GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 DH quốc gia HCM phần 7 pptx

Trong mỗi mặt  Silấy một điểm ∞iậxiờ yiờ zi ấ bất kỳề ỡập tổng tắch phânầ Khi cho max {d Si } -> 0 d Si : đýờng kắnh của mặt  Si, nếu tổng tắch phân Sn tiến tới ữ giá trị hữu hạn kh

(hình ởềĩấ

và khi đó ta có ầ

Thắ dụ 5: Tắnh

Ta có ầ yzdx ự xzdy ự xydz ụ dậxyzấ

Vậy ầ

Thắ dụ 6: Tắnh

Ta có ầ các hàm ỳ ụ excosy ự yxờ ẵ ụ yz - exsiny, R = xy+z thỏa điều kiện iiiấ của Định lý ị vìầ

Nhý thế áp dụng định lý ịờ tồn tại hàm U sao choầ

UỖx = y, UỖy = x, UỖz = 4

 f không phụ thuộc vào y -> f= h(z) -> U(x,y,z) = yz+h(z)

 cùng với UỖz = 4  hỖậzấ ụ ở  h(z) =4z+ C

Vậy Uậxờyờzấ ụ yx ự ởz ựũ

Và nghiệm U phải thỏa ầ dU ụ ế

 yx + 4z = CỖ

V TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

1 Định nghĩa

Cho hàm số fậxờyờzấ xác định trên mặt Sề ũhia S thành n mặt con  S1,  S2, Ầờ  Sn không chồng lên nhau và diện tắch týõng ứng của các mặt con cũng ký hiệu là  S1, 

S2, Ầờ  Sn Trong mỗi mặt  Silấy một điểm ∞iậxiờ yiờ zi ấ bất kỳề ỡập tổng tắch phânầ

Khi cho max {d( Si) } -> 0 (d( Si) : đýờng kắnh của mặt  Si), nếu tổng tắch phân

Sn tiến tới ữ giá trị hữu hạn không phụ thuộc cách chia mặt S và cách lấy các điểm ∞i thì giới hạn đó gọi là tắch phân mặt loại ữ ậcòn gọi là tắch phân mặt theo diện tắch của hàm fậxờyờzấ trên mặt S ấ và ký hiệu ầ

Khi đó ta nói f khả tắch trên Sề

Mặt S đýợc gọi là mặt trõn nếu hàm vectõ pháp tuyến liên tục và khác ế trên Sề Đã chứng minh đýợc rằng ầ nếu fậxờyờzấ liên tục trên mặt cong trõn S thì tắch phân mặt loại ữ của fậxờyờzấ trên S tồn tạiề

2 Tắnh chất

Từ định nghĩa ta có các tắnh chất sauầ

Nếu fờ g khả tắch trên Sờ thì kfựg cũng khả tắch trên S và ầ

Nếu S đýợc thành ị phần Sụ S1+S2 thì ầ

Diện tắch mặt S đýợc tắnh là :

3 Cách tắnh tắch phân mặt loại 1

Giả sử mặt S có phýõng trình zụ zậxờyấờ với hàm zậxờyấ liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa hình chiếu ắ của S xuống mặt phẳng xyề Ta tắnh gần đúng  Si bằng mảnh phẳng tiếp xúc týõng ứng ậchýõng ữấ ta có ầ

Trong đó  Di là diện t ắch hình chiếu của  Si xuống mặt phẳng xyề ỷhý vậy ta có tổng tắch phân mặt loại ữ là ầ

Vế phải là tổng tắch phân képờ khi qua giới hạn ta cóầ

Nhý vậy tắch phân mặt loại ữ đýợc biểu diễn ở dạng tắch phân kép trên hình chiếuề Khi lấy f ụữ ta lại có công thức tắnh diện tắch mặt cong ở chýõng ữ

Thắ dụ 1: Tắnh S là mặt biên vật thể  : x2+y2  z  1

Vật thể  là hình nónờ nên S bao gồm ị mặt S ụ Sữ ự Sịờ trong đó Sữ ụ mặt nón ờ Sị ầ mặt đáy của hình nónờ tuy nhiên Sữờ Sị cùng có hình chiếu là mặt tròn ầ x2 + y2  1 Vì thế ta có ầ

Với mặt nón Sữ ầ z ụ

Với mặt đáy Sị ầ z ụ ữờ ds ụ dxdyờ cho nên

Vậyầ ỗ ụ

Thắ dụ 2: Tắnh S là các mặt hình lập phýõngầế x  1, 0 y  1, 0 z  1

(Hình ỏềữ ấ

Do S là ẳ mặt của hình lập phýõngờ nhýng xyz ụế trên ĩ mặt nằm trên ĩ mặt phẳng tọa độ ậ xyờ xzờ yzấờ nên ta chỉ cần tắch phân trên các mặt aấờ bấờ cấ trên (hình ỏềữấ ầ

Mặt aấ ầ zụữờ ắầ hình vuông ầ ế x,y  1 trong mặt xyờ nên ầ

Týõng tự ta có ầ

Vậy ỗ ụ

4 Ứng dụng của tắch phân mặt loại 1

Cho mặt S có khối lýợng riêng theo diện tắch là  (x,y,z) tại điểm ậxờyờzấề ẩhi đó ầ

Khối lýợng của mặt S là ầ

Moment tĩnh đối với các mặt tọa độ của mặt S làầ

Tâm khối lýợng của mặt S là điểm có tọa độ ầ

Moment quán tắnh đối với trục ẫxờ ẫyờ ẫz ờ với góc ẫ và đýờng thẳng  là ầ

Trong đó rậxờyờzấ là khoảng cách từ điểm ∞ậxờyờzấ tới đýờng thẳng 

Thắ dụ 3: Tìm trọng tâm của nửa mặt cầu tâm ẫậếềếờếấ bán kắnh aờ với khối lýợng

riêng  = hằng sốề

Gọi ∞ậxờyờzấ là trọng tâm của nửa mặt cầu tâm ẫậếềếờếấ bán kắnh aề ẩhi đó có phýõng trình mặt cầu là S ầ xị ự yị ự zị ụ aịờ z  0 Do tắnh đối xứng nên x ụ ếờ y

=0 ta chỉ cần tắnh z theo công thức

S là diện tắch nửa mặt cầu bán kắnh aầ Sụị a2 , và ắ là hình tròn bán kắnh aờ hình chiếu của mặt cầu trên mặt phẳng xy

 Trọng tâm có tọa độầ ậ

VI TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

1 Định nghĩa mặt định hýớng

Xem mặt cong S là tập hợp các điểm ∞ậxờyờzấ thỏa phýõng trình ầ ≠ậxờyờzấ ụế Mặt S gọi là mặt trõn khi và chỉ khi hàm ≠ậxờyờzấ có các đạo hàm riêng ≠Ỗx, FỖy, FỖz

liên tục và không đồng thời bằng khôngờ hay nói khác là vectõ Ứradien  F(x,y,z) = (FỖx, FỖy, FỖz) liên tục và khác ế trên mặt Sề

Trong trýờng hợp mặt S có phýõng trình tham số ầ

x=x(u,v) , y=y(u,v) , z=z(u,v)

Xét vectõ ầ r ụ rậuờvấ ụ xậuờvấ i ự yậuờvấ j ự zậuờvấ k

Khi đó mặt S gọi là trõn nếu hàm rậuờvấ khả vi liên tục ậtức là tồn tại các đạo hàm riêng rỖu, rỖv liên tụcấ và tắch rỖu  rỖv  0

