giáo trình toán cao cấp a3

Ta cũng nêu lên một số dạng ma trận đặc biệt và định nghĩa khái niệm hạng của ma trận.Định nghĩa: Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Cho ma trận A  Mm x nK.. Lưu ý: Nếu e là một phép bi

Chương 1 SỐ PHỨC

I ĐỊNH NGHĨA TẬP HỢP SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN:

Tập hợp các số phức , được ký hiệu là C, được định nghĩa bởi tập hợp

với 2 phép toán cộng (+) và nhân (.) như sau:

Phép cộng (+) :

(a,b) + (c,d)= (a+c,b+d)

Phép nhân (.):

(a,b) (c,d) = (ac-bd, ad+bc)

Như vậy mỗi số phức Z theo định nghĩa là một cặp gồm 2 số thực a

và b :

Z = (a,b)

a được gọi là phần thực của số phức Z, ký hiệu là Re(z); b được gọi

là phần ảo của Z, kí hiệu là Im(z)

Ví dụ: số phức z = (-2,3) có Re(z) = -2 và Im(z) = 3

Các phép toán cộng (+) và nhân (.) các số phức được định nghĩa ở trên có các tính chất sau đây:

(tính giao hoán của phép cộng số phức)

(tính kết hợp của phép cộng)

(iii) Đặt O=(0,0) Ta có:

(iv) Với z = (a,b), đặt –z = (-a,-b) Ta có: z + (-z) = 09;

(Tính giao hoán cuả phép nhân)

Lưu ý :Về mặt cấu trúc đại số , tập số phức C với các phép toán(+) và nhân (.) được định nghĩa ở trên được gọi là "trường số phức"

Với u = (a,b) và v = (c,d ) ≠ 0, ta định nghĩa phép chia số phức nhưsau:

II DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC :

i2= (0 , 1) (0 , 1) = (-1 , 0) = -1

Vậy i là một nghiệm của phương trình z2+ 1= 0

z = (a,b) = (a ,0) + (b ,0) (0 ,1) = a + b i

Định lý: Mỗi số phức z = (a,b) được viết một cách duy nhất dưới

dạng z = a+b.i với a,b R Cách viết z = (a ,b) dưới dạng z = a + b.i được gọi là dạng đại số của số phức z, và số phức

được gọi là số phức liên hợp của z Ngoài ra, kí hiệu :

được gọi là môđun của số phức z Dễ thấy rằng và Hơn nữa, ta có:

(vi) v ≠ 0 thì

(Bất đẳng thức tam giác)

III DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:

Mỗi số phức z = (a,b) có thể được biểu diễn hình học bởi một điểm trong mặt phẳng Oxy có tọa độ (a,b) Gọi r là khoảng cách từ điểm Z(a,b) đến gốc O và là góc hợp bởi Ox và , ta có:

Vậy với mọi số phức z = (a,b) ≠ 0 đều có thể viết dưới dạng:

Với r > 0 Cách viết này được gọi là dạng lượng giác của số phức z,

góc θ được ký hiệu là arg(z).

Lưu ý rằng θ có thể lấy nhiều giá trị khác nhau và các giá trị này saikhác nhau một số nguyên lần Nếu θ là một giá trị trong các giá trị này thì ta viết:

Ví dụ:

2) Tìm dạng lượng giác của số phức

Từ đó suy ra công thức:

Công thức này được gọi là công thức Moivre

Ví dụ: Tính (1 + i )2001

V CĂN CỦA SỐ PHỨC:

Định nghĩa : Cho số phức u và n là số nguyên dương Căn bậc n

của u là tập hợp tất cả các số phức z thỏa phương trình: zn= uNhận thấy rằng căn bậc n của 0 là {0}.Ta chỉ cần tính căn bậc n của

n với u ≠ 0 Viết u dưới dạng lượng giác:

Ta sẽ tìm số phức z ở dạng lượng giác

Thỏa:

Có thể thấy rằng tập hợp này gồm n số phức khác nhau đôi một ứng với k = 0,1,……, n-1

Theo tính toán ở trên, với thì phương trình zn= u có n nghiệm phức phân biệt Tổng quát hơn, ta có định lý sau đây:

