CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 20 doc

Bài 20 VÀI MÔ HÌNH ĐƠN GIẢN VỀ HỆ HẠT... Bây giờ ta sẽ dùng những suy luận chung ở bài 18 và bài 19 để nghiên cứu nguyên tử và hệ hạt với những dao động nhỏ Tạm thời, ta bỏ qua ảnh hưởn

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Nguyễn Văn Khiêm

Bài 20 VÀI MÔ HÌNH ĐƠN GIẢN VỀ HỆ HẠT

Bây giờ ta sẽ dùng những suy luận chung ở bài 18 và bài 19 để nghiên

cứu nguyên tử và hệ hạt với những dao động nhỏ

Tạm thời, ta bỏ qua ảnh hưởng của spin đối với chuyển động

1.Nguyên tử như hệ hai hạt

Trong bài 18 và bài 19, khi xét chuyển động của electron quang học trong nguyên tử, ta đã coi hạt nhân là tâm lực bất động và là đối

tượng cỏ điển

Điều này được biện hộ bởi việc khối lượng hạt nhân là rất lớn so với

electron, và vì thế nó có độ ỳ lớn

Tuy nhiên, việc coi nó là đối tượng cổ điển dù sao cũng khá thô, vì nố

vẫn không thể so sánh được với các đối tượng vĩ mô

Vì vậy, để có kết qủa chính xác hơn, ở đây ta sẽ coi cả hạt nhân là đối

Ký hiệu m1 là khối lượng hạt nhân, m2 khối lượng electron, ta

có phương trình trạng thái dừng của nguyên tử là:

2 2 2

2 2

1 1

2

22





Đặt R( X Y Z)

m m

r m r

m

,

,

2 1

2 2 1

1  

=+

+Khi đó R  là bộ ba tọa độ của khối tâm

2 1

m m

m

m

+

= µ

còn ~2

∇ lấy theo x, y, ztức là liên quan đến chuyển động tương đối giữa hai hạt

2

1 m m

2 1

2

1

m m

∇

m

2 2

là năng lượng của chuyển động tương đối hay nội năng của hệ

Phương trình (20.4) hiển nhiên là phương trình chuyển động của

hạt có khối lượng µ trong trường xuyên tâm U(r)

Các mức năng lượng liên quan đến hằng số Rydberg - Ritz:

Trong biểu thức này trước đây ta lấy µ bằng khối lượng electron thì

ở đây phải lấy µ là khối lượng rút gon của hệ

Cũng vơí giá trị µ như vậy, các mức nội năng sẽ là:

)3,2,1,(

Chú ý rằng ở đây ta đã bỏ qua spin của hạt

( )Ψ = Ψ (20.4)

+ Ψ

∇

m

2 2

2 ~ 2



2 Dao động nhỏ của hệ hạt

Trước hết xét hệ hai hạt cùng có khối lượng là µ

Ký hiệu x1, x2 là độ lệch của hai hạt so với vị trí cân bằng

2

2

,2

2

x x

µ



trong đó ω là tần số dao động riêng của mỗi hạt (khi không có tương tác)

λx1x2 +… là năng lượng tương tác

Để đơn giản hóa vấn đề, sau đây ta sẽ bỏ qua các số hạng chưa có mặt

trong U và Hˆ (bậc cao hơn các số hạng đã viết)

(q q ) (20.7)

x

q q

2

2 1

1

2 1 2 1

2

2 2

1

1 1

1

x x

q

x x

q

x x

q

ψ ψ

ψ ψ

ψ

2 2

2

2 1

2

2 1

2

2 2

1

x x x

x q

ψ ψ

ψ ψ

Do đó:

2 2

2

2 1

2

2 2

2

2 1

2

q q

x

∂+

∂

Vì vậy:

(20.8)

2 2

2 2

2 1

2 1 2

2

2

2 1

2 2

22

2

q q

µ  ∂  + +

∂+

ω

µ

λ ω

ω

2

2 2

2 2

1

Biểu thức (20.8) cho thấy:

về mặt toán học, ta có thể thay một hệ hai hạt tương tác bằng

một hệ dao động tử độc lập

Phương trình trạng thái dừng sẽ là:

(20.10)

ψψ

µωψ

µωψ

2 1

2 1 2

2

2

2 1

2 2

22

2



Đặt

( q1, q2 ) ψ ( ) ( ) q1 ψ q2ψ

từ phương trình (20.10) ta được hai phương trình:

(20.11)

2)

1, (

2

2 1 2

2 2

2 2



2

2 µ  ∂q ∂q 

k q µω

ξ =

, và các mức năng lượng tương ứng là:

(20.12)

2,1,0,

ứng với mức năng lượng:

(20.14)

1

2 2 1

1

2

E n n  ω  ω

Bây giờ ta chuyển sang trường hợp tổng quát

Giả sử có N hạt với khối lượng giống nhau là µ thực hiện những dao động nhỏ

Ký hiệu ba tọa độ của hạt thứ k là x 3k-2 , x 3k-1 , x 3k

Khi đó, bỏ qua các số hạng bậc cao hơn 2, ta có hàm thế năng của hệ là:

(20.15)

k i

ik x x A

1 ,

(20.16)

2 µω

Tương ứng, hamiltonian của hệ là:

(20.18)

j

q q

2 2

2 2

22

Eψ ψ

Hˆ =

2)

1, (

=

= +

2

2 1 2

2 2

2 2



và các mức năng lượng tương ứng là: