“Nếu hôm nay chưa học được gì thì đừng nên đi ngủ” Liên hệ 090 328 8866 | Fb Đạt Nguyễn Tiến | Số 88 ngõ 27 Đại Cồ Việt Ví dụ 1 Cho hàm số ( )f x liên tục trên thỏa mãn ( ) 6 0 12 f x dx =[.]
Trang 1Ví dụ 1 Cho hàm số f x( ) liên tục trên thỏa mãn 6 ( )
0
12
f x dx =
Tính tích phân 2 ( )
0
I = f x dx
Ví dụ 2 Biết 2 ( )
1
3
f x dx = −
Tính
4
2
2
x
f dx
A I = − 6 B 3
2
I = − C I = − 1 D I =5
Ví dụ 3 Cho hàm số f x( ) liên tục trên − +1; ) và 3 ( )
0
f x+ dx=
Tính 2 ( )
1
I =x f x dx.
4
f x dx
a
0
2
f x dx=b
Tính tích phân 3 ( )
0
I = f x dx theo a và b
2
a
I = + b B I=2a b+ C I =2(a b+ ) D
2
a b
I = +
Ví dụ 5 Cho hàm số f x( ) liên tục trên thỏa mãn 6 ( )
0
sin 3 cos 3 1
=
0
e f e dx =
Tính tích phân 2 ( )
0
I = f x dx
Ví dụ 6 Biết 2 ( )
0
3
f x dx =
Tính 1 ( )
1
2
f x dx
−
2
1 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ VỚI HÀM ẨN
Trang 2C
0
2 sin
3
f x dx
=
Tính ( )
0
sin
xf x dx
A
3
B 2
3
C 2
Ví dụ 8 [MH 2020 – LẦN 1]Cho hàm số f x( ) liên tục trên thảo mãn
( ) (3 2) 10 6
xf x + f −x = −x +x − x x Khi đó 0 ( )
1
d
f x x
− ?
A 17
20
−
B 13
4
−
C 17
4 D − 1
PHƯƠNG PHÁP
Giả sử hàm số f x( ) liên tục trên đoạn −a a; . Ta có:
0
2
a
f x dx f x dx
−
=
nếu f x( ) là hàm số chẵn
a
a
f x dx
−
=
nếu f x( ) là hàm số lẻ
✓ Chú ý
➢ Cho hàm số f x( ) liên tục trên a b; và thỏa mãn điều kiện f a( + −b x)= f x( ),x a b ;
Khi đó ( )d ( )d
2
a b
=
➢ Cho hàm số f x( ) thỏa mãn : A f x ( )+B f a ( + −b x) ( )=g x
Khi đó : b ( ) 1 b ( )
A B
= +
➢ Cho A f x ( ) B f ( )x g x( ) f x( ) g x( )
A B
+ với g x( ) là hàm số chẵn
Ví dụ 9 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn f (4−x)= f x( ), x 1;3 và
( )
3
1
d 2
xf x x = −
Giá trị 3 ( )
1
d
f x x
bằng
Trang 3Ví dụ 10.Cho hàm số f x( ) liên tục trên 0; 2 và thỏa mãn điều kiện f x( )+ f (2−x)=2x Tính giá trị
của tích phân 2 ( )
0
I =f x dx
A I = − 4 B 1
2
3
I = D I = 2
( ) ( ) 2 2 cos 2
f x + f − =x + x, Tínhx ( )
3 2
3 2
−
=
A I = − 6 B I = 0 C I = − 2 D I = 6
Ví dụ 12.Cho hàm số f x( ) thỏa mãn điều kiện 1( ) ( )
0
x+ f x dx=
và 2f ( )1 − f ( )0 =2 Tính tích
phân 1 ( )
0
f x dx
A I = −12 B I = 8 C I =12 D I = − 8
Ví dụ 13.Cho hàm số y= f x( ) thỏa mãn điều kiện 1 ( )
0
1 1
f x dx x
= +
và f ( )1 −2f ( )0 =2 Tính tích phân
( )
1
2
f x
dx
x +
0
f = f x dx= Tính 1 ( )
0
2
x f x dx
F = x +x e là một nguyên hàm của hàm số ( ) 3
x
f x e
Tính tích phân 1 ( ) 3
0
x
I = f x e dx
A I= e B I= + e 1 C I = − + e 1 D I= − e
Ví dụ 16.Cho hàm số f x( ) liên tục và luôn dương trên Biết rằng ( ) 1 ( )
0
1 2, xdx ln 2
f
f x
= = Tính tích phân ( )
( )
2 1 2 0
x f x
f x
A I = +2 ln 2 B 1 ln 2
2
I = − + C 1 ln 2
2
I = − − D I = − +2 ln 2
3 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN VỚI HÀM ẨN
Trang 4Ví dụ 17. [Đề thi THPTQG 2018] Cho hàm số f x( ) có đạo hàm, liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn
( )1 1
f = , 1 ( ) 2
0
1 5
f x dx=
0
2
5
x f x dx =
Tích phân 1 ( )
0
I =f x dx bằng
A 5
4
9
4
5
I =
2
f =
2
d 4
( )
2
cos d
4
x f x x
=
Tính f (2021 )
2 25
f = − và
4
f x = x f x với mọi x Giá trị của f ( )1 bằng
A 41
400
10
400
40
−
1
x
x x
+ Giá trị của tích phân 5 ( )
1
I = f x dx nằm trong khoảng nào sau đây?
