GIÁO ÁN ĐẠI 8 tiet 47,48,49

- Năng lực chuyên biệt: Rèn cho học sinh các năng lực tư duy, sử dụng các phép tính về phân thức và giải phương trình, sử dụng ngôn ngữ toán học trong phát biểu và trình bày bài làm.. -

Trang 1

§5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

A Mục tiêu

1 Kiến thức: HS nắm vững khái niệm ĐKXĐ của một phương trình

2 Kỹ năng: Tìm được ĐKXĐ của phương trình có ẩn ở mẫu.

3 Tư duy:

- Rèn luyện khả năng quan sát, dự đoán, suy luận hợp lý và suy luận lôgic

- Khả năng diễn đạt chính xác, rõ ràng ý tưởng của mình và hiểu được ý tưởng của

người khác

4 Thái độ và tình cảm:

- Có ý thức hợp tác, trân trọng thành quả lao động của mình và của người khác

- Nhận biết được vẻ đẹp của toán học và yêu thích môn Toán

5 Năng lực cần đạt:

- Năng lực chung: Rèn cho học sinh các năng lực tự học, giải quyết vấn đề, sáng tạo,

giao tiếp, hợp tác, sử dụng ngôn ngữ

- Năng lực chuyên biệt: Rèn cho học sinh các năng lực tư duy, sử dụng các phép tính

về phân thức và giải phương trình, sử dụng ngôn ngữ toán học trong phát biểu và trình

bày bài làm

* GDDĐ: Bài tập 29.Giúp các ý thức về sư đoàn kết,rèn luyện thói quen hợp tác, khiêm tốn

Tôn trọng, khoan dung, khiêm tốn, trung thực

B Chuẩn bị

- HS: Ôn tập các quy tắc biến đổi phương trình, cách tìm điều kiện để giá trị phân

thức được xác định

C Phương pháp – kĩ thuật dạy học

1 phương pháp

- Thuyết trình, vấn đáp – gợi mở, luyện tập, hoạt động nhóm, phát hiện và giải quyết

vấn đề, quan sát trực quan

2 Kĩ thuật

- Đặt câu hỏi, Kt giao nhiệm vụ, kĩ th trình bày 1 phút, kt chia nhóm

D.Tiến trình bài dạy.

1.Ổn định lớp: (1’)

2 Kiểm tra bài cũ: (5’)

HS1: Làm bài 25(a): Giải

PT: 2x3 + 6x2 = x2 + 3x

2x3 + 6x2 = x2 + 3x  2x2(x + 3) = x(x + 3)

 2x2(x + 3) – x(x + 3) = 0

 x(x + 3)(2x – 1) = 0

 x = 0 hoặc x = – 3 hoặc x = 0,5

3 3 2 2

HS2: Qui tắc biến đổi

PT? ĐKXĐ của phân

thức là gì? Tìm ĐKXĐ

của PT: x 2

x 1





- 2 qui tắc biến đổi PT: SGK

- ĐKXĐ của PT là các giá trị của biến làm cho mẫu thức khác 0

- ĐKXĐ: x ≠ -1

6 2 2

Tuần 23

Trang 2

3 Dạy học bài mới:

* Hoạt động 1: Tìm hiểu ví dụ mở đầu (10’)

- Mục tiêu: HS hiểu được khi biến đổi PT mà làm mất mẫu chứa ẩn thì PT nhân được

có thể không tương đương với PT đã cho

- Phương pháp: Vấn đáp, phát hiện và giải quyết vấn đề, luyện tập thực hành

- KT: kt đặt câu hỏi, Kt giao nhiệm vụ, kĩ th trình bày 1 phút

- HT: Dạy học phân hóa

- Năng lực: Rèn cho học sinh các năng lực tự học, giải quyết vấn đề, sử dụng các phép tính về phân thức và giải phương trình

- Tiến trình hoạt động:

G: Giao nhiệm vụ cho hs:

? Giải PT sau bằng phương pháp quen thuộc:

H: Hoạt động cá nhân, một hs lên bảng.

? Giá trị tìm được của ẩn là x = 1 có phải là nghiệm của

PT trên không? Vì sao?

(x = 1 không phải là nghiệm của PT trên vì giá trị của 2

vế không xác định tại x = 1)

? Khi biến đổi PT mà làm mất mẫu chứa ẩn của PT thì

PT nhận được có tương đương với với PT ban đầu

không?

G: Nhấn mạnh nội dung nhận xét.

? Nếu trong PTchứa ẩn ở mẫu có 1 giá trị nào đó của ẩn

làm cho mẫu bằng 0 thì giá trị đó của ẩn có thể là

nghiệm của PT đó được không?

? Khi giải PT chứa ẩn ở mẫu cần lưu ý gì?

(Đặt ĐK cho ẩn để tất cả các mẫu của PT đều khác 0)

1 Ví dụ mở đầu

- Ví dụ: SGK - 19

* Nhận xét: Khi biến

đổi PT mà làm mất mẫu chứa ẩn của PT thì PT nhận được có thể không tương đương với PT ban đầu

* Hoạt động 2: Tìm hiểu ĐKXĐ của một phương trình (15’)

- Mục tiêu: HS nắm vững khái niệm ĐKXĐ của một phương trình Tìm được ĐKXĐ của phương trình có ẩn ở mẫu

- Phương pháp: Vấn đáp gợi mở, luyện tập thực hành, tự nghiên cứu SGK

- Năng lực: Rèn cho học sinh các năng lực giải quyết vấn đề, sáng tạo, giao tiếp, hợp tác, tư duy, sử dụng ngôn ngữ toán học trong phát biểu và trình bày bài làm

? ĐKXĐ của PT là gì?

? Để tìm ĐKXĐ của PT ta làm

thế nào?

G: Tổ chức cho hs nghiên cứu ví

2 Tìm ĐKXĐ của một phương trình

- ĐKXĐ của PT là các giá trị của ẩn để tất cả các mẫu trong PT đều khác 0

- Ví dụ: Tìm ĐKXĐ của mỗi pt sau:

Trang 3

dụ 1 để trả lời các câu hỏi.

+ Nêu các bước tìm ĐKXĐ của

PT?

+ Các cách tìm ĐKXĐ của PT?

H: Đọc SGK trong 3’, đứng tại

chỗ trả lời các câu hỏi trên

G: Chốt: Các bước để tìm

ĐKXĐ:

+ Tìm điều kiện để các mẫu bằng

không hoặc khác không

+ Kết luận

Lưu ý hs để tìm ĐKXĐ của PT

ta có thể tìm trực tiếp (VD 1)

hoặc tìm gián tiếp (VD 2)

* Củng cố:

G: + Cho 2 HS lên bảng làm ?2,

lớp cùng làm vào vở

+ Chốt kết quả, cách trình bày

a) 2x 1 1

x 2





 b) 2 1 1

x - 1 x 2 

Giải a) Vì x – 2 = 0  x = 2 nên PT (a) có ĐKXĐ là x  2

b) x – 1  0 khi x  1

x + 2  0 khi x – 2 Vậy PT (b) có ĐKXĐ là x  1 và x – 2

?2 Tìm ĐKXĐ của mỗi PT sau:

a) x x 4

x 1 x 1





Ta thấy x – 1 ≠ 0 khi x ≠ 1

và x + 1 ≠ 0 khi x ≠ – 1 Vậy ĐKXĐ của PT là x ≠ ± 1

b) 3 2x 1 x



Vậy ĐKXĐ của PT là x ≠ 2

4 Củng cố: (12’)

- ĐKXĐ của PT là gì? Tại sao cần tìm ĐKXĐ của PT chứa ẩn ở mẫu?

- Cách tìm ĐKXĐ của PT

- GV nhấn mạnh lại các nội dung cơ bản của bài

* Luyện tập:

G: + Tổ chức cho hs làm

bài vào vở, 2 HS lên bảng

làm câu a và b

+ Gọi hs nhận xét, đánh

giá cho điểm

G: Cho hs hoạt động

nhóm câu c và d

Trao đổi bài giữa các

nhóm để nhận xét

G: Đánh giá các nhóm.

