tích phân hàm ẩn

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT:  Phương trình vi phân là ngôn ngữ xuất hiện trong toán cao cấp trên chương trình đại học.. Tuy nhiên, nếu có xuất hiện trong chương trình p

VIII PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT:

 Phương trình vi phân là ngôn ngữ xuất hiện trong toán cao cấp trên chương trình đại học Tuy nhiên, nếu có xuất hiện trong chương trình phổ thông với những kiến thức và phạm vi đơn giản thì cũng không có gì là khó khăn và quá kiến thức Chúng ta có thể vận dụng các nền tảng và các

kỹ năng xử lí dưới đay để làm bài tập dạng này

 Phương trình vi phân là phương trình có chứa đạo hàm cấp 1 y f x , đạo hàm cấp 2

 

y f x , …, đạo hàm cấp cao hơn nữa; của một hàm số mà ta cần tìm y f x 

 Ví dụ: Cho một số phương trình vi phân dưới đây:

 Phương trình vi phân cấp 1: 2 2    

x yxy x f x x f x 

 Phương trình vi phân cấp 2: xyyy 0 xf x  f x f     x 0

8.1 Phương trình vi phân dạng phân li biến số: y U y  V x .dx

 Phương pháp giải cơ bản: Từ phương trình phân li ta nhân hai vế với vi phân của biến là dx

 Suy ra: y U y  V x .dxU y y x  .d V x .dx

 Nguyên hàm hai vế, ta được: U y y  .d xV x .dxG y F x C

 Đến đây, dựa vào điều kiện ban đầu ta xác định được hàng số C

Ví dụ 8.1.1 Cho hàm số y f x  thoả mãn phương trình: y 2x3 Hãy xác định hàm số y f x 

biết f  0 2? Tính giá trị f  2 ?

Lời giải

 Phương trình vi ở dạng phân li (một bên là hàm y và đạo hàm y còn bên kia là biến x)

 y2x 3 y xd 2x3 d x

 Ta tiến hành nguyên hàm hai vế:   2  

y x  x x y x  x C  f x

 Dựa và điều kiện ban đầu, ta có:   2

f      C C

 Vậy ta tìm được   2

3 2

f x x  x

 Suy ra giá trị của hàm số tại x2 là:   2

2 2 3.2 2 0

Ví dụ 8.1.2 Cho hàm số y f x  thoả mãn phương trình: y 2y1 Hãy xác định hàm số y f x 

biết f  0 5?

Lời giải

 Cách 1: Từ giả thiết suy ra:   2   1     1    d d

 Nguyên hàm hai vế, ta được:

  

f x x

f x





 Điều kiện ban đầu, cho ta: 1   1

ln 2 0 1 0 ln 2.5 1 ln 9

2 f    C    C C 2

f x

 Suy ra:     2

2

e

x x

f x

f x

 Cách 2: Vẫn làm như cách 1 chỉ là viết lại theo một kiểu khác của vi phân

 Ta có: 2 1 d d d dy d 1ln 2 1

 Dựa vào điều kiện ban đầu, cho ta: 1   1

ln 2 0 1 0 ln 2.5 1 ln 9

2 f    C    C C 2

 Suy ra: 1ln 2 1 1ln 9 9e2 1

x

y  x  y 

Ví dụ 8.1.3 Cho hàm số y f x  thoả mãn phương trình:      3 

f x  f x x  x Biết f  0 1 Hỏi giá trị của f  1 bằng bao nhiêu?

Lời giải

 Từ giả thiết ta tiến hành phân li rồi nguyên hàm hai vế như sau:

  

Dựa vào điều kiện ban đầu, suy ra:   3 3

ln f 0 0 2.0   C C ln 10

 Suy ra hàm số:   3 2   3 2 2

ln f x x 2x  f x ex x

 Suy ra:   1 3 2.1 2 1

1 e

e

Ví dụ 8.1.4 Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên khoảng 0; thoả mãn phương trình:

1

f x   f x x Biết f  1 3 Hỏi giá trị của f  2 bằng bao nhiêu?

Lời giải

 Từ giả thiết suy ra  

 

 

 

 

 

 Suy ra:   1

x

   

 Dựa vào điều kiện ban đầu:   1

1

f        C C

 Suy ra:   1   5 1 2

2

x



       

 Suy ra:   5.2 1 2 65

Ví dụ 8.1.5 Cho hàm số y f x  có đạo hàm xác định và f x 0 với  x 0; Thoả mãn điều kiện:    2 2   

f x  x f x  Biết f  1 1 Hãy xác định biểu thức hàm số?

Lời giải

 Vì ta có: f x 0;x0 với  x 0;

 Từ giả thiết ta suy ra:      

 

 

 

d

 Suy ra: 1   2

2 f x  x C

 Dựa vào điều kiện ban đầu:   1   2 1

f   f     C C

 Suy ra:      2 2

x

Ví dụ 8.1.6 Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên toàn Biết f x  f x 2 và f  0 1 Hãy xác định hàm số y f x  và tính giá trị của f  1 ?

Ví dụ 8.1.7 Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên toàn và thoả mãn:

f x f x  x  x Có f  0 2 Hãy xác định hàm số y f x  và tính giá trị của f  2 ?

Ví dụ 8.1.8 Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên toàn  và thoả mãn:     3

f x  f x x Biết rằng f  1 2 Hãy xác định hàm số y f x  và tính giá trị của f  4 ?

Ví dụ 8.1.9 Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên toàn  và thoả mãn phương trình y3  y x 2

và f  1 4 Hãy xác định hàm số y f x  và tính giá trị của f  2 ?

Ví dụ 8.1.10 Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên toàn 1;

2

 

  và thoả mãn:

2 1

y y x Biết f  0 e Hãy xác định hàm số y f x  và tính giá trị của f  4 ?

Ví dụ 8.1.11 Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên toàn 1;

2

 

  và thoả mãn:

2

3 1

y y x Biết f  0 1 Hãy xác định hàm số y f x  và tính giá trị của f  1 ?

Ví dụ 8.1.10 Cho hàm số y f x  có đạo hàm và nhận giá trị luôn dương trên và thoả mãn:

 

 2  3  

, 1 2 2

x

f x

 Hãy xác định giá trị của f  2 ?

8.1 Phương trình vi phân dạng:  ekx u  ekxuku và  ev u evuv u 

 Ta có:  ekx u ekxuku ekxukudxekx u C

 Đặc biệt:  ex u exuuexuudxex u C

 Tổng quát:  ev ev  ev d v

u  uv u  uv u xe u C

Ví dụ 8.2.1 Tìm hàm số y f x  thoả mãn điều kiện: f x 2f x 6x, biết   1

0 2

Lời giải

 Từ giả thiết suy ra: 2       2

e x f x 2f x e x.6x

 Nguyên hàm hai vế và áp dụng công thức, ta có:

2

 Từ giả thiết ban đầu, suy ra: 2.0   2.0 3 1

        

 2   2 3   2 3

Ví dụ 8.2.2 Tìm hàm số y f x  thoả mãn điều kiện:     3

3 2 e x

f x  f x  x , biết f  0 1?

Lời giải

 Giả thiết 3       3      

 Suy ra: 3   2 3.0   2 3   2   3  2 

e x f x x  C e f 0 0    C C 1 e x f x x  1 f x e x x 1

Ví dụ 8.2.3 Tìm hàm số y f x  thoả mãn điều kiện sau:

1     sin cos , 1

2

f x  f x  x x f   

 

 

2     2  

3 x, 0 1

f x  f x  x e f 

3 f x  f x 2 ,x f  0 2

4     2  

f x  f x xe f 

5 f x  f x e x.sin ,x f 0 1

Ví dụ 8.2.4 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên và thoả mãn:     2  

2 e x sin 1

f x  f x  x Hãy xác định hàm số y f x  nếu f  0 4?

Ví dụ 8.2.5 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên và thoả mãn:     2  

2 e x 2 cos

f x  f x   x x Hãy xác định hàm số y f x  nếu f  0 1?

2019 e x 4 2cos 2

f x  f x  x x Hãy xác định hàm số y f x  nếu f  0 ?

Ví dụ 8.2.7 Tìm hàm số y f x  thoả mãn điều kiện: f x 2xf x x, biết   1

0 2

Lời giải

 Đối chiếu với công thức: ev f x  evf x v f x   evf x v f x   dxe f x v  C

 Nhận thấy: 2

2

v  x v x Từ giả thiết nhân 2 vế với e x2ta được:

2

f x  xf x  x f x  xf x x x x f x  C

 Dựa vào điều kiện ban đầu, ta có: 0 2   1 0 2

2

f    C C

 Vậy suy ra: 2   1 2   1

f x   f x  (đây là hàng hằng)

Ví dụ 8.2.8 Tìm hàm số y f x  thoả mãn điều kiện: 2x1  f x  f x x 2x1, biết f  0 0?