A ( )2;3 B 2;12
5
C 3; 4) D ( )4;5
Ví dụ 21.Cho hàm số f x( ) liên tục và đồng biến trên đoạn 0;1 , biết f ( )0 =1 và
f x + x = x + x f x x
Mệnh đề nào dưới đây đúng
A f ( )1 =3 B f ( )1 =5 C f ( )1 =6 D f ( )1 =4
Ví dụ 22.Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục và luôn dương trên đoạn 1;3 thỏa mãn
( )1 ( )1 1
f x f x = f x −x f x Giá trị của lnf ( )3 thuộc khoảng nào trong các khoảng sau:
A ( )1; 6 B (7;12 ) C ( )0;1 D (12;15 )
5 MỘT SỐ DẠNG KHÁC
Trang 5Câu 1 Cho 10 ( )
5
8
f x dx = −
Tính 2 ( )
1
5
I = f x dx
A 4
5
5
5
5
I = −
4
10
f x dx =
Tính 5 ( )
2
2
I =f x dx
0
81
f x dx =
Tính 3 ( )
0
I = f x dx
A I =3 B I =81 C I =27 D I =9
0
9
f x dx =
Tính tích phân 6 ( )
0
sin 3 cos 3
=
4
18
f x dx =
Tính 3 ( )
1
3 1
I =f x+ dx
A I =18 B I =6 C I =9 D I =15
1
f x dx=a
Hãy tính tích phân 1 ( )
2 0
I =x f x + dx theo a
A I=2 a B I=4 a C
2
a
4
a
I =
1
ln
e
dx e
Mệnh đề nào đúng?
A 1 ( )
0
1
f x dx =
0
f x dx=e
0
1
e
f x dx =
0
e
f x dx=e
Câu 8 Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số
x e y x
= trên (0; +) Tính
2 3
1
x
e dx x
A I =3F( )2 −F( )1 B I =F( )6 −F( )3
C ( )6 ( )3
3
= D I =3F( )6 −F( )3
1
3 1 20
f x− dx=
Hãy tính tích phân 8 ( )
2
I = f x dx
A I =20 B I =40 C I =10 D I =60
Trang 6Câu 10 Cho f x( ) liên tục trên thỏa mãn 9 ( )
1
4
f x dx
0
sin cos 2
=
Tính tích phân 3 ( )
0
I = f x dx
Câu 11 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên khoảng 1; 2 thỏa mãn 2 ( )
1
' 10
f x dx =
và
( ) ( )
2
1
'
ln 2
f x
dx
Biết rằng hàm số f x( ) 0, x 1; 2 Tính f ( )2
A f ( )2 = −10 B f ( )2 =20 C f ( )2 =10 D f ( )2 = −20
1 2
1 2
xf x dx =
Tính 2 ( )
6
sin 2 x f sinx dx
3
I
2
2 0
1
f x xdx =
Tính 4 ( )
0
f x dx
2
0
3
f x dx =
Tính 1 ( )
1
2
f x dx
−
2
Câu 15 Cho f x( ) là hàm số liên tục trên thỏa mãn 2 ( )
0
5
f x dx = −
1
2 10
f x dx =
Tính giá trị
của 2 ( )
0
I =f x dx
5
1
3
f x dx = −
Tính
4
2
2
x
f dx
A I = − 6 B 3
2
I = − C I = − 1 D I =5
Trang 7Câu 17 Cho f x( ) liên tục trên và các tích phân 4 ( )
0
tan 4
f x dx
=
2 0
2
1
x f x
dx
+
Tính tích phân
( )
1
0
I = f x dx
Câu 18 Cho hàm số f x( ) liên tục trên − +1; ) và 3 ( )
0
f x+ dx=
Tính 2 ( )
1
I =x f x dx
0
2 sin
3
f x dx
=
Tính ( )
0
sin
xf x dx
A
3
B 2
3
C 2
2
1 4
f x
x
Tính tích phân
( )
1
1 8
4
f x
x
=
2
2
I =
Câu 21 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn f (4−x)= f x( ), x 1;3 và
( )
3
1
d 2
xf x x = −
Giá trị 3 ( )
1
d
f x x
bằng
