TÍCH PHÂN CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC Ví dụ 1... Mệnh đề nào sau đây đúng?. BÀI TẬP TỰ LUYỆN BẢNG TÔ ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN – BUỔI 7 Học sinh làm BTTL xong, tô phương án đúng.. Buổi sau họ
Trang 1Bài 5 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN 1
1 TÍCH PHÂN CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC
Ví dụ 1 Cho hàm số ( ) 22 1 0
4 x 3 0
x x khi x
y f x
e khi x
+ + ≤
= =
Biết ( )
1
2 1
b
f x dx ae
c
−
= −
, ,
a b c∈N Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = + + a b c
A 23 B 27 C 33 D 42
Lời giải
Ta có, 0 ( ) 1 ( ) 0 ( 2 ) 1 ( 2 ) 2 2
x
2 25 6 33
T
⇒ = + + =
Ví dụ 2 [Đề tham khảo – 2018] Cho hàm số f x( ) xác định trên \ 1
2
ℝ thỏa mãn ( ) 2
f x
x
−
, f(0)=1 và f(1)=2 Giá trị của biểu thức f( 1)− + f(3) bằng
A 4+ln 5 B 2+ln15 C 3+ln15 D ln15
Lời giải Cách 1: Trên khoảng 1;
2
+∞
2
x
−
∫
Lại có f(1)= ⇒2 C1=2
• Trên khoảng ;1
2
−∞
2
x
−
∫
Lại có f(0)= ⇒1 C2=1
Vậy
1 ln(2 1) 2
2 ( )
1 ln(1 2 ) 1
2
x khi x
f x
x khi x
− + >
=
− + <
Suy ra f( 1)− + f(3)= +3 ln15
Cách 2:
Ta có:
0 1
3 1
2
dx
x dx
x
−
Lấy (2)-(1), ta được f(3)−f(1)−f(0)+ − =f( 1) ln15⇒ − +f( 1) f(3)= +3 ln15
2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN
DẠNG 1 Điều kiện hàm ẩn có dạng:
1 f ′( )x =g x h f x( ) ( ( ) )
2 f ′( )x h f x ( ( ) )=g x( )
Phương pháp giải:
( )
2. ∫ f′( )x h f x dx ( ( ) ) =∫ g x dx( ) ⇔∫ h f x df x( ( ) ) ( )=∫ g x dx( )
Trang 2Chú ý:
• 1 và 2 bản chất là một ( cô lập các cụm f x( ),f′( )x sang một vế)
• Ngoài việc nguyên hàm cả hai vế, ta có thể tích phân hai về (tùy cách hỏi)
• f ′( )x phải để trên tử
Ví dụ 1 Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; +∞) và thỏa mãn f ( )1 =1,
( ) ( ) 3 1
f x = ′f x x+ , với mọi x> Mệnh đề nào sau đây đúng? 0
A 4< f ( )5 <5 B 2< f( )5 <3 C 3< f ( )5 <4 D 1< f ( )5 <2
Lời giải
Cách 1:
Với điều kiện bài toán ta có
( ) ( ) 3 1
f x = ′f x x+ ( )
( )
( ) ( )
( )
1 2
3 1 d 3 1 3
f x
f x
−
⇔∫ ′ = ∫ + + ln ( ) 2 3 1
3
3
Khi đó ( ) 43 4
3
C
3 3
Vậy 3< f ( )5 <4
Cách 2:
Với điều kiện bài toán ta có
( ) ( ) 3 1
f x = f′ x x+ ( )
( )
1
3 1
f x
f x x
′
+
( ) ( )
1
f x
+
( )
( ) 5
1
3
f x
f x
1
4 ln
3
f x
( )
5 4 ln
1 3
f f
⇔ = ⇔ f ( )5 = f ( )1 e43 ≈3,79∈ (3; 4)
Ví dụ 2 Cho f x( ) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên [ ]1;4 thỏa mãn
