MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM ẨN NÂNG CAO

Phương pháp 1: Biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản a. Kiến thức sử dụng + Nếu với mọi thì + Các công thức về đạo hàm cần ghi nhớ. b.Ví dụ áp dụng Ví dụ 1. Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn với mọi Tính tích phân Nhận xét: Từ giả thiết ta có: biểu thức vế trái có dạng Từ đó ta có lời giải. Lời giải: Ta có Do Nên ta có: Khi đó Ví dụ 2. Cho hàm số liên tục, không âm trên và thỏa mãn với mọi và Tính tích phân Nhận xét: Từ giả thiết ta có: biểu thức vế trái có dạng Từ đó ta có lời giải. Lời giải: Ta có Do Nên ta có: (vì không âm trên ). Khi đó Ví dụ 3. Cho hàm số đồng biến, có đạo hàm trên đoạn và thỏa mãn với mọi Biết tính Lời giải: Do đồng biến trên đoạn Ta có: do và và Vì Khi đó

Phương pháp 1: Biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản

a Kiến thức sử dụng

+ Nếu ( )F x� =f x( ) với mọi x K� thì ( )F x =�f x x( )d

+ Các công thức về đạo hàm cần ghi nhớ

( )

u v uv�+ �= uv�

g

2

v v

�

��

�- �= �������

�

��

2

u

u u

=

g gnu u n- 1 �=( ) u n �

2

1 .

u

u u

�

��

� ���

- = �������

g

b.Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1 Cho hàm số f x �( ) 0 liên tục trên đoạn [1;2] và thỏa mãn

2 2 2

1

(1) , ( ) (1 2 ) ( )

3

f = x f x� = - x f x với mọi x �[1;2] Tính tích phân

2

1

( )d

I =�f x x

Nhận xét: Từ giả thiết ta có:

2

2 2

( ) 1 2

, ( )

-= biểu thức vế trái có dạng

2

1 .

u

u u

�

� �

�= -� �� �� ��� �� Từ đó ta có lời giải

( ) ( )

f x

�

-�

2

� - = �� - �� � - = - - +

3

f = �C = Nên ta có:

2

2

f x

+

+ Khi đó

2

d(1+2 )

x x

Ví dụ 2 Cho hàm số f x( ) liên tục, không âm trên � và thỏa mãn

2

( ) ( ) 2 ( ) 1 0

f x f x� - x f x + = với mọi x �� và f(0)=0 Tính tích phân

1

0

( )d

I =�f x x

Nhận xét: Từ giả thiết ta có: ( ) ( )2 2 ,

( ) 1

f x

�

= + biểu thức vế trái có dạng 2 2

=

có lời giải

2

( ) ( )

( )

f x f x

f x

�

�

Do (0)f = �0 C = Nên ta có:1

2( ) 1 2 1 2( ) 1 ( 2 1)2 2( ) 2( 2 2) ( ) 2 2

f x + =x + �f x + = x + � f x =x x + � f x =x x + (vì ( )f x không âm trên

�)

Khi đó

0

Ví dụ 3 Cho hàm số f x( ) đồng biến, có đạo hàm trên đoạn [1;4] và thỏa mãn

2

2 ( ) [ ( )]

x+ x f x = f x� với mọi x �[1;4] Biết (1) 3,

2

f = tính

4

1

( )d

I =�f x x

Lời giải: Do ( )f x đồng biến trên đoạn [1;4]�"޳f x�( ) 0, x [1;4] Ta có:

2 ( ) [ ( )] (1 2 ( )) [ ( )] ,

x+ x f x = f x� �x + f x = f x� do x �[1;4] và f x� � " �( ) 0, x [1;4]

1

( )

2

f x

1 2 ( )

f x

f x

�

+ 2

3

3 2

Khi đó

4

3 2 4 2

I = f x x= ����x + x + �����x=���� x + x + x�����=

Ví dụ 4 Cho hàm số f x( ) đồng biến, có đạo hàm cấp hai trên đoạn [0;2] và thỏa mãn