Định lý: (Định lý căn bản của đại số)

Mọi đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 1 với hệ số phức đều có nghiệm phức

a) 1 + ib) 2 – 2.i

c)

các ma trận vuông cấp n trên K được ký hiệu là Mn(K) hay vắn tắt

Ví dụ : Với

ta có A là ma trận chéo ,B là ma trận tam giác trên,C là ma trận tam giác dưới

Ma trận chéo cấp n mà tất cả các phần tử trên đường chéo đều là

1 được gọi là ma trận đơn vị, ký hiệu là In(hay vắn tắt là I)

Lưu ý: Phần tử cijcủa ma trận tích được tính từ các phần tử ở dòng

i của A và các phần tử cột j của B Ta thường nói cij bằng dòng icủa A nhân với cột j của B Phép nhân ma trận không có tính giao hoán

Mệnh đề: Giả sử A và B là các ma trận vuông giao hoán với

nhau, nghĩa là A.B = B.A Khi đó :

(i) (A.B)m= Am.Bm

(ii) Am- Bm= (A – B) (Am-1+ Am-2 B + …+ Bm-1)

Trong mục này đề cập đến các biến đổi trên ma trận được gọi là cácphép biến đổi sơ cấp trên dòng Ta cũng nêu lên một số dạng ma trận đặc biệt và định nghĩa khái niệm hạng của ma trận.

Định nghĩa: (Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng)

Cho ma trận A  Mm x n(K) Một phép biến đổi e trên ma trận A để được ma trận A’, ký hiệu , được gọi là một phép biến đổi sơ cấp trên dòng nếu phép biến đổi e thuộc 3 loại sau đây:Loại 1: Hoán vị 2 dòng r và s Ta viết:

Loại 2: Nhân dòng r với một số Ta viết:

Loại 3: Thay dòng r bởi (dòng r + c dòng s) với Tathường nói là lấy dòng r cộng c lần dòng s, và viết:

Ví dụ:

Lưu ý: Nếu e là một phép biến đổi sơ cấp trên dòng thì có phép

biến đổi sơ cấp trên dòng e’cùng loại với e sao cho:



Định nghĩa: (Sự tương đương dòng)

Ta nói ma trận A là tương đương dòng với ma trận B khi B có được

từ A bằng một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng:

Kí hiệu: A  B

Mệnh đề:Quan hệ tương đương dòng có các tính chất sau đây:

(i) A A (tính phản xạ)

(ii) Nếu A  B thì B  A (tính đối xứng)

(iii) Nếu A ~ B và B C thì A  C (tính bắc cầu)

Chú ý: Ta cũng có định nghĩa các phép biến đổi sơ cấp trên cột

tương tự như định nghĩa các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Ví dụ:

Vậy: A  R

Định nghĩa: (ma trận sơ cấp)

Một ma trận vuông S được gọi là ma trận sơ cấp khi có một phép biến đổi sơ cấp trên dòng e sao cho Khi đó ta viết :

Do A  B nên có phép bíên đổi sơ cấp trên dòng e1, e2, …,ek saocho:

Đặt S1= e1(I) , S2= e2(I) ,…., Sk= ek(I) Theo mệnh đề trên ta có:

A1= S1.A , A2= S2 A1 ,…, Ak= Sk Ak-1

Suy ra: B = Sk…… S2S1.A

Định nghĩa: (ma trận bậc thang rút gọn)

Một ma trận R  Mm xn(K) được gọi là có dạng bậc thang rút gọn (hay rút gọn theo dòng từng bậc) nếu có các điều kiện sau đây:

(i) Các dòng zero (nếu có) phải ở bên dưới các dòng kháczero (nếu có)

(ii) Phần tử đầu tiên khác 0 trên các dòng khác zero (nếu có) là số 1, gọi là số 1 chuẩn, và trên cột của số 1 chuẩn thìtất cả các phần tử khác là 0

(iii) Nếu r là số dòng khác zero và số 1 chuẩn của dòng thứ

i (i=1,….,r) nằm trên cột kithì:

k1< k2<…….<kr.Các cột k1, k2, ….,krđược gọi là các cột chuẩn cấp m

Ví dụ:

là ma trận bậc thang rút gọn và các cột chuẩn cấp 3 trong R là:

Định lý: Mọi ma trận đều tương đương dòng với một ma trận có

dạng bậc thang rút gọn duy nhất

Ký hiệu ma trận bậc thang rút gọn tương đương dòng với ma trận

A là RA( hay vắn tắt là R nếu không có gì nhầm lẫn)

Ví dụ : Tìm RAvới

Ta có

R là ma trận dạng bậc thang rút gọn của A.

