GIÁO TRÌNH TOÁN CAO cấp a3 đại học

GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A3 ĐẠI HỌC Toán cao cấp A1, A2, A3 là chương trình toán đại cương dành cho sinh viên các nhóm ngành toán và nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật. Nội dung của toán cao cấp A1, A3 chủ yếu là phép tính vi tích phân của hàm một hoặc nhiều biến, còn toán cao cấp A2 là các cấu trúc đại số và đại số tuyến tính.

Trang 1

Chương 1 Hàm số nhiều biến

TOÁN CAO CẤP A3 ĐẠI HỌC

1 Đại cương về hàm số nhiều biến

2 Đạo hàm – Vi phân

3 Cực trị của hàm số nhiều biến

PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH

Số tiết học: 30

GV: ThS Đoàn Vương Nguyên

Chương 2 Tích phân bội

1 Tích phân bội hai (kép)

2 Tích phân bội ba

3 Ứng dụng của tích phân bội

Chương 3 Tích phân đường

Tích phân mặt

1 Tích phân đường loại 1

2 Tích phân đường loại 2

Tài liệu tham khảo

3 Giải tích hàm nhiều biến (Toán 3)

– Đỗ Công Khanh (chủ biên)

– XBĐHQG TP HCM.

4 Giải tích hàm nhiều biến (Toán 4)

– Đỗ Công Khanh (chủ biên)

– Phan Quốc Khánh – XB Giáo dục

6 Phép tính Giải tích hàm nhiều biến

– guyễn Đình Trí (chủ biên) – XBGD

7 Tích phân hàm nhiều biến

– Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh

– XB KH và Kỹ thuật.

8 Bài tập Giải tích (tập 2)

– guyễn Thủy Thanh – XB Giáo dục

Download Slide bài giảng Toán A3 tại

dvntailieu.wordpress.com

Chương 1 Hàm số nhiều biến

§1 KHÁI IỆM CƠ BẢ 1.1 Định nghĩa 1.2 Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục

§2 ĐẠO HÀM RIÊ G – VI PHÂ 2.1 Đạo hàm riêng

2.2 Vi phân 2.3 Đạo hàm của hàm số hợp 2.4 Đạo hàm của hàm số 8n

§3 CỰC TRN CỦA HÀM HAI BIẾ SỐ 3.1 Định nghĩa

3.2 Định lý điều kiện cần và đủ 3.3 Cực trị tự do

3.4 Cực trị có điều kiện

Trang 2

§1 KHÁI IỆM CƠ BẢ

1.1 Định nghĩa

• Cho 2

D ⊂ ℝ Tương ứng f : D → ℝ ,

(x, y)֏z=f (x, y)

duy nhất, được gọi là hàm số 2 biến x và y

• Tập D được gọi là MXĐ của hàm số và

f (D)={z∈ℝz=f (x, y), (x, y)∀ ∈D} là miền giá trị

– Nếu M(x, y) thì D là tập hợp điểm M trong ℝ 2 sao cho

f(M) có nghĩa Miền D thường là miền liên thông, nghĩa là

nếu M, N thuộc miền D mà tồn tại 1 đường nối M với N

nằm hoàn toàn trong D thì D là liên thông

• Khi cho hàm số f(x, y) mà không nói gì thêm thì ta hiểu

MXĐ D là tập tất cả (x, y) sao cho f(x, y) có nghĩa

• Hàm số n biến f(x1, x2,…, xn) được định nghĩa tương tự

mp mở biên d: 2x + y – 3 không chứa O(0; 0)

1.2 Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục

• Dãy điểm M n (x n ; y n ) dần đến điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) trong ℝ 2 , ký hiệu Mn→ M0 hay (x ; y )n n → (x ; y )0 0 , khi n → +∞ nếu

n lim f (x , y ) L

• Nếu khi Mn→ M0 trên 2 đường khác nhau mà dãy

{f(xn, yn)} có hai giới hạn khác nhau thì

( x,y)lim(0,0)f (x, y)

→ không tồn tại

Giải

Xét dãy điểm {M n(x ; y n n) } Khi Mn→O(0; 0) trên đường y = x thì

2 2 ( x ,y) (0,0) ( x ,y ) (0,0)

lim f (x, y) lim

→ = → = Khi Mn→O(0; 0) trên đường y = 2x thì

2 2 ( x ,y) (0,0) ( x ,y) (0,0)

lim f (x, y) lim

→ = → = Vậy lim f (x, y) không tồn tại

Trang 3

Hàm số liên tục

• Hàm số f(x, y) xác định trong D chứa M 0 , ta nói f(x, y)

liên tục tại M 0 nếu tồn tại

§2 ĐẠO HÀM RIÊ G – VI PHÂ

2.1 Đạo hàm riêng

a) Đạo hàm riêng cấp 1

• Cho hàm số f(x, y) xác định trên D chứa M0(x0, y0) Nếu

hàm số 1 biến f(x, y0) (y0 là hằng số) có đạo hàm tại x = x0

thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng theo biến x của hàm

• Tương tự ta có đạo hàm riêng theo biến y tại (x0, y0) là:

VD 1 Tính các đạo hàm riêng của hàm

VD 2 Tính các đạo hàm riêng của hàm z = x y

 

Chú ý

• Với hàm n biến ta có định nghĩa tương tự.

VD 4 Tính các đạo hàm riêng của 2

f =e z

Trang 4

b) Đạo hàm riêng cấp cao

VD 5 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của

3 2 3 4

f x y =x e +x y −y tại ( 1; 1) −

Giải

• Các đạo hàm riêng cấp hai của hàm n biến và đạo

hàm riêng cấp cao hơn được định nghĩa tương tự.

Định lý (Schwarz)

• Nếu hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng fxy và fyx

liên tục trong miền D thì fxy = fyx.

Chương 1 Hàm số nhiều biến2.2 Vi phân

α β→ khi ( , ∆ ∆ →x y) (0,0) , ta nói f khả vi tại M 0

• Biểu thức A x.∆ + ∆B y được gọi là vi phân cấp 1 (toàn

phần) của f(x, y) tại M 0 (x 0 , y 0) ứng với ∆ ∆ x, y

Ký hiệu df(x 0 , y 0)

• Hàm số f(x, y) khả vi trên miền D nếu f(x, y) khả vi tại mọi

(x, y) thuộc D

hận xét

• Nếu f(x, y) khả vi tại M 0 thì f(x, y) liên tục tại M 0

x

A x

y

B y

Trang 5

• Nếu hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục tại M 0

trong miền D chứa M 0 thì f(x, y) khả vi tại M 0

Trang 6

2.3 ðạo hàm của hàm số hợp

• Cho hàm số f(u, v), trong đó u = u(x) và v = v(x) là những

hàm số của biến x Nếu f(u, v) là hàm khả vi của biến u, v và

dx dx dx là các đạo hàm toàn phần theo x

f u v =u −uv+ v u=e− v= x Tính df

dx

• Nếu hàm số f(x, y) khả vi của biến x, y và y = y(x) là hàm

/

( , )( , ), ( , ) 0

x y

Xác định hàm số Nn y(x) trong phương trình x 2 + y 2 – 4 = 0

VD 15 Cho − x+ y=0

xy e e Tính ( )y x′

Trang 7

Tương tự: đối với hàm ẩn hai biến

• Cho hàm số Nn hai biến z = f(x, y) xác định bởi phương

/

( , , )( , )

( , , )

x x

/

( , , )(

, , )., )

(

y y

VD 18 Cho hàm Nn z(x, y) thỏa phương trình:

VD 19 Cho hàm Nn z(x, y) thỏa phương trình mặt cầu:

§3 CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ

• Hàm số z = f(x, y) đạt cực trị (địa phương) tại điểm

M0(x0; y0) nếu với mọi điểm M(x, y) khá gần nhưng khác M0 thì hiệu f(M) – f(M0 ) có dấu không đổi

• N ếu hiệu f(M) – f(M0 ) > 0 thì f(M0 ) là cực tiểu và M0 là

điểm cực tiểu của z

• N ếu hiệu f(M) – f(M0 ) < 0 thì f(M0 ) là cực đại và M0 là

điểm cực đại của z

Cực đại và cực tiểu gọi chung làcực trị.