Lời giải

 Đối chiếu với công thức: ev f x  evf x v f x   evf x v f x   dxe f x v  C

 Ta biến đổi:   1    

x

 Nhận thấy:

1

ln 2 1 2

x v

x



 Ta nhân 2 vế  * với e : v

  1     1  

 

2

2

x C

x







 Dựa vào điều kiện ban đầu :    

2

2

0 2

C

x

x



Ví dụ 8.2.9 Xác định các hàm số y f x  biết nó thoả mãn các điều kiện sau:

1   2   2

3

f x  x f x x và f  0 1?

2     3

2

f x  xf x x và f  0 2?

3   1   2

   và f  1 2?

4 f  x  cosx f x  sin 2x và f  0 2?

Ví dụ 8.2.10 Tìm hàm số y f x  có đạo hàm cấp hai xác định trên Biết nó thoả mãn điều kiện:

f x  f x  f x  , đồng thời   1   1 2

Lời giải

 Bổ đề: ta có        2

ekx u ekx uku ; ekx u ekx u2kuk

ekx u C x C  ekx u2kuk u

ekx uC x C ekx u2kuk u g x ekx u g x dx dxC xC

 Với bài toán này ta có:       2         2

f x  f x  f x  e f x  f x  f x  e

 Lấy nguyên hàm hai vế, ta được: 2         2

e f x  f x  f x x e x

 Dựa vào điều kiện ban đầu:  

1

1

0

2

C C





 Suy ra:   1 2

2 e 2

x

f x   x

Ví dụ 8.2.11 Tìm hàm số y f x  có đạo hàm cấp hai xác định trên và thoả mãn điều kiện:

f x  f x  f x  và f  0 1,f  1 2?

Ví dụ 8.2.12 Tìm hàm số y f x  có đạo hàm cấp hai xác định trên và thoả mãn điều kiện:

f x  f x  f x  và f  0 1, f  1 4?

8.3 Công thức đạo hàm tích: (xf x( )) 'xf'( )x và (u ( )) 'f x u f x '( )u' ( )f x

Ví dụ 8.3.1 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên thỏa mãn: xf x'( ) f x( )2x1 và

(0) 1

f  Hãy xác định giá trị (1)f ?

Lời giải

Ta có: (xf x( ))'xf x'( ) f x( )

Ta có: (xf x( ))'xf x'( ) f x( )

Nguyên hàm hai vế biểu thức giả thiết ta được: ( '( )x f x  f x dx( )) (2x1)dx

2

( )

    Cho x 0 0 (0)f 02  0 C 0

Suy ra hàm số: x f x ( )x2 x f x( ) x 1

Suy ra: (1)f   1 1 2

Ví dụ 8.3.2 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên thỏa mãn: xf x'( ) 2 ( ) f x 3x2 và

(0) 1

f  Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

Lời giải

Với x 0 2 (0)f  2 f(0) 1( TM)

Với x 0 xf x'( ) 2 ( ) f x 3x 2 x f x2 '( ) 2 ( ) xf x 3x22x(x f x2 ( ))'3x22x

( )

x f x x x C Cho x  0 C 0.Suy ra: x f x2 ( )x3x2 f x( ) x 1

Ví dụ 8.3.3 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên \ 0 và thỏa mãn điều kiện:  

2

tan '( ) (1 tanf x   x f x) ( )2x1 và (0)f 1 Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

Lời giải

2

1 (tan )' (1 tan ) (tan ( ))' tan '( ) (1 tan ) ( )

cos

x

Từ giả thiết, suy ra : (tan ( ))'x f x tan '( ) (1 tanx f x   2x f x) ( )2x1 \

tan ( )x f x x2 x C.Cho x0vào hai vế ta được: tan0 ( )f x  C 0

Suy ra:

2 2

tan ( ) ( )

tan

x



   

Ví dụ 8.3.4 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên \ 0 và thỏa mãn điều kiện:  

2

''( ) ( ) ( '( )) 6 2

f x f x  f x  x và (0)f 1 Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

Lời giải

Ta có: ( ')u u u u'' ( ')u 2( ( ) '( ))'f x f x  f''( ) ( ) ( '( ))x f x  f x 2

Từ giả thiết, suy ra : ( ( ) '( ))'f x f x 6x 2 f x f x( ) '( )3x22x a Thay (0)f 1, '(0)f 0vào điều kiện ban đầu, ta được:

f(0) '(0)f   a 0 f x f x( ) '( )3x22x f x f x dx( ) '( ) (3x22 )x dx

2

( ( ))

2

f x

Thay điều kiện

x    b x x   f x  x  x 

Ghi nhớ: Ta có công thức đạo hàm: ( ')'u u k u u'' kk u k1.( ')u 2u k1( ( ')k u 2u u'' )

