Mệnh đề nào dưới đây đúng?. Mệnh đề nào sau đây là đúng?. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. Mệnh đề nào sau đây đúng?. Định tham số m để phương trình f x m có hai nghiệm phân biệt.A. Mệnh đ
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 4 : NGUYÊN HÀM – TÍCH
PHÂN - ỨNG DỤNG
'( ) ( )
f x
f x
A PHƯƠNG PHÁP
Từ công thức đạo hàm của hàm hợp: lnu u
u
và lnu u
u
ta suy ra công thức nguyên
hàm:
f x
f x
; đặc biệt nếu f x 0 thì
ln
f x
g x
B VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1 Cho hàm số f x 0 với mọi x , f 0 1 và 2
1
f x x f x với mọi x Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A f 3 0 B 0 f 3 1 C f 3 6 D 4 f 3 6
Lời giải Chọn B
Ta có
2
2
1 1 1
1 1
d
d
f x
f x
x
x
Suy ra
x
Mà f 0 1 nên C0
Vậy
Trang 2Trang 2/13
3
x
f x f
x
Câu 2 Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên , f x 1 x ,f 0 0 và thoả mãn
f x x x f x Tính f 3
Lời giải Chọn C
Ta có
f x
f x
Mà f 0 1 nên 2 1 2
Vậy 2
3 6
f e
Câu 3 Cho hàm số f(x) liên tục, f x( ) 2, (0)f 2 và thỏa '( ) sin ( ) 2 0
2
x
f x f x Tính f( )
Lời giải Chọn A
Từ giả thiết, ta có
2
2
Suy ra 2
Do f 0 0 nên ta được: 2
2 2 C C 0 f x x
Vậy f 2 2
Câu 4 Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn f 1 e,
3 1,
f x f x x với mọi x0 Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A 10 f 5 11 B 4 f 5 5 C 11 f 5 12 D 3 f 5 4
Lời giải Chọn A
Xét x0; và f x 0, ta có
Trang 3 1
f x
Suy ra
3
Khi đó
3
2
3
Theo bài f 1 e nên 4 2 3 1 1
3
e e C f x e
Do đó f 5 10,312310 f 5 11
Câu 5 Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 2; 4 và f x 0, x 2; 4 Biết
4
x f x f x x x f Giá trị của f 4 bằng
2
4
2
4
Lời giải Chọn D
Ta có: f x 0, x 2; 4 nên hàm số y f x đồng biến trên 2; 4 f x f 2
mà 7
2 4
f
Do đó: f x 0, x 2; 4
Từ giả thiết ta có:
3
3
x f x f x x x f x f x
x f x f x
f x
x
f x
Suy ra
2
2 2 3
1
3
f x f x
x
f x C
Từ
f C C
Trang 4Trang 4/13
4 2 3
3 4
x
f x
4
4
C BÀI TẬP CỦNG CỐ
Câu 6 Cho hàm số y f x( ) 0, x thỏa mãn 2
f x x f x và f 1 1 thì giá trị f 2 là
A 2
e
Lời giải Chọn D
Ta có
3
2
2
2
3
3
3
ln
3 ln
3
x C
f x
x
f x
f x
f x
x
x
Theo giả thiết f 1 1 nên
1
3 C 1
3
C
Suy ra
3 1
3 3
x
f x e Vậy 3
f e
Câu 7 Cho hàm số f x 0 với mọi x , f 0 1 và f x x1.f x với mọi x 1 Mệnh
đề nào dưới đây đúng?
A f x 2 B 2 f x 4 C f x 6 D 4 f x 6
Lời giải Chọn C
Ta có
f x
f x
Mà f 0 1 nên
Trang 5 2 1 2 2
C f x e f e
Câu 8 (Đề 101-THPTQG 2018) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( ) 2
9
f x x f x với
mọi x Giá trị của f 1 bằng
36
3
36
15
Lời giải Chọn B
Ta có
2
( )
f x
f x
Từ (2) 2
9
f suy ra 1
2
C
Do đó (1) 2
3
f
Câu 9 Cho hàm số y f x đồng biến trên 0;; y f x liên tục, nhận giá trị dương trên
0; và thỏa mãn 4
3 9
f x x f x
Tính f 8
8 16
8 64
Lời giải Chọn A
Ta có với x 0; thì y f x 0; x 1 0
Hàm số y f x đồng biến trên 0; nên f x 0, x 0;
Do đó
f x x f x f x x f x
1
f x
x
f x
Suy ra
d 1 d
f x
x x x
f x
1 3
Vì 4
3 9
C
Suy ra 1 3 2
3
f x x
Vậy f 8 49
Trang 6Trang 6/13
Câu 10 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn f x 0, 1
3
x
Cho biết
1 1
f và f x f x 3x1 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A 4 f 5 5 B 2 f 5 3 C 3 f 5 4 D 1 f 5 2
Lời giải Chọn C
Từ giả thiết
3 1
31 1
f x
suy ra
dx
3
3
f C
f x x suy ra hàm số 2 3 1 4
3 x 3
f x e Tính f 5 e43 3.793; 4
Câu 11 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn f x 0, x Cho biết
0 1
f và
2 2
f x
x
f x
Định tham số m để phương trình f x m có hai nghiệm phân biệt
Lời giải Chọn C
Giả thiết
2 2
f x
x
f x
f x
f x
ln f x 2x x C
x x
f x A e
Mà f 0 1 A 1; vậy 2 x x2
f x e
2x x 1 x 2x 1 1 x 1 1
Do đó 2 2
Dấu “=” xảy ra khi 2
1 x1 1 x 1 KL: Phương trình f x m có 2 nghiệm phân biệt khi 0 m e
Câu 12 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn f x 0, x Cho biết