Định nghĩa (hạng của ma trận )

Cho A là một ma trận Số dòng khác zero của ma trận dạng bậc thang rút gọn của A được gọi là hạng của ma trận A, ký hiệu làr(A)

Lưu ý:Trong định nghĩa của ma trận bậc thang rút gọn ta có 3

điều kiện (i), (ii) và (iii) Nếu một ma trận thỏa điều kiện (i) và (iii),điều kiện (ii) có thể không được thỏa , thì ta nói A là ma trận dạng bậc thang Có thể nhận thấy rằng từ ma trận dạng bậc thang ta có thể biến đổi sơ cấp trên dòng để có được ma trận bậc thang rút gọn

và trong quá trình biến đổi thì số dòng khác zero của ma trận làkhông đổi Vậy, nếu B là một ma trận bậc thang tương đương dòngvới A thì ta có:

r(A) = số dòng khác zero cuả B

Qua ví dụ trên ta thấy rằng có thể tìm dạng bậc thang rút gọn của một ma trận bằng cách tiến hành như sau: sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng một cách thích hợp để xây dựng tuần tự các cột chuẩn E1, E2 ,… trong ma trận theo chiều từ trái qua phải, mà

ta gọi tắt quá trình này là chuẩn hóa

Liên quan đến hạng của ma trận , ta có các tính chất được nêu trongmệnh sau đây:

Mệnh đề :Cho A là một ma trận cấp mxn Khi đó:

(i) r (RA) = A

(ii) 0 ≤ r(A) ≤ min(m,n)

(iii) nếu  thì r(A) = r(B)

Các dạng khác của hệ phương trình tuyến tính :

Hệ phương trình tuyến tính (*) có thể được viết một trong hai dạng sau đây :

Ví dụ: Hệ phương trình tuyến tính

gồm 3 phương trình ,4 ẩn có ma trận hệ số là

cột hệ tự do là và cột ẩn là

Ma trận mở rộng của hệ phương trình là:

Liên quan đến số nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính người

ta chứng minh được định lý sau :

Định lý :Đối với một hệ phương trình tuyến thì chỉ có một trong

3 trường hợp nghiệm xảy ra là: hoặc có nghiệm duy nhất ,hoặc vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm

Nhận xét: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ít nhất một

tầm thường của hệ phương trình Do đó hệ phương trình tuyến tính thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường hoặc có vô số nghiệm.

2 Định lý cơ bản cho việc giải hệ phương trình tuyến tính Định lý: Cho hai hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình

với n ẩn có các ma trận mở rộng lần lượt là (A | B) và (C|D) Khi

đó nếu (A | B) ~ (C | D) thì hai hệ phương trình là tương đươngnhau , nghĩa là chúng có cùng tập hợp nghiệm

(2)

Do e là một phép biến đổi sơ cấp trên dòng nên ta có các trường hợp sau đây đối với e:

(i) e là loại 1 (dp  dq):trong trường hợp này thì hiển nhiên

là (1) đúng

(ii) e là loại 2 (a dp với a 0)

Trong trường hợp này thì từ (2) suy ra

Vậy trong cả 3 trường hợp (1) đều đúng, nghĩa là ta được điều cần chứng minh.