Ví dụ 8.3.5 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên \ 0 và thỏa mãn điều kiện:  

2

''( ) ( ) 4( '( )) '( )

f x f x  f x  f x và (0) 1, '(0) 1, ( ) 0

4

f  f  f x  với x Hãy xác định hàm số ( ) ?

y f x

Lời giải

Ta có công thức đạo hàm: ( ')'u u k u u'' kk u k1.( ')u 2u k1( ( ')k u 2u u'' )

Từ giả thiết, suy ra: ( ( )) ( ''( ) ( ) 4( '( )) )f x 3 f x f x  f x 2 ( ( ))f x 3f x'( )

( ''( ).( ( ))f x f x 4( '( )) ( ( )) )f x f x ( ( ))f x f x'( )

Nguyên hàm hai vế ta được:

4

4 ( ( )) ( ( )) '( )

4

f x

f x f x  C Thay điều kiện ban đầu vào ta được:

f

Suy ra :

4

f x

Thay 0 (0) 1 ( ) 1 1

4

x  f   C f x  x

Ví dụ 8.3.6 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên \ 1 và thỏa mãn điều kiện:  

( ).ln ( ) '( ) '( )

f x f x xf x  f x và (0)f e Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

Lời giải

( ).ln ( ) '( ) '( ) ln ( ) ln ( ) '

Nguyên hàm hai vế ta được: '( )

( )

f x

f x

Thay điều kiện vào ta được: 0.ln (0)f ln (0)f   C 0 lne C   C 1

Suy ra :

1 1

1

ln ( ) ln ( ) 1 ln ( ) ( )

1

x

x





Ghi nhớ: Ta có công thức :   '( )

.ln ( ) ' ln ( )

( )

x f x

f x

Ví dụ 8.3.7 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên và thỏa mãn:xf'( ) 3 ( )x  f x 2và

2

(0)

3

f  Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

Ví dụ 8.3.8 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên \ 0 và thỏa mãn điều kiện:  

cot '( ) (1 cotx f x   x f x) ( )3x e x Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

Ví dụ 8.3.9 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên \ 0 và thỏa mãn điều kiện:  

2

''( ) ( ) 3( '( )) 6 ( )

f x f x  f x  x f x  và (0)f 1, '(0)f 1 Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

Ví dụ 8.3.10 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên \ 1 và thỏa mãn điều kiện:  

( ).ln ( ) '( ) 2 ( )

f x f x xf x  xf x và (0)f e Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

8.4 Công thức đạo hàm thương: f x( ) ' x f x '( )2 f x( )



  

2

''( ) ( ) '( ) '( )

'

f x





Ví dụ 8.4.1 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên và thỏa mãn:xf x'( ) f x( )x3,

(1) 2

f  Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

Lời giải

Nhận thấy có thể lờ đi việc xét điều kiện x0 Từ giả thiết, ta có biến đổi:

2 3

2

2

Suy ra :

3

( ) 2

x

f x  Cx Dựa vào điều kiện ban đầu

3

2

2

f   f  C   C Suy ra :

3

( ) 2

x

f x  x

Ví dụ 8.4.2 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên 0; thỏa mãn:xf x'( ) 2 ( ) f x x2,

(1) 2

f  Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

Lời giải

Giả thiết suy ra:

2

x f x xf x x

Nguyên hàm hai vế ta được: f x( )2 dx ln x C f x( ) x2ln x Cx2

Dựa vào điều kiện ban đầu: f(1) 1 ln 2 x C.1 2  C 2

Suy ra hàm số: f x( )x2lnx 2x2

Ghi nhớ: Ta có công thức :

1

'

f x x f x k x f x x f x k f x





Ví dụ 8.4.3 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên 0; thỏa mãn:

f x f x  f x  f x  , (0)f  f '(0)1 Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

Lời giải

Giả thiết suy ra:  

2 2

''( ) ( ) '( ) '( )

( ) ( )

f x

f x

    

Nguyên hàm hai vế ta được: '( )

3 ( )

f x

x C

f x    Dựa vào điều kiện ban đầu: '(0)

(0)

f

f      

Dựa vào điều kiện ban đầu:

2

3 2

2 1

3

2

x x

x

f C   f x    x f x e 

Ghi nhớ: Ta có công thức :

     

1

( ) ''( ) ( ) '( ) ( ) ''( ) '( ) '( )