VD 1 Hàm số f(x, y) = x 2

+ y 2 – xy đạt cực tiểu tại O(0; 0)

Trang 8

điểm dừng , M0 có thể không là điểm cực trị của z

Chương 1 Hàm số nhiều biến b) Điều kiện đủ

• Giả sử f(x, y) có điểm dừng là M0 và có đạo hàm riêng cấp

hai tại lân cận điểm M0

(điểm M0 được gọi là điểm yên ngựa)

N ếu AC – B 2 = 0 thì chưa thể kết luận hàm số có cực trị hay không (ta dùng định nghĩa để xét)

3.3 Cực trị tự do

• Cho hàm số z = f(x, y) Để tìm cực trị của hàm f(x, y) trên

MXĐ D, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Tìm điểm dừng M0(x0; y0 ) bằng cách giải hệ:

/

0 0 /

0 0

( , ) 0 ( , ) 0

Bước 3 Dựa vào điều kiện đủ để kết luận

VD 2

Tìm điểm dừng của hàm số z = xy(1 – x – y)

Trang 9

VD 5

Tìm cực trị của hàm số z = 3x 2 y + y 3 – 3x 2 – 3y 2 + 2

Chương 1 Hàm số nhiều biến3.4 Cực trị có điều kiện

• Cho hàm số z = f(x, y) xác định trên lân cận của điểm

M0(x0; y0 ) thuộc đường cong ϕ( , )x y = 0 N ếu tại điểm M0

hàm số f(x, y) đạt cực trị thì ta nói điểm M0 là điểm cực trị

của f(x, y) với điều kiện ϕ( , )x y = 0

• Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số f(x, y) ta dùng

phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange

f(x, y) = xy với điều kiện 2x + 3y – 5 = 0

Phương pháp nhân tử Lagrange

• Bước 3 Tính vi phân cấp hai tại M0(x0; y0) ứng với λ0 :

Điều kiện ràng buộc:

d L x y thì điểm M không là điểm cực trị

VD 8 Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = 2x + y

với điều kiện x2 + y2 = 5

Trang 10

Chương 2 TÍCH PHÂN BỘI

§1 TÍCH PHÂ BỘI HAI (KÉP)

1.1 Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong) 1.2 Định nghĩa

1.3 Tính chất của tích phân kép 1.4 Phương pháp tính tích phân kép

§2 TÍCH PHÂ BỘI BA

2.1 Bài toán mở đầu (khối lượng vật thể) 2.2 Định nghĩa

2.3 Phương pháp tính tích phân bội ba

§3 Ứ G DỤ G CỦA TÍCH PHÂ BỘI

3.1 Diện tích, thể tích 3.2 Giá trị trung bình của hàm số trên miền đóng 3.3 Khối lượng

3.4 Momen tĩnh 3.5 Trọng tâm 3.6 Momen quán tính

§1 Tích phân bội hai (kép)

1.1 Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong)

• Xét hàm số z = f(x,y)

liên tục, không âm và

một mặt trụ có các

đường sinh song song

với Oz, đáy là miền

phẳng đóng D trong

mặt phẳng Oxy.

Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần không dẫm nhau, diện tích mỗi phần là ∆S i(i=1,n)

N hư vậy khối trụ cong được chia thành n khối trụ nhỏ Trong mỗi ∆S i ta lấy điểm M i (x i ; y i) tùy ý

(ứng với phân hoạch ∆S i và các điểm M i)

i

không phụ thuộc vào phân hoạch ∆S i và cách chọn

điểm M i thì số thực I được gọi là tích phân bội hai

của f(x, y) trên D

Ký hiệu

I =∫∫ f x y dS( , )

Trang 11

Chú ý

1) N ếu chia D bởi các đường thẳng song song với các

trục tọa độ thì ∆S i = ∆x i ∆y i hay dS = dxdy.

là thể tích hình trụ có các đường sinh song song với

Oz, hai đáy giới hạn bởi các mặt z = 0 và z = f(x, y)

1.3 Tính chất của tích phân kép

• Tính chất 1

Hàm số f(x, y) liên tục trên D thì f(x, y) khả tích trên D

• Tính chất 2(tính tuyến tính) [ ( , ) ( , )]

1

( )

( ) ( )

( )

( , )

x y d

1

( )

( ) ( )

( )

y x b

x y d

Trang 12

Giải

VD 1 Xác định cận ở tích phân lặp khi tính tích phân

( , )

D

I =∫∫ f x y dxdy trong các trường hợp sau:

1) D giới hạn bởi các đường y = 0, y = x và x = a > 0

2) D giới hạn bởi các đường y = x2 và x + y = 2

Đổi thứ tự lấy tích phân

c x y

I =∫ ∫dy f x y dx

VD 3 Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau:

−

VD 3 Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau:

Trang 13

1.4.2 Phương pháp đổi biến

a) Công thức đổi biến tổng quát

Định lý

• Giả sử x = x(u, v), y = y(u, v) là hai hàm số có các

đạo hàm riêng liên tục trên miền đóng giới nội D uv

x y J

B(0;2) trong mpOuv Gọi miền D xy là ảnh của D uv qua

miền biến hình D xy = g(D uv)

mpOuv Gọi miền D xy là ảnh của D uv qua phép biến

hình g: (x, y) = g(u, v) = (u2 – v2, 2uv) Tính tích phân

của hàm

1( , )

f x y

=

+ trên miền biến hình D xy

VD 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4

parapol: y = x2, y = 2x2, x = y2 và x = 3y2

b) Đổi biến trong tọa độ cực

• Đổi biến: cos

Trang 14

Chú ý

1) Đổi biến trong tọa độ cực thường dùng khi biên

D là đường tròn hoặc elip

vào phương trình của biên D

3) N ếu cực O nằm trong D và mỗi tia từ O chỉ cắt biên

D tại 1 điểm thì:

( ) 2

4) N ếu cực O nằm trên biên D thì:

2

1

( )

0( cos , sin )

VD 10 Tính diện tích miền D (cắt tia Oy) giới hạn

bởi: y = –x, x2+y2=3 x2+y2−3x và y ≥ 0

Trang 15

n n n

0!! = 1!! = 1; 2!! = 2; 3!! = 1.3; 4!! = 2.4;

5!! = 1.3.5; 6!! = 2.4.6; 7!! = 1.3.5.7; 8!! = 2.4.6.8;…

MỘT SỐ MẶT BẬC HAI

TRO G KHÔ G GIA Oxyz

Trang 16

Chương 2 TÍCH PHÂN BỘI Chương 2 TÍCH PHÂN BỘI

§2 TÍCH PHÂ BỘI BA

2.1 Bài toán mở đầu (khối lượng vật thể)

• Giả sử ta cần tính khối lượng của vật thể V không

đồng chất, biết mật độ (khối lượng riêng) tại P(x, y, z)

là ρ = ρ( )P = ρ( , , )x y z

Ta chia V tùy ý thành n phần không dẫm nhau, thể tích

mỗi phần là ∆V i (i=1,2,…,n) Trong mỗi ∆V i ta lấy

điểm P i (x i ; y i ; z i ) và đường kính của ∆V i là d i

Trang 17

• Cho hàm số f(x, y, z) xác định trong miền đo được V

của không gian Oxyz

Chia miền V (bài toán mở đầu) và lập tổng tích phân:

không phụ thuộc vào cách chia V và cách chọn điểm P i

thì số thực I được gọi là tích phân bội ba của hàm số

2) Tích phân bội ba có các tính chất như tích phân kép

Khi đó:

2

1 2

1

( , )

( , ) ( , )

a) Giả sử miền V có giới hạn trên bởi mặt z = z2(x, y),

giới hạn dưới bởi z = z1(x, y), giới hạn xung quanh

bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz

Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxy

2.3 Phương pháp tính tích phân bội ba

2.3.1 Đưa về tích phân lặp

b) Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxz Giả sử miền

V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Oy) bởi hai mặt y = y2(x, z) và mặt y = y1(x, z), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song Oy

Khi đó:

2

1 2

1

( , )