Nhận xét : Từ định lý trên, suy ra rằng nếu ta có quá trình biến

đổi sơ cấp từ ma trận mở rộng (A | B) của hệ phương trình tuyến tính như sau:

thì hệ phương trình tuyến tính A’X = B’ là tương đương với hệ phương trình AX=B Vậy để tìm nghiệm của hệ AX = B thế giải hệ A’X = B’

3 Phương pháp Gauss-Jordan.

Dựa vào định lý cơ bản cho việc giải hệ phương trình tuyến tính được trình bày ở trên ta có thể giải hệ phương trình tuyến tính AX=B bằng phương pháp Gauss-Jordan Gauss-Jordan gồm các bước sau đây:

Bước 1: Viết ra dạng ma trận hóa:

Bước 3 : (Trường hợp hệ phương trình có nghiệm )

Ma trận bậc thang rút gọn R tìm được trong bước 2 có một trong 2 dạng sau:

Dạng 1: R có n dòng khác zero (hay hạng ma trận là n)

Trong trường hợp này ta kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:

Dạng 2 :R có r dòng khác zero với r < n

với là các vị trí của các số 1 chuẩn trên các dòng từ dòng

1 đến dòng r

Trong trường hợp này ta thấy hệ phương trình tương đương với rphương trình cho ta các hệ thức tính được các ẩn Theo các ẩn khác Vậy trong trường hợp này hệ phương trình co vô

số nghiệm trong đó có(n-r) ẩn lấy giá trị tùy ý và r ẩn còn lại tính theo (n-r) ẩn lấy giá trị tùy ý đó

Các ẩn lấy giá trị tùy ý sẽ được gọi là các ẩn tự do

Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:

2) Giải hệ phương trình

Dạng ma trận hóa của hệ phương trình là

Thực hiện biến đổi sơ cấp trên dòng:

Dòng thứ 3 có dạng nên hệ phương trình vô nghiệm

3) Giải hệ phương trình

Tiến hành biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận mở rộng của

hệ phương trình:

Suy ra hệ phương trình có vô số nghiệm với 2 ẩn tự do (x3và x5):

và hệ phương trình có vô số nghiệm như sau :

với a , b tùy ý

Nếu m-1 0, tức là m  1 thì tiếp tục biến đổi ma trận(*) như sau:

+ Khi m+3 0, tức là m  -3 thì hệ phương trình vô nghiệm + Khi m = -3 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

x = y = z = -1

Tóm lại:

Nếu m  1 và m  -3 thì hệ vô nghiệm

Nếu m = -3 thì hệ có nghiệm duy nhất x = y = z = -1

Nếu m = 1 thì hệ có vô số nghiệm như sau :

a, b tùy ý

4 Định lý Kroneker Capelli

Từ phương pháp Gauss-Jordan ta có sự liên hệ giữa số nghiệm của

hệ phương trình tuyến tính AX = B với hạng của ma trận hệ số A

và ma trận mở rộng à = (A | B) được phát biểu trong định lý sau đây:

Định lý: (Kronecker _ Capelli)

Cho hệ phương trình tuyến tính theo n ẩn :

AX = B

Đặt à = (A | B) là ma trận mở rộng của hệ phương trình Khi đó ta

có r(Ã) = r(A) hoặc r(Ã) = r(A) + 1

Hơn nữa,

(i) Nếu r(Ã) = r(A) + 1 thì hệ vô nghiệm

(ii) Nếu r(Ã) = r(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất

(iii) Nếu r(Ã) = r(A) < n thì hệ có vô số nghiệm với số ẩn tự

do (hay bậc tự do) là n - r(A)

Hệ quả: Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất A X = 0 với

b.Khi A khả nghịch thì với k là số nguyên âm , ta định nghĩa

Ví dụ : Cho

= BNgoài ra,

Mệnh đề : Cho A , B là các ma trận vuông cùng cấp Khi đó :

(i) Nếu A khả nghịch thì A-1,cA với c  0 cũng khả nghịch và

(ii) A và B khả nghịch <=> AB khả nghịch Hơn nữa,

(iv) A là tích của một số hữu hạn các ma trận sơ cấp

Ví dụ : Chứng minh ma trận sau đậy là không khả nghịch :

Biến đổi sơ cấp để tính hạng của ma trận A:

Ta có r ( A ) = 2 < 3 , nên A không khả nghịch

Mệnh đề sau đây cho ta cách tính ma trận nghịch đảo (của một ma trận khả nghịch) bằng cách biến đổi sơ cấp trên dòng Theo cáchnày ta nói rằng ma trận nghịch đảo được tính bằng phương phápGauss-Jordan

Mệnh đề :Cho ma trận A khả nghịch (tức là A  I ) Giả sử dãycác biến đổi sơ cấp trên dòng biến A thành I nghĩa là

Khi đó, dãy biến đổi sơ cấp sẽ biến I thành A-1.Tức là

Lưu ý : Trong thực hành tính toán A-1 bằng phương pháp Gauss –Jordan ta thực hiện biến đổi sơ cấp trên dòng đôi cuả ma trận (A|I):

Ví dụ : Cho

Tìm A-1(nếu có ).