'

k

f x





Ví dụ 8.4.4 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên và thỏa mãn điều kiện:xf x'( )f x( )x, (1) 2

f  Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

Ví dụ 8.4.5 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên và thỏa mãn điều kiện: '( ) 4 ( ) 6

xf x  f x  x, (1)f 3 Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

Ví dụ 8.4.6 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên và thỏa mãn điều kiện: '( ) 2020 ( ) 1

xf x  f x  , (1) 1f  Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

Ví dụ 8.4.7 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên và thỏa mãn điều kiện:

tan '( ) (1 tan ) ( ) 6tan , ( ) 1

4

Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

Ví dụ 8.4.8 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên và thỏa mãn điều kiện:

( ) ''( ) 2 '( ) 6 ( ) , (0) 1

f x f x  f x  f x f  Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

Ví dụ 8.4.9 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên và thỏa mãn điều kiện:

( ) ''( ) 2019 '( ) 2 ( ) , (0) 1

f x f x  f x  f x f  Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

8.5 Một số dạng phương trình vi phân không mẫu mực f (x) xf (x) f (x)2

Ví dụ 8.5.1 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên 0; thỏa mãn:

2

( ) - ( ) ( )

- 2, (1) 1

xf x f x f x

f



  Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

Lời giải

Đặt u f x( ) u xf x'( )2 f x( )





   Khi đó giả thiết ban đầu trở thành:

    Dựa vào điều kiện ban đầu:

(1)

(1) 1 ln 1 2 1 0 1 1

f

         

Suy ra: lnu 2 x 1 u 2 e x1 f x( ) f x( ) 2x xe x1

x

Ví dụ 8.5.2 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên 0; thỏa mãn:

( ) - ( ) ( ) , (1) 2

xf x f x  f x f  Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

Lời giải

Đặt u f x( ) u xf x( )2 f x( )

 



   Khi đó giả thiết ban đầu trở thành:

2

2

( ) - ( ) ( )

1



     

  Nguyên hàm hai vế, ta được:

1

( )

x

x C

     Thay x1 vào, suy ra:

              



Ví dụ 8.5.3. Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm xác định trên 0; thỏa mãn:

( ) - ( ) ( ) -x , (1) 2

xf x f x  f x f  Hãy xác định hàm số y f x( ) ?

Lời giải

Đặt u f x( ) u xf x( )2 f x( )

 



   Khi đó giả thiết ban đầu trở thành:

2

2

( ) - ( ) ( )

1



Nguyên hàm hai vế, ta được:

  

 

u

x C



   

  Thay x1 vào, suy ra:

  

 1 1

f

f



      

 Suy ra:  

2 2 ln 3

2 2

3

x x

x

x

x e





 





Ví dụ 8.5.4 Cho hàm số f x có đạo hàm xác định trên   0;  thỏa mãn:      

2

2

 

 1 1

f  Hãy xác định hàm số y f x 

Ví dụ 8.5.5 Cho hàm số f x có đạo hàm xác định trên   0;  thỏa mãn:       3

2

  

  ,

 1 1

f  Hãy xác định hàm số y f x 

Ví dụ 8.5.6 Cho hàm số f x có đạo hàm xác định trên   0;  thỏa mãn:    

 

2

 

 ,

 1 1

f  Hãy xác định hàm số y f x 

Ví dụ 8.5.7  4 Cho hàm số f x xác định trên   thỏa mãn:     2019

0

f x x

f x e e   và f  1 2020 Hỏi giá trị f  2 bằng bao nhiêu?

Lời giải

 Trong nội dung này, dạng thứ nhất tác giả muốn đề cập tới là phương trình vi phân đưa về dạng:

 u v

e e  u v

 Như vậy, phương trình vi phân sẽ được cho theo chuỗi triển khai như sau:



 Áp dụng vào bài toán cụ thể ta có

 Từ giả thiết suy ra   f x  x 2019

f x e e 

 Lấy nguyên hàm hai vế, ta được     2019   2019

e f x dx e  dxe e  C

 Thay x1 vào hai vế của  * , suy ra   1 1 2019 2020

0

f

Suy ra   2019    

f x x

Ví dụ 8.5.8.  4 Cho hàm số f x có đạo hàm xác định trên   và thỏa mãn:   3   3 1 2

0

f x x

f x e   x 

và f  1 0 Hỏi giá trị f  4 bằng bao nhiêu?

 Từ giả thiết ta nhân hai vế với x3 1

e  , suy ra:   3   2 3 1   3   2 3 1

f x x 3 f x 3 x

f x e x e   f x e  x e 

 Lấy nguyên hàm hai vế, sẽ được: 3     3 1 2 3   3 1

e f x dx e  x dxe e  C

 Thay x1 vào hai vế của (*), suy ra: 3   1 0

0

f

e     e C C

 Suy ra 3f x  x3 1

4 21

x

x