( ) ( )2 [ ] ( ) 3
2
x+ xf x =f′ x ∀ ∈x f = Giá trị f ( )4 bằng:
A 391
18
Lời giải
Biến đổi:
( ) ( )2
2
x+ xf x = f′ x ( ( ) ) ( )2
1 2
x f x f′ x
( )
( ) ( )
2
( ) ( )
f x
dx x dx
f x
′
+
1
14
3
f x
( ) 14 ( ) 391
Ví dụ 3 Cho f x( )không âm thỏa mãn điều kiện 2
( ) '( ) 2 ( ) 1
f x f x = x f x + và f(0)=0 Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= f x( )trên [ ]1;3là
A 22 B 4 11+ 3 C 20+ 2 D 3 11+ 3
Lời giải
Trang 3( ) '( ) ( ) '( )
f x f x f x f x
( ) 1
f x x C
f = ⇒ = ⇒C f x + =x + ⇒ f x =x + x =g x
g x = x + x> ∀ ∈x Suy ra g x( )đồng biến trên [ ]1;3
g ≤g x = f x ≤g ⇒ ≤ f x ≤ →≥ ≤ f x ≤
[ ] 1;3 3
min ( ) 3
( ) 3 11
f x
Max f x
⇒
=
Chú ý: Nếu không tìm được ra luôn 2
2
( ) '( )
( ) 1 ( ) 1
f x f x
dx f x C
f x
+
∫ thì ta có thể sử dụng
kĩ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một)
+) Vi phân:
( ) ( 2 ) (21 2 ) 2
2
−
+ Đổi biến: Đặt 2 2 2
( ) 1 ( ) 1 ( ) '( )
t= f x + ⇒ =t f x + ⇒tdt= f x f x dx
2
( ) '( )
( ) 1 ( ) 1
f x f x tdt
dx dt t C f x C
t
+
Ví dụ 4 Cho hàm số f x( )≠0 thỏa mãn điều kiện '( ) ( ) 2( )
f x = x+ f x và ( )0 1
2
= Biết
tổng f ( )1 f ( )2 f (2017) f (2018) a
b
,
a∈ℤ b∈ℕ và a
b là phân số tối giản Mệnh đề nào sau đây đúng?
A a 1
b> C a+ =b 1010 D b− =a 3029
Lời giải
Biến đổi '( ) ( ) 2( )
2 3
f x = x+ f x ( )
( )
'
f x
x
f x
'
f x
f x
2
2
3
3
x x C f x
⇔ − = + + ⇒ = −
+ + Mà ( )0 1
2
= nên C = 2
Do đó ( )
( )( )
2
f x
Khi đó a f ( )1 f ( )2 f (2017) f(2018)
2.3 3.4 2018.2019 2019.2020
= − + + + +
2 3 3 4 2018 2019 2019 2020
= − − + − + + − + −
1 1
2 2020
= − −
1009 2020
−
=
Với điều kiện a b, thỏa mãn bài toán, suy ra: 1009
2020
a b
= −
=
⇒ − =b a 3029
Trang 4B BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BẢNG TÔ ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN – BUỔI 7
Học sinh làm BTTL xong, tô phương án đúng Buổi sau học sinh cùng GV kiểm tra kết quả
Câu 1 [Chuyên Thái Bình-Lần 5-2018] Cho hàm số ( ) 3 2 khi 0 1
4 khi 1 2
y f x
= =
( )
2
0
f x dx
A 7
2 D 3
2
Câu 2 Cho hàm số ( ) 6 2 khi 2 0
khi 0
y f x
a a x x
= =
1
d
I f x x
−
=∫ Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên a để I+22≥ ? 0
Câu 3 [Đề tham khảo – 2018] Cho hàm số f x( ) xác định trên \ 1
2
ℝ thỏa mãn 2
( )
2 1
f x
x
′ =
− , (0)f = và (1) 21 f = Giá trị của biểu thức ( 1)f − + f(3) bằng
A 4+ln 5 B 2+ln15 C 3+ln15 D ln15
