điểm C thuộc Oxy sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất Hỏi giá trị nhỏ nhất đó là

Lời giải Chọn C

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A1;4;3 lên mặt phẳng OxyH1; 4;0

Gọi A1 là điểm đôi xứng của A qua mặt phẳng  Oxy , ta tìm được A1 1;4; 3  

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A1;4;3 lên mặt phẳng  P

Trang 30

Gọi A2 là điểm đôi xứng của A qua mặt phẳng  P thì K là trung điểm của AA2

Ta có

2 2 2

Ta có chu vi tam giác ABC là PABC  ACABBC A C1 A B2 BCA A1 2

Dấu bằng xảy ra khi A A B C1, 2, , thẳng hàng

Suy ra PABCmin  A A1 2 4 5

Câu 13 (THPT Kim Liên – Hà Nội – 2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

Có bao nhiêu giá trị của m để  d , 1  d2 cắt mặt cầu ( )S tại 4 điểm phân biệt sao cho

bốn điểm đó tạo thành tứ giác có diện tích lớn nhất

Ta có đánh giá khác như sau: (Gọi R C là bán kính của đường tròn thiết diện ( )C )

    const với O  ( 1; 1; 2) là tâm đường tròn ( )C

, Vậy chỉ có 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài

Câu 14 (Chuyên Lam Sơn – 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 3 đường thẳng

Trang 31

Lờí giải

Ta có:  d đi qua điểm (1;1;1)1 A có VTCP u 1 (2;1; 2)

 d2 đi qua điểm (3; 1; 2)B  có VTCP u 2 (1; 2; 2)

 d3 đi qua điểm (4; 4;1)C có VTCPu 3 (2; 2;1)

là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam

giác IMN nhỏ nhất Khi đó a b c  có giá trị bằng:

A 2

B 2

C 5

2

Trang 32

-Mặt phẳng ( )P qua M và vuông góc với ( ) là: ( ) :P x2y3z120

-Mặt phẳng ( )Q qua N và vuông góc với ( ) là: ( ) :Q x2y3z10 0

Từ đó với ( ) ( )P‖Q ta suy ra

| 14 ( 10) | 4(( );( ))

Đường thẳng ( ) qua A m ; 1; m2 có vector chỉ phương u  (1; 2; 3)

Đường thẳng (MN có vector chỉ phương ) a  (3;1; 1)

Từ đó ta có được góc giữa MN và ( ) là:

Trang 33

Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong

Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương

 https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber

Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/

Tiêu đề	Tài liệu Ôn thi THPTQG 2023 - Các câu về cực trị và tính toán trong không gian Oxyz
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Vinh
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Tài Liệu Ôn Thi
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Thanh Hóa

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	891,52 KB