Dùng phương pháp Gauss – Jordan:

Suy ra A khả nghịch và

IV GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN:

Ma trận khả nghịch có thể được dùng để giải một số dạng phươngtrình ma trận như sau :

(a) Phương trình AX = B với ma trận A khả nghịch Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất là :

(b) Phương trình A X = B với A khả nghịch Khi đó phương trình

Ta có A khả nghịch và

Suy ra phương trình X.A = B có nghiệm duy nhất là

2) Giải phương trình X.C = B với

Ta có C khả nghịch và

Suy ra phương trình XA = B có nghiệm duy nhất là

3) Giải phương trình A x C = B với

A và C khả nghịch nên phương trình có nghiệm duy nhất là

Bài 8 Giả sử A là ma trận vuông và có k 2 sao cho Ak

=0.a) Chứng minh B = I – A khả nghịch và tính B-1theo I và A

và

Chương 3 ĐỊNH THỨC

I ĐỊNH NGHĨA ĐỊNH THỨC:

Cho A = (aij) là một ma trận vuông cấp n Định thức của ma trận A,

được ký hiệu bởi |A| hoặc det(A), là một giá trị được tính từ các

phần tử aijcủa ma trận cách qui nạp như sau:

3) Qui tắc Sarrus cho định thức của ma trận cấp 3

Từ đó ta có thể tính  A  bằng cách đơn giản sau đây :

Ghi lại cột thứ nhất và thứ hai bên phải ma trận A tạo thành một ma trận 3 dòng 5 cột Khi đó  A  sẽ bằng tổng các tích trên "đường chéo chính" trừ đi tổng các tích trên "đường chéo phụ" như sơ đồ sau:

Tức là

Qui tắc này gọi là qui tắc SARRUS để tính định thức cấp 3.

II CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC:

Trong phần này ta sẽ phát biểu mà không chứng minh một số tính chất của định thức

1 Định lý về khai triển định thức theo dòng và theo cột.

Định lý: Cho ma trận A = (aij) vuông và có cấp n Với i, j tùy ý ta

có :

trong đó

Công thức (1) được gọi là công thức khai triển định thức theo dòngthứ i, và công thức (2) là công thức khai triển định thức theo cột thứ j

Ví dụ :

1)

Nhận xét

(i) Nếu ma trận A có dòng zero hay có một cột zero thì |A|=0

(ii) Nếu A = (aij) là ma trận tam giác cấp n thì

nghĩa là A  bằng tích các phần tử trên đường chéo của A.Suy ra: I  = 1 ,và  O  = 0

(m nguyên dương)

3 Định thức và các phép biến đổi sơ cấp.

Định lý :Cho A là một ma trận vuông và e là một phép biến đổi

sơ cấp trên dòng Giả sử :

Khi đó

Nếu e là phép hoán vị 2 dòng thì A’  = -  A 

Nếu e là phép nhân 1 dòng cho một số c thì A’  = c  A

Hệ quả : Nếu ma trận vuông A có 2 dòng (hay 2 cột ) bằng nhau

hay tỉ lệ thì | A | = 0

Ví dụ :

1)

Trong phần này sẽ nêu lên 2 áp dụng của định thức :

trong đó: adj(A) = (Cij)t(chuyển vị của ma trận các đồng thừa).Ta gọi là ma trận adj(A) là ma trận phó của A

2) Cho Tìm A-1.

ta có

nên A khả nghịch

Vậy

3) Cho với m là tham số Tìm m để A khả nghịch

(iii) Nếu và thì hệ phương trình (*) có

vô số nghiệm hoặc vô nghiệm Trong trường hợp này ta phải giải trực tiếp bằng phương pháp Gauss – Jordan để có kế luận chính xác