2[ ( )]f x - f x f x( ) ( ) [ ( )]� +f x� =0 với mọi x �[0;2] Biết ff(0)=1, (2)=e6, tính tích phân 0

2

(2 1) ( )d

Nhận xét: Từ giả thiết ta có:

2 2

( ) ( ) [ ( )] 2, [ ( )]

f x

= biểu thức vế trái có dạng ( ) ,

( )

f x

f x

�

�� �

Từ đó ta có lời giải

Lời giải: Do ( )f x đồng biến trên đoạn [0;2] nên ta có ff(0)�޳��( )x ff(2) 1 ( )x e6

Ta có

2

2

( ) ( ) [ ( )] ( )

( ) [ ( )]

f x

f x

2

1

Mà 1�f x( )�e6 nên ta có: 2

1

ln ( )f x =x +Cx C+

6

1 1

(2)

�

2 2

ln ( )f x x x f x( ) e x+x

2

(2 1) ( )d (2 1) x xd x xd( ) x x 1

-Ví dụ 5 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm cấp hai trên � và thỏa mãn 3 ( ) ( ) 2 1 22 0

( )

f x e

f x

-

với mọi x �� Biết f(0)=1, tính tích phân

7

0

( )d

I =�x f x x

2

2

( )

f x

- - + � �� +

( ) 2 1d 1d( 2 1) 1

Do f(0)= � = +1 e e C �C = �0 e f x2 ( )=e x2 + 1�f x3( )=x2+ �1 f x( )=3x2+ 1

Khi đó

7

3 2 3 2 2 2 3 2

0

Ví dụ 6 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm cấp hai trên đoạn [0;1] và thỏa mãn

( ) ( 1) ( ) 1

f x + x+ f x� = với mọi x �[0;1] Biết (5) 7,

6

f = tính tích phân

1

0

( )d

I =�f x x

Nhận xét: Từ giả thiết ta có: (x+1) ( ) (�f x + x+1) ( )f x� = vế trái là biểu thức có dạng1,

( )

u v uv�+ �= uv� Từ đó ta có lời giải

Lời giải: Ta có ( ) (f x + x+1) ( )f x� = �1 (x+1) ( ) (�f x + x+1) ( )f x� = �1 [(x+1) ( )]f x �=1

(x 1) ( )f x dx (x 1) ( )f x x C

2

1

x

x

+

+ Khi đó

1 1 1

1 0

0 0 0

x

Nhận xét: Với ( )u x là biểu thức cho trước thì ta có [ ( ) ( )] u x f x � �=u x f x( ) ( )+u x f x( ) ( ).� Đặt ( )v x =u x�( )

ta được [ ( ) ( )]u x f x �=v x f x( ) ( )+u x f x( ) ( ) ( ).� * Như vậy biểu thức có dạng ( ) ( )v x f x +u x f x( ) ( )� ta có thể biến đổi đưa về dạng [ ( ) ( )] u x f x �Khi đó ta có bài toán tổng quát cho ví dụ 6 như sau:

Cho ( ), ( ), ( )A x B x g x là các biểu thức đã biết Tìm hàm số ( ) f x thỏa mãn

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A x f x +B x f x� =g x **

Do vế trái có dạng ( )* nên ta có thể biến đổi ( ) [ ( ) ( )]** u x f x �=g x( )

Trong đó ( )u x được chọn sao cho: ����u x u x( )( )=B x A x( )( ) u x u x�( )( ) A x B x( )( ) u x u x�( )( )dx A x B x( )( )d x

Suy ra ln ( )u x =G x( )+ với ( )C G x là một nguyên hàm của ( ),

( )

A x

B x từ đây ta sẽ chọn được biểu thức ( ).u x

Ví dụ 7 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên đoạn [0;1] thỏa mãn (1) 1