0 1
f và
1
, khi đó hiệu T f 2 2 2f 1 thuộc khoảng nào sau đây
A 2; 3 B 7; 9 C 0; 1 D 9; 12
Lời giải Chọn C
Trang 7Từ giả thiết
1
1
2
Mà f 0 1 C 0
Vậy
2 2
ln f x ln x 1 2
1
f x x
Tính f 2 2 3 và 2f 1 2 2
Vậy
Câu 13 Cho hàm số y f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn 1;1 và f x 0 với mọi xthuộc ,
biết f x 2f x 0 và f 1 1 Khi đó f 1 bằng
1
f e B 3
1
f e C f 1 3 D 4
1
f e
Lời giải Chọn D
Ta có f x 0 với mọi x thuộc nên
2 0
f x f x
f x
f x
f x
f x
Từ
2.1
f e C C 2x 2
f x e
Nên
2 1 2 4
1
f e e
Câu 14 Cho hàm số y f x đồng biến trên 0;; y f x liên tục, nhận giá trị dương trên
0; và thỏa mãn f 2 1 và 2 2
Tính f 4
A f 4 81 B f 4 20 C f 4 88 D f 4 12
Lời giải Chọn B
Ta có với x 0; thì y f x 0; x 1 0
Hàm số y f x đồng biến trên 0; nên f x 0, x 0;
Do đó
f x x f x f x x f x
f x
x
f x
Suy ra
Trang 8Trang 8/13
d 1 d
f x
x x x
f x
2
x
Vì f 2 1 nên C 1 4 3
Suy ra 16
2
Vậy f 4 81
Câu 15 Cho hàm số f(x) liên tục, f x( ) 2, (0)f 2 và thỏa 2 2 2
f x f x co Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Lời giải Chọn B
Từ giả thiết ta có
0
( )
2 ( ) 1
f x f x f x f x
f x
f x f x
f x
f x x
dx dx f x
f x
Vậy f( ) 2
Câu 16 Cho hàm số y f x đồng biến trên 0;; y f x liên tục, nhận giá trị dương trên
0; và thỏa mãn 2
3 3
f x x f x
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Lời giải Chọn B
Hàm số y f x đồng biến trên 0; nên suy ra f x 0, x 0;
Mặt khác y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0; nên
2
3
1
1 , 0;
1
1
1 3
f x x f x
f x x f x x
f x
x x
f x
f x
dx x dx
f x
f x x C
Trang 9Từ 3
3 2
f suy ra 2 8
3 3
C Như vậy
2 3
1
Bởi thế
Câu 17 Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn f 1 1,
3 1
f x f x x , với mọi x0 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A 4 f 5 5 B 2 f 5 3 C 3 f 5 4 D 1 f 5 2
Lời giải Chọn C
Với điều kiện bài toán ta có
1 2
2
3 1 3
1
1
3 2
3
f x
f x
f x
f x
f x
Khi đó
3
C
f C 2 3 1 4
3 3
Vậy 3 f 5 4
Câu 18 Cho f x( ) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên 1; 4 thỏa mãn
2
x xf x f x x f Giá trị f 4 bằng:
A 391
361
381
371 18
Lời giải Chọn A
Trang 10Trang 10/13
2
2
2
2
1 2
1 2
1 2
x xf x f x
x f x f x
f x
x
f x
f x
x
f x
Suy ra
1 2
f x
x
f x
1 2
3
Mà 3
1 2
Do đó
1 2
suy ra
3
4
9
4
Giá trị
Chú ý: Nếu không nhận thấy
thì ta có thể sử dụng kỹ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một)
Vi phân:
Đổi biến:
Đổi cận
Khi đó
Trang 11
Câu 19 Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện 2
f x x f x và 1
0 2
f Biết rằng
tổng f 1 f 2 f 3 f 2017 f 2018 a
b
,
a b và a
b là phân số
tối giản Mệnh đề nào sau đây đúng?
b C a b 1010 D b a 3029
Lời giải Chọn D
Ta có
2
2
2
1
3
f x
x
f x
f x
f x
f x
Vì 1
2
f C Nên
f x
x x x x
Do đó
Vậy a 1009; b2020 Do đó b a 3029
Câu 20 Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
0
f x , x , 2
e x
f x f x x và 1
0 2
f Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x0 ln 2 là
Lời giải Chọn A
Ta có
e x
2 ex
f x
f x
Suy ra
2
x
f x
dx e dx
f x
e C
f x
1
Trang 12Trang 12/13
Vậy
1
1
x
e
f x suy ra hàm 1
1
x
f x
e
Đạo hàm
2
1
x
x
e
f x
e
Tại x o ln 2 ln 21 1
o
y e
Hệ số góc tiếp tuyến
ln 2 2
ln 2
2 9 1
o
e
f x
e
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
ln 2
Câu 21 Cho hàm số f x có đạo hàm và đồng biến trên thỏa mãn f 0 1 và
,
x
f x e f x x Tính f 2 ?
2
f e C f 2 e12 D. 3
2
f e
Lời giải Chọn B
Biến đổi
2
2
1
2 2
2
x
x
x
x
x
x
f x
e
f x
f x
e
f x
f x
f x
Vì
x
f x e
f x e
Suy ra 2
2
f e
Câu 22 Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;4 , đồng biến trên đoạn 1;4 và thỏa
mãn đẳng thức 2
1 2
f , Mệnh đề nào sau đây đúng?
A 15 f 3 20 B 6 f 3 7 C 10 f 3 13 D 1 f 3 9
Lời giải Chọn C
Trang 13Ta có
2
1 2
f x
f x
Suy ra
32
1 2 d
1 2
2
1 2
3
f x
f x
f x
f x
Mà 3
1 2
3
C
Vậy
2 3 2
1
2
x