Để ý rằng mặt cong S thýờng cho bởi phýõng trìnhầ zụ fậxờyấ

Đây là trýờng hợp riêng của dạng F(x,y,z) = f(x,y) Ờ z = 0 có 

F(x,y,z) = (fỖx, fỖy , -1) Hoặc cũng có thể xem là trýờng hợp riêng của phýõng trình tham số ầ

x= x , y=y, z= f(x,y) có rỖx = (1,0,fỖx) , rỖy = (0,1,fỖy) và rỖx  rỖy

= (-fỖx, -fỖy , 1)

Và khi đó mặt S là mặt trõn khi và chỉ khi các đạo hàm riêng fỖxờ fỖy liên tục ậ vì các vectõ  F(x,y,z), rỖx  rỖy luôn khác ế ấ

Mặt trõn S gọi là mặt định hýớng đýợc hay là mặt hai phắaờ nếu tại mỗi điểm ∞ của S xác định đýợc một vectõ pháp tuyến đõn vị , và hàm vectõ là liên tục trên

S Lýu ý rằng vectõ pháp tuyến đõn vị có thể là , - , vì thế khi đã chọn ữ vectõ xác địnhờ thắ dụ chọn thì ta nói đã định hýớng mặt Sề ∞ặt S với vectõ pháp tuyến đõn vị đã chọn đýợc gọi là mặt định huớngờ và gọi là vectõ pháp tuyến dýõngề Ứng với đã chọnờ ta có phắa dýõng týõng ứng của mặt S là

phắa mà khi đứng ở đó ờ vectõ hýớng từ chân tới đầuề ỳhắa ngýợc lại gọi là phắa

âmề

Nhý vậy một mặt định hýớng là mặt trõn đã xác định trýờng vectõ pháp tuyến đõn vị , và nó luôn có ị phắaề ẩhi không nói rõ thì hiểu là đề cập tới phắa dýõng của mặtề ẩhi mặt S không kắnờ để nói đến hýớng đã chọn của mặt ta sẽ nói phắa trên (hýớng dýõng ấ và phắa dýới ậhýớng âmấề ẩhi mặt S kắnờ để nói đến hýớng đã chọn của mặt ta sẽ nói phắa trong ậhýớng dýõng ấ và phắa ngoài ậhýớng âmấề

Một mặt S định hýớng thì cũng xác định đýợc luôn hýớng các đýờng cong biên của nóề Đó là hýớng mà khi ta đýớng ở phắa dýõng của mặt và đi theo đýờng cong thì S luôn ở bên tráiề ổình ẳềữ cho thấy mặt S định hýớng có hai đýờng biên ỡữờ ỡị với hýớng đýợc xác địnhề

(Hình ẳềữấ Cũng lýu ý có những mặt không thể định hýớng đýợcờ thắ dụ lá ∞obiusề ỡá ∞obius

có thể tạo ra bằng cách lấy một hình chữ nhật ồửũắ ậbằng giấyấ sau đó vặn cong hình chữ nhật để ị cạnh ồắ giáp với cạnh ũử ậồ giáp ũờ ắ giáp ử ấề ẩhi đó nếu lấy ữ vectõ pháp tuyến nậ∞ấ tại ữ điểm ∞ trên mặt lá và cho nó di chuyển theo láờ không qua biênờ đi một vòng và quay về điểm ∞ ban đầu thì có hýớng ngýợc với lúc bắt đầu di chuyểnề Với mặt định hýớng thì tại ữ điểm không thể có ị vectõ pháp tuyến ngýợc hýớngề Vì thế lá ∞obius không thể là mặt định hýớng mà chỉ là mặt một phắaề

(Hình ẳềịấ

Ta có thể mở rộng khái niệm mặt định hýớng ra trýờng hợp S trõn từng khúcề

Mặt trõn từng khúc gọi là mặt định hýớng đýợc nếu cứ ị thành phần trõn của S nối với nhau dọc đýờng biên ũ thì đề có định hýớng biên ũ ngýợc nhauề ẩhi đó các vectõ pháp tuyến ở hai thành phần liên nhau sẽ chỉ cùng về ữ phắa của mặt Sề Thắ dụ hình

lập phýõng gồm ẳ mặt trõn nối theo các cạnhề ∞ặt đýợc định hýớng dýớng là mặt ngoài nếu n và các cạnh định hýớng theo từng mặt