2018

2018

2018 ( )f x +x f x ( )� =2x với mọi x �[0;1] Tính tích phân

1

0

( )d

I =�f x x

Nhận xét: Trước hết ta đi tìm biểu thức: ( ).u x Ta có:

2018

2018

ln ( )u x dx ln ( )u x 2018lnx C ln ( )u x lnx C

x

ta có lời giải như sau:

Lời giải: Ta có [x2018 ( )] =2018f x � x2017f x( )+x2018f x�( )=x2017[2018 ( )f x +xf x�( )]=x2017.[2x2018] 2= x4035

Khi đó 2018 ( ) 2 4035d 2018 ( ) 4036

2018

x

Do 1 1 1 2018

Khi đó

1

1 1 2018 2019

1

2018 2019.2018 2018.2019

�

Ví dụ 8 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên đoạn [1;2] và thỏa mãn (x+1) ( )f x +xf x�( )=2e x

với mọi x �[1;2] Biết f(1)=e, tính tích phân

2

1

( )d

I =�x f x x

Nhận xét: Trước hết ta đi tìm biểu thức: ( ).u x Ta có:

1

x

+

chọn ( )u x =xe x, từ đó ta có lời giải như sau:

Lời giải: Ta có [xe f x x ( )] =(� xe f x x) ( )� +xe f x x �( )=(e x+xe f x x) ( )+xe f x x �( )=e x x[( +1) ( )f x +xf x�( )]

[xe f x x ( )]� e e x(2 )x xe f x x ( ) 2 de x x xe f x x ( ) e x C

x

x

Khi đó

2 2

2 2 1

1 1

I =�xf x x=�e x=e =e - e

Ví dụ 9 Cho hàm số f x( ) liên tục và có đạo hàm trên �\ { 1;0}- thỏa mãn

2

( 1) ( ) ( )

x x+ f x� +f x =x +x với mọi x ��\ { 1;0}- và f(1)= - 2ln2 Tính tích phân

2

1

( )d

I =�x f x x

Nhận xét: Trước hết ta đi tìm biểu thức: ( ).u x Ta có:

x

�

1

x

u x x

= + từ

đó ta có lời giải như sau:

Lời giải: Ta có

�

2

1

1

2

Khi đó

2

2

1

4

x

�

Với

2

1

1

( 1)ln( 1)d

2

1 d

u

�

� =

�

�

�

2 2 2 2

1

x

Khi đó 4 1 4 9ln3 2ln2 5 31 9ln3 2ln2

�

Phương pháp 2: Biến đổi đổi biến số

a Kiến thức sử dụng

+ Công thức:

( )

( )

[ ( )] ( )d ( )d

u b b

f u x u x x� = f u u

+ Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho x

Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến, tức là ( )d ( )d ( )d

b.Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1 Cho hàm số f x( ) liên tục trên � và thỏa mãn 2018 ( )f x + -f x( )=e x với mọi x ��

Tính tích phân

1

1

( )d

Nhận xét: Giả thiết chứa ( )f x và ( ) f x- nên ta biến đổi tạo ra biểu thức bằng cách đặt x= - từt,

đó ta có lời giải

Lời giải: Đặt x= - �t dx= -d ,t đổi cận: 1 1

�

� = - � =

�

� = � =

-� Khi đó:

-Vì

1 1

1 1

2018I I 2018 f x x( )d f x x( )d

-

-Nên

1 1

2019

Ví dụ 2 Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn 2;1

3

� �

� �

� � và thỏa mãn 2 ( ) 3 2 5

3

x

� ��

� � + � �� ��� �= với mọi

2

;1

3

x�� �� �� �� � Tính tích phân

1

2 3

( )

d

f x

x

Nhận xét: Giả thiết chứa ( )f x và 2

3

f x

� ��

� �

� �

� �

�

� � nên ta biến đổi tạo ra biểu thức bằng cách đặt 2,

3

x t

=

từ đó ta có lời giải

Lời giải: Đặt 2 d 22d ,

2

1

2 1

3

�

� = � =

�

�

� = � =

�

�

Khi đó:

2

1 1

3 2

3 3

2

3

t

Ta có: 1 1 1 1 1

( )

Ví dụ 3 Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [0;2] và thỏa mãn

2

3 ( ) 4 (2f x - f - x)= -x - 12x+16 với mọi x �[0;2] Tính tích phân

2

0

( )d

I =�f x x

Nhận xét: Giả thiết chứa ( )f x và (2 f - x) nên ta biến đổi tạo ra biểu thức bằng cách đặt

2 ,

x= - t từ đó ta có lời giải

Lời giải: Đặt x= -2 t�dx= - d ,t đổi cận: 0 2

�

� = � =

�

� = � =

� Khi đó:

I = - �f - t t=�f - t t� =I �f - x x

Ta có:

2

3I - 4I =3�f x x( )d - 4�f(2- x x)d =�[3 ( ) 4 (2f x - f - x x)]d � - =I �(- x - 12x+16)dx

2 3

2

0

x

� - = -� - + ��= � =

Ví dụ 4 Cho hàm số f x( ) liên tục trên � và thỏa mãn f x( )=4 ( ) 2xf x2 + x+1 với mọi x ��

Tính tích phân

1

0

( )d

I =�f x x

Nhận xét: Giả thiết chứa ( )f x và f x( )2 nên ta biến đổi tạo ra biểu thức bằng cách đặt x=t2, từ

đó ta có lời giải

Lời giải: Đặt x=t2�dx=2 d ,t t đổi cận: 0 0

�

� = � =

�

� = � =

� Khi đó:

I =�f t t t� =I �xf x x

Ta có:

1

0

I - I =�f x x- �xf x x=�f x - xf x x=�x+ x= x +x = � - = � = -I I

Ví dụ 5 Cho hàm số f x( ) liên tục trên � và thỏa mãn f x( 3+2x- 2)=3x- 1 với mọi x ��

Tính tích phân

10

1

( )d

I =�f x x

Lời giải: Đặt x=t3+ -2t 2�dx=(3 +2)d ,t2 t đổi cận:

3 3

�

� = � + = � =

�

�

Ta có:

2

t

�

Ví dụ 6 Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [ 1;5]- và thỏa mãn [ ( )]f x +f x( ) 2+ =x với mọi x � -[ 1;5] Tính tích phân

4

0

( )d

I =�f x x

Lời giải: Đặt t=f x( )�t2019+t+ = �2 x dx=(2019t2018+1)d ,t đổi cận:

2019

2019

�

-�

�

�

Khi đó:

1

2018 2018 2020 2

�

Ví dụ 7 Biết mỗi số thực t �0 phương trình 4x3+tx- 4=0 có nghiệm dương duy nhất

( ),

x=x t với x t( ) là hàm số liên tục theo t trên [0;+�) Tính tích phân

7 2 0

[ ( )] d

I =�x t t

Lời giải: Đặt t 4 4x3 dt 8x32 4d ,x

3

3

1

2

�

�

�

�

�

Ta có:

1

1

1 2

2

2

8

x

x

+

Phương pháp 3: Phương pháp tính tích phân từng phần

a Kiến thức sử dụng

+ Công thức: ( ) ( )d ( ( ) ( )) ( ) ( )d ,

b a

u x v x x� = u x v x - v x u x x�

tục trên K và , a b là hai số thuộc K )

b.Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1 Cho hàm số f x( ) liên tục, có đạo hàm trên � thỏa mãn f( 3)= 3 và 3

2

0

( )d

1

1

f x x

+

� Tính tích phân

3

2 0

( )ln( 1 )d

Lời giải: Đặt

2

2

1

1

x

�

Khi đó:

3 3 2

2

0 0

( )

1

f x

x

-+

Ví dụ 2 Cho hàm số f x( ) liên tục, có đạo hàm trên � thỏa mãn 2 (3)ff - (0)=18 và 3

0

302

15

f x� + x+ x=

� Tính tích phân

3

0

( ) d 1

f x

x

=

+

� Lời giải: Đặt

1

1)