Câu 4 [Toán học tuổi trẻ số 6 – 2018] Cho hàm số f x( ) xác định trên ℝ\ 1{ } thỏa mãn
( ) 1
1
f x
x
′ =
− , f ( )0 =2017, f ( )2 =2018 Tính S= f ( )3 −f ( )− 1
A S= 1 B.S=ln 2 C S=ln 4035 D S= 4
Câu 5 [Lục Ngạn–Bắc Giang–2018] Cho hàm số f x xác định trên ( ) \ 1
3
ℝ thỏa mãn
( ) 3 , ( )0 1
3 1
x
2 2 3
f = Giá trị của biểu thức f( )− +1 f ( )3 bằng
Câu 6 Cho hàm số f x( ) xác định trên ℝ\{−2;2} và thỏa mãn ( ) 24 ; ( )3 0
4
x
( )0 1
f = và f( )3 = Tính giá trị biểu thức 2 P= f ( )− +4 f ( )− +1 f ( )4
A 3 ln 3
25
P= + B P= +3 ln 3 C. 2 ln5
3
P= + D 2 ln5
3
P= −
Trang 5Câu 7 [Chuyên Thái Bình – Lần 6 – 2018] Cho hàm số f x( ) xác định trên ℝ\{−2;1} thỏa
mãn ( ) 2 1
2
f x
x x
′ =
+ − ; f ( )− −3 f( )3 = và 0 ( )0 1
3
f = Giá trị của biểu thức
( )4 ( )1 ( )4
f − + f − −f bằng
A 1 1ln 2
3+3 B 1 ln 80+ C 1 ln 2 1ln4
3 5
+ + D 1 1ln8
3 5 +
Câu 8 [Sở Bắc Giang – 2018] Cho hàm số f x( ) xác định trên ℝ\{−1;1} và thỏa mãn
( ) 21
1
f x
x
′ =
− ; f( )− +3 f( )3 = và 0 1 1 2
f f
− + =
Tính giá trị của biểu thức
( )0 ( )4
P= f + f
A 2 ln3
5
P= + B 1 ln3
5
P= + C 1 1ln3
2 5
P= + D 1ln3
2 5
P=
Câu 9 [Sở Phú Thọ - 2018] Cho hàm số f x( ) xác định trên ℝ\{−1;1} và thỏa mãn
( ) 22 ( ) ( )
1
x
0
f f
− + =
Tính f( )− +2 f ( )0 + f ( )4 = 0
được kết quả
A 1 ln6
5
P= + B 1 ln6
5
P= − + C 1 ln4
5
P= + D 1 ln4
5
P= − +
Câu 10 [Chuyên Thái Bình – Lần 4 – 2018] Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số
1
1 sin 2
y
x
=
+ với x \ 4 k ,k .
π π
∀ ∈ − + ∈
ℝ ℤ Biết F( )0 = và 1 F( )π = Tính giá trị của 0
biểu thức 11
12 12
P F π F π
= − −
A. P= −2 3 B P=0 C Không tồn tại D P= 1
Câu 11 Cho hàm số y= f x( ) xác định và liên tục trên ℝ thỏa mãn đồng thời các điều kiện
( ) 0
f x > , x∀ ∈ ℝ ; ( ) 2( )
x
f′ x = −e f x , x∀ ∈ ℝ và ( )0 1
2
f = Tính giá trị của f (ln 2)
A (ln 2) 2
9
f = B (ln 2) 2
9
f = − C (ln 2) 2
3
f = D (ln 2) 1
3
f =
Câu 12 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị ( )C , xác định và liên tục trên ℝ thỏa mãn đồng thời các
điều kiện f x( )>0 ∀ ∈ ℝ , x ( ) ( ( ) )2
f′ x = x f x ∀ ∈ ℝ và x f ( )0 = Phương trình tiếp 2
tuyến tại điểm có hoành độ x= của đồ thị 1 ( )C là
A y=6x+30 B y= −6x+30 C y=36x−30 D y= −36x+42
Câu 13 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [−1;1], thỏa mãn f x( )> ∀ ∈ ℝ 0, x
và f '( )x +2f x( )= Biết 0 f ( )1 = , tính 1 f( )− 1
A ( ) 2
1
f − =e− B ( ) 3