(Hình ẳềĩấ

2 Định nghĩa tắch phân mặt loại 2

Cho các hàm ỳậxờyờzấờ ẵậxờyờzấờ Ởậxờyờzấ xác định trên mặt định hýớng S có vectõ pháp tuyến đõn vị (cos  , cos , cos  )

Tắch phân mặt loại ữ

đýợc gọi là tắch phân mặt loại ị của các hàm ỳờẵờỞ trên mặt định hýớng Sề Tắch phân

trên đýợc ký hiệu ầ

3 Cách tắnh tắch phân mặt loại 2: đýa về tắch phân kép

Trong đó S là mặt cong có phýõng trình zụzậxờyấ ậtrõn hoặc trõn từng khúcấ với vectõ pháp tuyến định hýớng phắa trên ậ phắa trên mặt cong tạo với hýớng dýõng trục ẫz ữ góc nhọn ấ

Do vế phải của ậữấ là giới hạn của tổng tắch phân mặt loại ữ

Ta cũng biết ậchýõng ữấ (3)

Với  Si : diện tắch mảnh cong  Si ,  Di là diện tắch hình chiếu mảnh cong  Si xuống mặt phẳng xy, thì vectõ pháp tuyến tạo với trục ẫz góc nhọn nên cos i >0 và

 Di lấy dấu dýõngề Thay ậĩấ vào ậịấ và qua giới hạn ta đýợcầ

Trong đó ắ là hình chiếu của S xuống mặt phẳng xyề

Nếu đổi hýớng mặt S tức cos  i < 0 và  Di lấy dấu âm thì ầ

Týõng tự ta cóầ

Trong đó ắ1, D2 là các hình chiếu của S xuống các mặt phẳng yzờ xz týõng ứngờ chọn dấu ự hay dấu Ờ tùy theo góc  và  là góc nhọn hay góc tùề

Lýu ý: Từ công thức ậ2) thấy rằng nếu mặt S là ữ phần mặt trụ có các đýờng sinh

song song trục ẫz thì do cos i = 0 , dẫn tới

Thắ dụ 1: Tắnh với S ầ mặt phắa ngoài giới hạn vật thể x2 + y2  R2, x

0, y 0, 0 z  b

(Hình ẳềởấ Mặt S đýợc hia thành ỏ mặt ầ hai đáy Sữờ Sị ờ hai mặt bên SĩờSở nằm trong các mặt phẳng xz ậyụếấ ờ yz ậxụếấ týõng ứng và mặt trụ cong Sỏ

Ta có ầ

Ba tắch phân cuối cùng ụ ế vì là các mặt trụ có đýờng sinh song song trục ẫzề

Trên mặt S1 , do z= 0, nên ầ

Trên mặt S2 , do z=h, nên ầ

Vậy ỗ ụ

Thắ dụ 2: Tắnh với S ầ mặt phắa ngoài của nửa mặt cầu

x2 + y2 + z2 = R2, z  0

Ta có ầ

Trong đó ầ S ụ S1 + S2 và S1 là phần ứng với y  0, S2 là phần ứng với y  0 Lýu ý rằng khi chuyển về tắch phân kép theo nửa hình tròn trong mặt phẳng xz thì tắch phân :

lấy dấu dýõngờ và lấy dấu âmờ hàm dýới dấu tắch phân lại

là hàm chẵn nên

Týõng tự ta có ầ ỗ2 =

Vậy ỗ ụ

Thắ dụ 3: Tắnh với S ầ mặt phắa ngoài của mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2 Gọi S1 , S2 là các nửa mặt cầu ứng với z  0 và z  0

Trên S1 ta cóầ

Trên S2 ta có ầ và khi đýa về tắch phân kép thì lấy dấu âm (do vectõ pháp tuyến hýớng xuống dýớiấờ nên ầ