2 2 1

x

�

Khi đó:

3 3 0 0

( )

x

�

3

0

Ví dụ 3 Cho hàm số f x( ) liên tục, có đạo hàm đoạn [1;3] thỏa mãn ff =(3) (1)=3 và 3

1

( )

d 0

1

xf x

x

x

�

= +

� Tính tích phân

3

2 0

( ) ln( )

d ( 1)

x

+

=

+

�

Lời giải: Xét

3

2 0

( ) ln( )

d , ( 1)

x

+

=

+

2

1

1

1 ( 1)

x

v x

Khi đó:

3 3

3 1 1

1

xf x x

Ví dụ 4 Cho hàm số f x( ) liên tục, có đạo hàm trên đoạn [0;1] thỏa mãn (1) 1

2

1

2 0

[ ( )f x� +x]ln(1+x )dx=2ln2 1

1 2 0

( )

d 1

xf x

x

= +

�

Lời giải:

1

2 0

[ ( )f x� +x]ln(1+x)dx=2ln2 1,

2

2 2

2

x

�

� =

�

�

� Khi đó:

1 1 2

2

2 0 0

2 ( ) 1

xf x x

x

- =�� + �� + �- ��� + �� =

�

1 1 2

0 0

( )

1

xf x

x

-+

-Phương pháp 4: Tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân.

a Kiến thức sử dụng

+ Nếu ( )f x � với mọi 0 x�[ ; ]a b thì ( )d 0,

b

a

f x x �

� dấu bằng xảy ra � f x( )= " �0, x [ ; ].a b

Hệ quả: 2( )d 0 ( ) 0

b

a

� với mọi x�[ ; ]a b b.Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1 Cho hàm số f x( ) liên tục, có đạo hàm liên tục trên [0;1] Biết

0

( )d 1

xf x x =

1

2

0

[ ( )] df x x =3

� Tính tích phân

1 2018 0

[ ( )] d

Nhận xét: Giả thiết chứa [ ( )]f x 2 và ( )xf x nên tạo bình phương dạng [ ( )f x - ax] 2 Ta chọn a sao cho

[ ( )f x - ax x] d = �0 ([ ( )]f x - 2axf x( )+a x )dx= �0 [ ( )] df x x- 2a xf x x a( )d + x xd =0

3

3

a

� - + = � = Từ đó ta có lời giải

Lời giải: Ta có:

[ ( ) 3 ] df x - x x= �0 ([ ( )]f x - 6 ( ) 9 )dxf x + x x= [ ( )] df x x- 6 xf x x( )d +9 x xd

3 6 3 0 f x( ) 3 x

Khi đó: Nên

1 1 2018

2018 2018 2018

3

2019

Ví dụ 2 Cho hàm số f x( ) liên tục, có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;

2

p

� �

� �

� � Biết 0,

2

f� �� �=� �� �p�

�

� �

2

2

0

[ ( )] df x x

p

p

0

cos ( )d

2

x f x x

p

p

=

� Tính tích phân 2

0

( )d

p

Nhận xét: Giả thiết chứa [ ( )]f x� 2 và ( )f x nên tạo bình phương dạng, do đó trước hết ta biến đổi

2

0

cos ( )dx f x x

p

� để tạo biểu thức ( )f x� bằng cách đặt:

,

0 0

( ( )sin ) ( )sin d

p p

0

( )sin d

2

p

p

�

-Đến đây ta được hai biểu thức [ ( )]f x� 2 và ( ).sinf x� x nên ta tạo bình phương dạng [ ( )f x� - asin ] x2