1
f − = e C ( ) 4
1
f − = e D f ( )− = 1 3
Câu 14 [Sở Yên Bái – 2018] Cho hàm số y= f x( ) thỏa mãn ( ) ( ) 4 2
f x f x =x +x Biết
( )0 2
f = Tính 2( )
2
f
A 2( ) 313
2 15
f = B 2( ) 332
2 15
f = C 2( ) 324
2 15
f = D 2( ) 323
2 15
f =
Trang 6Câu 15 [Sở Nam Định – Lần 2 – 2018] Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục trên (0;+∞ , biết )
( ) ( ) ( )2
f ′ x + x+ f x = và f x( )> ∀ ∈ ℝ ; 0, x ( )2 1
15
f = Tính f( )1 + f ( )2 + f ( )3
A 7
15 B 11
15 C 11
30 D 7
30
Câu 16 Cho hàm số f x( ) xác định và liên tục trên ℝ Biết 6( ) ( )
f x f ′ x = x+ và f ( )0 = 2
Khi đó phương trình f x( )= có bao nhiêu nghiệm? 3
Câu 17 Cho hàm số f x( )≠ thỏa mãn điều kiện 0 '( ) ( ) 2( )
f x = x+ f x và ( )0 1
2
f =−
Biết tổng
( )1 ( )2 (2017) (2018) a
b
,
a∈ℤ b∈ℕ và a
b là phân số tối giản Mệnh đề nào sau đây đúng?
A a 1
b<− B a 1
b> C a+ =b 1010 D b− =a 3029
Câu 18 [Chuyên Vinh – Lần 4 – 2017] Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục, nhận giá trị dương trên
(0; +∞ và thỏa mãn ) f ( )1 = , 1 f x( )= ′f ( )x 3x+ , với mọi 1 x> Mệnh đề nào sau 0 đây đúng?
A 4< f ( )5 < 5 B 2< f( )5 < 3 C 3< f ( )5 < 4 D 1< f ( )5 < 2
Câu 19 [Quảng Xương I – Thanh Hóa – Lần 4 – 2018] Cho ( )f x xác định, có đạo hàm, liên tục
và đồng biến trên [ ]1;4 thỏa mãn ( ) ( )2 [ ] ( ) 3
2
x+ xf x =f′ x ∀ ∈x f = Giá trị f ( )4
bằng:
A 391
18
Câu 20 Cho ( )f x không âm thỏa mãn điều kiện f x f( ) '( )x =2x f2( )x + và (0) 01 f = Tổng giá
trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= f x( )trên [ ]1;3là
A 22 B 4 11+ 3 C 20+ 2 D 3 11+ 3
Câu 21 [Chuyên Tuyên Quang – Lần 2 – 2018] Cho hàm số f x( ) có đạo hàm và đồng biến trên
ℝ thỏa mãn f ( )0 = và 1 ( ( ) )2 ( )
,
x
f′ x =e f x ∀ ∈ ℝ Tính tích phân x 1 ( )
0
f x dx
∫ bằng
A e− 2 B e− 1 C 2
2
e − D 2
1
e −
Câu 22 [Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – Lần 3 – 2018] Cho hàm sốy= f x( ) xác định và liên
tục trên ℝ\ 0{ } thỏa mãn 2 2( ) ( ) ( ) ( )
x f x + x− f x =xf′ x − với ∀ ∈ ℝx \ 0{ }và
( )1 2
f = − Tính ( )
2 1
f x dx
A 1 ln 2
2
− − B 3 ln 2
2
− − C 1 ln 2
2
− − D 3 ln 2
2 2
− −
Câu 23 [Sở Đà Nẵng – 2018] Cho hàm số f x( ) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [4;8] và
( )0 0
f ≠ với ∀ ∈x [4;8] Biết rằng ( )
( )
2 8
4 4
1
f x dx
f x
′
=
f = f = Tính f ( )6
Trang 7(Lời giải chi tiết tham khảo tại đây)