( , ) ( , ) ( , )

c) Gọi D là hình chiếu của V trên mpOyz Giả sử miền

V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Ox) bởi hai

mặt x = x2(y, z) và mặt x = x1(y, z), giới hạn xung

quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song Ox

Khi đó:

2

1 2

1

( , )

( , ) ( , ) ( , )

Trang 18

và dựng miền lấy tích phân V

VD 3 Tính tích phân

V

I =∫∫∫ydxdydz với V giới hạn bởi x + y + z – 1 = 0 và 3 mặt phẳng tọa độ

2.3.2 Đổi biến tổng quát

Giả sử các hàm x, y, z có đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng, giới nội đo được V uvw trong không gian

Ouvw và J≠ thì: 0

( , , )

( ( , , ), ( , , ), ( , , ))

uvw V

VD 5 Tính thể tích của khối elipxoit

r≥ −π ≤ ϕ ≤ π 0,

Trang 19

VD 6 Tính thể tích khối V giới hạn bởi các mặt

x +y =z và z = 1

2.3.3 Đổi biến trong tọa độ cầu

r r r

Trang 20

V là miền giới hạn bởi: x2+y2+z2≤ và 4 z≥ 0

VD 11 Tính tích phân

V

I =∫∫∫ x +y +z dxdydz

với V là miền giới hạn bởi: x2+y2+z2− ≤ z 0

§3 Ứ G DỤ G CỦA TÍCH PHÂ BỘI

(tham khảo)

3.1 Diện tích, thể tích

(xem nhận xét tích phân bội hai, ba)

3.2 Giá trị trung bình của hàm số trên miền đóng

• Giá trị trung bình của hàm số f(x, y) trên miền đóng

• Cho một bản phẳng chiếm miền D đóng trong Oxy có

khối lượng riêng (mật độ khối lượng) tại điểm M(x, y)

thuộc D là hàm ρ( , )x y liên tục trên D Khối lượng của

bản phẳng là:

( , )

D

m=∫∫ ρx y dxdy

• Cho một vật thể chiếm miền V đóng trong Oxyz có

khối lượng riêng tại điểm M(x, y, z) thuộc V là hàm

M z=0 = mz, M x=0 = mx, M y=0 = my

Trang 21

Công thức tính

• Momen tĩnh của bản phẳng chiếm diện tích D trong

Oxy có khối lượng riêng tại điểm M(x, y) là hàm

• Momen tĩnh của vật thể chiếm miền V trong Oxyz có

khối lượng riêng tại điểm M(x, y, z) là hàm ρ ( , , )x y z

V y

D D

D G

D D

x y dxdy

ρ

ρρ

• Cho vật thể chiếm thể tích V trong Oxyz có khối

lượng riêng tại điểm M(x, y, z) là hàm ρ ( , , )x y z liên tục

trên V Khi đó, tọa độ trọng tâm G của vật thể là:

V G

V

m

y x y z dxdydz m

V G

V

ydxdydz V

zdxdydz V

• Momen quán tính của một chất điểm có khối lượng

m đặt tại điểm M(x, y) đối với trục Ox, Oy và gốc tọa

độ O theo thứ tự là:

I x = my2, I y = mx2 và I O = I x + I y = m(x2 + y2)

m đặt tại điểm M(x, y, z) đối với trục Ox, Oy, Oz và

gốc tọa độ O theo thứ tự là:

I x = m(y2 + z2), I y = m(x2 + z2), I z = m(x2 + y2)

và I O = I x + I y + I z = m(x2 + y2 + z2).

m đặt tại điểm M(x, y, z) đối với các mặt phẳng tọa độ

Oxy, Oyz, Oxz thứ tự là:

x D y D O D

Tiêu đề	Giáo trình Toán cao cấp A3 đại học
Tác giả	Nguyễn Phú Vinh, Đỗ Công Khanh, Đoàn Vương Nguyên, Phan Quốc Khánh, Nguyễn Đình Trí, Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh, Nguyễn Thủy Thanh
Người hướng dẫn	ThS. Đoàn Vương Nguyên
Trường học	Đại học Quốc gia TP. HCM
Chuyên ngành	Toán cao cấp
Thể loại	Giáo trình
Thành phố	TP. HCM

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	5,45 MB