Câu 22 Xét hàm số f x( ) liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn 2f x( )+3f (1−x)= 1−x Tích phân
( )
1
0
d
f x x
bằng
A 2
1
2
3
5
Câu 23 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f x( )+2f (1−x)=3 ,x x
Tính tích phân 1 ( )
0
I = f x dx
A 3
2
2
f x + f − =x x x Tính 1 ( )
1
I f x dx
−
=
A I =2 B I =1 C I =2 D I =1
Trang 8Câu 25 Cho hàm số y= f x( ) xác định và liên tục trên , thỏa mãn f x( )+ f ( )− =x cos 2 ,x x
Khi đó 6 ( )
6
I f x dx
= bằng
3 4
Câu 26 Cho hàm số f x( ) liên tục trên thỏa mãn f x( )+ f ( )− =x 2 2 cos 2 ,+ x x Tính
( )
3 2
3 2
I f x dx
−
=
A I = − 6 B I =0 C I = − 2 D I =6
Câu 27 Cho hàm số y= f x( ) thỏa mãn 1( ) ( )
0
x+ f x dx=
và 2f ( )1 − f ( )0 =2 Tính 1 ( )
0
f x dx
A I = −12 B I = 8 C I = 1 D I = − 8
Câu 28 Cho hàm số f x( ) có nguyên hàm là F x( ) trên đoạn 1; 2 , F( )2 =1 và 2 ( )
1
5
F x dx =
Tính
2
1
1
x− f x dx
A I = − 3 B I = 6 C I = − 4 D I = 1
Câu 29 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên 1; 2 thỏa mãn f ( )1 =0, f ( )2 =2 và 2 ( )
1
1
f x dx =
Tính
( )
2
1
x f x dx
A I = 2 B I = 1 C I = 3 D I = 8
0
f = f x dx= Tính 1 ( )
0
2
x f x dx
Câu 31 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn 3 ( ) ( )
0
x f x e dx=
và f ( )3 =ln 3 Tính 3 ( )
0
f x
I =e dx
A I = 1 B I =11 C I = −8 ln3 D I = +8 ln3
Câu 32 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn 2 ( )
0
3
f x dx =
và f ( )2 =2 Tính 4 ( )
0
I = f x dx
A I = 2 B I = 3 C I = 5 D I = 1
1
f x f x dx=
và f ( )1 =1, f( )2 1 Tính f ( )2
A f ( )2 =2 B f ( )2 =3 C f ( )2 =e D ( ) 2
2
f =e
Trang 9Câu 34 Cho ( ) 2 3
ln
F x =x + x là một nguyên hàm của hàm số f x( )
x Tính tích phân
A I =e2+3e B I =e2 +3 C I = − +e2 e D I =e2+4
0
1 2, xdx ln 2
f
f x
= = Tính tích
phân ( )
( )
2 1 2 0
x f x
f x
=
A I = +2 ln 2 B 1 ln 2
2
I = − + C 1 ln 2
2
I = − − D I = − +2 ln 2
Câu 36 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm, liên tục trên đoạn 0; 2 thỏa mãn f ( )2 =7, 2 ( ) 2
0
14
f x dx=
và 2 2 ( )
0
40 3
x f x dx =
Tích phân 2 ( )
0
I = f x dx bằng
A 19
5
5
5
5
I =
2
f =
2
d 4
( )
2
cos d
4
x f x x
=
Tính f (2021 )
2 . D 1
f x +x f x =x f x + Biết f ( )1 = −2, tính f ( )2
A ( ) 1
2 2
= B ( ) 1
2 2
2 2
= D ( ) 3
2 4
=
f x + f x f x = x + x x
f = f = Giá trị của 2( )
1
f bằng
5 2
1
x
x x
+ Giá trị của tích phân 5 ( )
1
I =f x dx nằm trong khoảng nào sau đây?
A ( )2;3 B 2;12
5
C 3; 4) D ( )4;5
( )
1
ln
e
f x xdx
( )
f x