Tìm ĐKXĐ của PT:

a) 5x 1 6 2x 2   x 1 

Ta thấy 2x + 2 ≠ 0 khi 2x ≠ – 2 hay x ≠ – 1

x + 1 ≠ 0 khi x ≠ – 1 Vậy ĐKXĐ của pt là x ≠ – 1

b) x 3 x 2 2



Vậy ĐKXĐ của pt là x ≠ 5 và x ≠ 0

c)

2

1

x 2   x   x 1

Ta thấy x2 + x + 1 > 0 với mọi x

x + 2 ≠ 0 khi x ≠ – 2 Vậy ĐKXĐ: x ≠ – 2

(x 3)(2x 7)   x  9

Ta thấy (x – 3)(2x + 7) ≠ 0 khi x ≠ 3 và x ≠ – 7

2

Trang 4

x2 – 9 ≠ 0 khi x ≠ ± 3 Vậy ĐKXĐ: x ≠ ± 3 và x ≠ – 7

2

5 Hướng dẫn về nhà: (1’)

- Học bài theo SGK và vở ghi

- BTVN: 24/SBT và tìm ĐKXĐ của các PT ở bài 27, 28/SGK - 22

- Ôn tập cách tìm ĐKXĐ của một phương trình, xem trước mục 3 ở §5

E Rút kinh nghiệm.

Ngày soạn: 18/01/2019 Tiết theo PPCT: 48

Tuần 23

§5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU ( tiếp)

A Mục tiêu

1 Kiến thức: HS nắm chắc cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, đặc biệt chú ý đến

bước tìm ĐKXĐ của phương trình và kết luận

2 Kỹ năng: Tìm ĐKXĐ của phương trình; biến đổi phương trình; cách giải phương

trình dạng đã học như PT bậc nhất một ẩn, PT tích

3 Tư duy:

- Rèn luyện khả năng quan sát, dự đoán, suy luận hợp lý và suy luận lôgic

- Các phẩm chất tư duy, đặc biệt là tư duy linh hoạt, độc lập và sáng tạo

4 Thái độ và tình cảm:

- Có ý thức tự học, hứng thú và tự tin trong học tập

- Có đức tính cần cù, cẩn thận, chính xác, chủ động, ham học hỏi

- Năng lực chung: Rèn cho học sinh các năng lực tự học, giải quyết vấn đề, sáng tạo, giao tiếp, hợp tác, sử dụng ngôn ngữ

Trang 5

- Năng lực chuyên biệt: Rèn cho học sinh các năng lực tư duy, sử dụng các phương

pháp phân tích đa thức thành nhân tử, sử dụng ngôn ngữ toán học trong trình bày bài

làm

* GDDĐ: Bài tập 29.Giúp các ý thức về sư đoàn kết,rèn luyện thói quen hợp tác, khiêm tốn

Tôn trọng, khoan dung, khiêm tốn, trung thực

B Chuẩn bị

- GV: Bảng phụ.

- HS: Ôn tập cách tìm ĐKXĐ của một phương trình.

- Thuyết trình, vấn đáp – gợi mở, luyện tập, hoạt động nhóm, phát hiện và giải quyết

vấn đề, quan sát trực quan

2 Kĩ thuật

D Tiến trình bài dạy

1.Ổn định lớp: (1’)

HS1: ĐKXĐ của PT là

gì? Tìm ĐKXĐ của PT:

5

2x 1

3x 2   

- ĐKXĐ của PT là những giá trị của ẩn làm cho tất cả các mẫu khác không

Vì 3x + 2 = 0  x = 2

3

 nên ĐKXĐ của PT là 2

x 3



5 5

HS2: Tại sao cần tìm

ĐKXĐ của PT? Các bước

tìm ĐKXĐ của PT?

\

- Các giá trị của ẩn mà tại đó ít nhất 1 mẫu thức bằng 0, chắc chắn không là nghiệm của

PT Vì vậy cần đặt ĐK cho ẩn để tất cả các mẫu trong PT đều khác 0

Các bước tìm ĐKXĐ của PT:

+ Tìm điều kiện để các mẫu bằng không hoặc khác không

+ Kết luận

5

* Hoạt động 1: Tìm hiểu các bước giải PT chứa ẩn ở mẫu (15’)

- Mục tiêu: HS nắm chắc cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, đặc biệt chú ý đến

bước tìm ĐKXĐ của phương trình và kết luận

- Phương pháp: Vấn đáp, phát hiện và giải quyết vấn đề, luyện tập thực hành, tự

nghiên cứu

- Năng lực: Rèn cho học sinh các năng lực tự học, giải quyết vấn đề, sáng tạo, giao

tiếp, hợp tác, sử dụng ngôn ngữ

Trang 6

G: Đưa yêu cầu ví dụ lên bảng phụ.

Cho hs tìm hiểu để trả lời các câu hỏi

sau:

? Xác định dạng của PT?

? Để giải PT trước hết ta phải làm gì?

(Tìm ĐKXĐ của PT)

G: Nêu các bước giải và trình bày lời

giải mẫu

? Khi khử mẫu của PT ta cần lưu ý

gì?

( PT mới có thể không tương đương

với PT đã cho)

G: Lưu ý nên ở bước này không được

dùng dấu tương đương

? Giải pt (1a) như thế nào?

H: Lên bảng trình bày tiếp.

? Giá trị tìm được của ẩn có là

nghiệm của pt (1) không? Tại sao?

G: Nhấn mạnh: Do ở bước khử mẫu

PT nhận được chưa chắc đã tương

đương với PT đã cho nên muốn biết

giá trị tìm được của ẩn có là nghiệm

không cần kiểm tra xem nó có thỏa

mãn ĐKXĐ của PT không?

? Qua VD trên hãy cho biết các bước

giải một PT chứa ẩn ở mẫu?

G: Chốt lại các bước.

3 Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

- Ví dụ: Giải PT: x 2x 2(x 2)2x 3

 (1)

Giải

- ĐKXĐ của PT: x  0 và x  2

- Qui đồng mẫu 2 vế của PT và khử mẫu: 2(x 2)(x 2) x(2x 3)

2x(x 2) 2x(x 2)



Suy ra: 2(x – 2)(x + 2) = x(2x + 3) (1a)

- Giải PT (1a):

(1a)  2(x2 – 4) = 2x2 + 3x  2x2 – 8 = 2x2 + 3x  3x = – 8  x = 8

3



Ta thấy x = 8

3

 t/m ĐKXĐ của PT (1) nên tập nghiệm của PT (1) là S 8

3



 

 

 

*Hoạt động 2: Luyện tập giải PT chứa ẩn ở mẫu (20’)

- Mục tiêu: Rèn kĩ năng tìm ĐKXĐ của phương trình; biến đổi phương trình; cách

giải phương trình dạng đã học như PT bậc nhất một ẩn, PT tích

- Phương pháp: Luyện tập thực hành, hoạt động nhóm.

- Năng lực chung: Rèn cho học sinh các năng lực tự học, giải quyết vấn đề, sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, sử dụng ngôn ngữ toán học trong trình bày bài làm

G: Giao nhiệm vụ giải các

PT cho hs

H: 2 HS lên bảng cùng làm,

Bài 27/ SGK - 22: Giải PT:

b)

2

x



 

Trang 7

Dưới lớp cùng làm.

G: Cho hs nhận xét, chốt kết

quả, cách trình bày

G: Tổ chức cho hs hoạt động

nhóm bài 30 trong vòng 5’

Các nhóm báo cáo kết quả

Sửa bài cho các nhóm, đánh

giá kết quả hoạt động của

các nhóm

ĐKXĐ: x  0 Qui đồng và khử mẫu được: 2(x2 – 6) = 2x2 + 3x

 3x = – 12  x = – 4 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy PT trên có tập nghiệm là S = {– 4}

Bài 28/ SGK - 22: Giải PT:

2x 2    x 1  ĐKXĐ: x  – 1 Qui đồng mẫu 2 vế và khử mẫu được:

5x + 2(x + 1) = – 12  5x + 2x + 2 = – 12

 7x = – 14  x = – 2 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy S = {– 2}

Bài 30SGK – 23: Giải PT:

a) 1 3 x 3



 

- ĐKXĐ: x  2 (1) 1 3(x 2) 3 x

x 2 x 2 x 2

 1+ 3(x – 2) = 3 – x

 1 + 3x – 6 = 3 – x

 4x = 8  x = 2 (không thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy PT đã cho vô nghiệm

b) 2x 2x2 4x 2 2  

x 3 x 3 7

- ĐKXĐ: x  – 3

- Qui đồng mẫu 2 vế và khử mẫu:

 

2

14x(x 3) 14x 28x 2(x 3)

2

14x(x + 3) – 14x2 = 28x + 2(x + 3)

 14x2 + 42x – 14x2 = 28x + 2x + 6

 12x = 6  x = 0,5

x = 0,5 thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của PT đã cho

4 Củng cố: (3’)

- So sánh cách giải PT có ẩn ở mẫu với cách giải các PT đã học ?

- Nêu lại các bước giải PT có chứa ẩn ở mẫu? Trong các bước giải đó cần chú ý bước nào? (Tìm ĐKXĐ và kết luận)

- GV chốt lại nội dung bài học

5 Hướng dẫn về nhà: (1’)

- Học bài theo vở ghi và SGK

- Xem lại các bài tập đã giải trên lớp

- BTVN: 27,28,30 (các phần còn lại)/ SGK - 22, 23

Trang 8

E Rút kinh nghiệm.

Ngày soạn: 22/01/2019 Tiết theo PPCT: 49

Tuần 24

§5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU ( tiếp)

A Mục tiêu

1 Kiến thức: HS nắm chắc cách giải PT chứa ẩn ở mẫu, đặc biệt chú ý đến bước tìm

ĐKXĐ của phương trình và kết luận

2 Kỹ năng: Tìm ĐKXĐ của phương trình; biến đổi phương trình; giải được các dạng

phương trình đã học

3.Thái độ và tình cảm:

- Có ý thức hợp tác, trân trọng thành quả lao động của mình và của người khác

- Nhận biết được vẻ đẹp của toán học và yêu thích môn Toán

4 Tư duy:

- Khả năng diễn đạt chính xác, rõ ràng ý tưởng của mình và hiểu được ý tưởng của người khác

- Các phẩm chất tư duy, đặc biệt là tư duy linh hoạt, độc lập và sáng tạo

- Năng lực chung: Rèn cho học sinh các năng lực tự học, giải quyết vấn đề, sáng tạo, giao tiếp, hợp tác, sử dụng ngôn ngữ

- Năng lực chuyên biệt: Rèn cho học sinh các năng lực tư duy, sử dụng các phép tính

về phân thức để giải phương trình, sử dụng ngôn ngữ toán học trong trình bày bài làm

* GDDĐ: Tôn trọng, khoan dung, khiêm tốn, trung thực

B Chuẩn bị

- GV: Bảng phụ bài 29/SGK - 22; phô tô đề kiểm tra 15 phút.

- HS: Ôn tập cách giải các dạng phương trình đã học

- Thuyết trình, vấn đáp – gợi mở, luyện tập, hoạt động nhóm, phát hiện và giải quyết vấn đề, quan sát trực quan

2 Kĩ thuật

D.Tiến trình bài dạy.

1.Ổn định lớp: (1’)

Trang 9

HS1: ĐKXĐ của PT là

gì? Các bước giải PT

chứa ẩn ở mẫu?

Tại sao cần tìm ĐKXĐ

của phương trình?

- ĐKXĐ của PT là những giá trị của ẩn làm cho tất cả các mẫu khác không

- Các bước giải: SGK

- Các giá trị của ẩn mà tại đó ít nhất 1 mẫu thức bằng 0, chắc chắn không là nghiệmcủa phương trình.Vì vậy cần đặt ĐK cho ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0

4 4

2

HS2: Chữa bài

29/SGK - 22 trên bảng

phụ

- Cả 2 lời giải đều sai vì khi khử mẫu trong phương trình mà không chú ý đến ĐKXĐ của phương trình

ĐKXĐ của PT là x  5, do đó giá trị x = 5 bị loại Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

5

* Hoạt động 1: Tìm hiểu các ví dụ áp dụng (20’)

- Mục tiêu: HS nắm chắc cách giải PT chứa ẩn ở mẫu, đặc biệt chú ý đến bước tìm ĐKXĐ của phương trình và kết luận Tìm ĐKXĐ của phương trình; biến đổi phương trình; giải được các dạng phương trình đã học

- Phương pháp: Vấn đáp, phát hiện và giải quyết vấn đề, luyện tập thực hành, hoạt động nhóm, tự nghiên cứu

- HT: Dạy học theo nhóm

- Năng lực: Rèn cho học sinh các năng lực tự học, giải quyết vấn đề, sáng tạo, giao tiếp, hợp tác, tư duy, sử dụng các phép tính về phân thức để giải phương trình, sử dụng ngôn ngữ toán học trong trình bày bài làm

G: + Treo bảng phụ VD 3.

+ Tổ chức cho hs tự nghiên

cứu VD 3 để trả lời các câu

hỏi:

Giải thích các bước làm?

Trình bày lại lời giải

4 Áp dụng

- Ví dụ:

2(x 3) 2x 2    (x 1)(x 3)  

(2)

Giải

- ĐKXĐ: x  1; x 3  (2) 

x(x 1) x(x 3) 4x 2(x 3)(x 1) 2(x 1)(x 3)



 x(x+1) + x(x – 3) = 4x (2a)  x2 + x + x2 – 3x = 4x

 2x2 – 6x = 0

 2x(x – 3) = 0  2x = 0 hoặc x – 3 = 0 1) 2x = 0  x = 0 (thỏa mãn ĐKXĐ) 2) x – 3 = 0  x = 3 (loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ)

Trang 10

G: Yêu cầu hs làm ?3.

H: 2 HS lên bảng, dưới lớp

mỗi dãy làm một phần, sau đó

cho 2 dãy nhận xét chéo

G: Chốt kết quả, cách trình

bày

? Với phần a có thể khử mẫu

bằng cách đơn giản nào?

H: “nhân chéo”.

H: Làm trên bảng nhóm giải

câu a của bài 32/SGK - 23

G: Đưa lời giải mẫu để hs

nhận xét

? Sau khi giải PT này rút ra

nhận xét gì?

H: Không nên nhân để bỏ

ngoặc mà nên biến đổi về PT

tích

G: Cần quan sát 2 vế của PT

để tìm cách giải thích hợp

- Kết luận: Tập nghiệm của PT (2) là S = {0}

?3 Giải các PT:

a) x x + 4

x 1   x 1  (ĐKXĐ của PT: x  1)

 x(x + 1) = (x – 1)(x + 4)

 x2 + x – x 2 – 4x + x + 4 = 0

 – 2x = – 4  x = 2 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy PT trên có tập nghiệm là S = {2}

b) 3 2x 1 x



  (ĐKXĐ của PT: x  2)

 3 = 2x – 1 – x(x – 2)

 x2 – 4x+4 = 0  (x – 2)2 = 0

 x – 2 = 0  x = 2 (loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 32/SGK - 23 Giải PT:

    

  (ĐKXĐ: x  0)

2 1 x 1 0 x

2 x 0 x

1

2 0

x  hoặc x2= 0 1) 1 2 0

x 



ĐKXĐ) 2) x2 = 0  x = 0 (loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy PT đã cho có tập nghiệm là: S = { 1

2

 }

* Hoạt động 2: Kiểm tra 15 phút (15’)

- Mục tiêu: Kiểm tra nhận thức của hs về các kiến thức đã học, khả năng vận dụng giải BT từ đó GV có điều chỉnh trong giảng dạy cho hợp lí

- Đồ dùng thiết bị: Đề photo

- Phương pháp: Kết hợp TNKQ và tự luận

- Năng lực: Rèn cho học sinh các năng lực tự học, giải quyết vấn đề, sáng tạo, tư duy,

sử dụng các phép tính về phân thức để giải phương trình, sử dụng ngôn ngữ toán học trong trình bày bài làm

Đề bài

Câu 1: (2 điểm) Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước đáp án đúng.

1) Trong các phương trình sau, phương trình bậc nhất một ẩn là:

Tiêu đề	Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Trường học	Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Giáo án
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	539,5 KB