[ ( )f x asin ] dx x 0 [ ( )]f x 2 sin ( )a x f x a sin ]dx x 0

[ ( )] df x x 2a sinxf x x a( )d sin dx x 0

2 2

� + + = � ���+ ��= � =

có lời giải

Lời giải: Xét 2

0

cos ( )d ,

2

x f x x

p

p

=

0 0

( ( )sin ) ( )sin d

p p

0

( )sin d

2

p

p

�

4 [ ( ) 2sin ] d 0 [ ( )] 4sin ( ) 4sin ]d 2 0

4

p

( ) 2cos

2

f� �� �= � =� �� ��p� C

� � nên ta có: ( )f x =2cos x

Ta có: 2 2

0 0

( )d 2 cos d 2

Ví dụ 3 Cho hàm số f x( ) liên tục, có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] Biết ( 1) 7,

10

f - =

-2

0

1

( ) d 169

105

f x

x x

-�� �

0

1

103 ( 1) ( )d

420

� Tính tích phân

1

0

( )d

I =�f x x

Nhận xét: Giả thiết chứa

2

( )

f x x

�� �

� � và ( )f x nên ta chưa thể tạo bình phương, do đó trước hết ta

biến đổi

0

1

(x 1) ( )df x x

-� để đưa về ( )f x� bằng cách đặt:

2

d ( )d ( )

,

2

x

� =

0 0 2

2 1 1

( ) ( 2 ) ( )d

x

-��� � ��

�

=�� - �� � -

0

2

1

169

105

-�

Đến đây ta được hai biểu thức

2

( )

f x x

�� �

và (x2- 2 ) ( )x f x� nên ta tạo bình phương dạng

2

3 2

( )

( 2 )

f x

x

Ta chọn a sao cho

3 2 3 2 2 3 2 2

�

2

3 2 2 3 2 2

105 a105 105a a

có lời giải

Lời giải: Xét

0

1

103 ( 1) ( )d ,

420

d ( )d ( )

,

2

x

� =

Khi đó

0 0 2

2 1 1

-��� � �

�

�

=�� - �� � -

0 2 1

169

105

-�

Ta có:

3 2 3 2 3 2 2

�

2

2 3 2 2

( ) d 2 ( 2 ) ( )d ( 2 ) d 169 2.169 169 0

105 105 105

f x

x

�� �

3 2 4 3 5 4

f x

x

10

f - = - �C = nên ta có: 1 5 1 4

Khi đó:

1

1 1

5 4 6 5

I = f x x= �����x - x �����x=����� x - x�����=

Ví dụ 4 Cho hàm số f x( ) liên tục, có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2] Biết f(2)=7 và

2 4

[ ( )]f x� =21x - 12x- 12 ( )xf x với mọi x �[0;2] Tính tích phân

2

0

( )d

I =�f x x

Lời giải: Từ giả thiết ta có:

2 2

2 4

0 0

[ ( )] df x� x= [21x - 12x- 12 ( )]dxf x x

552

5

Đến đây ta có hai biểu thức [ ( )]f x� 2 và ( )f x nên ta chưa thể tạo bình phương, do đó trước hết ta

biến đổi

2

0

( )d

xf x x

� để tạo ra f x�( ) bằng cách đặt 2

d ( )d ( )

,

2

x

� =

Khi đó

2

x

xf x x=��� f x���- x f x x� = - x f x x�

Mà

2

4

0

288

9 d

5

x x =

� nên ta có: ( )**

2 2 4

[ ( )] df x� x 6 x f x x�( )d 9 dx x 0

2

2 2 2 3 0

[ ( ) 3 ] df x� x x 0 f x�( ) 3x f x( ) x C

�� - = � = � = + mà f(2)= �7 C = - �1 f x( )=x3- 1

Khi đó:

2 1

3

0 0

Ví dụ 5 Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [0;1] Biết

1

0

( )d 2

f x x =

� Biết

1

0

7 ( )d

6

x f x x =

1

2

0

13 [ ( )] d

3

� Tính tích phân

1 3 0

[ ( )] d

Nhận xét: Giả thiết chứa [ ( )] , ( )f x 2xf x và ( ) f x nên ta tạo bình phương dạng [ ( )f x +ax b+ ] 2 Ta chọn ,

0

[ ( )f x +ax b x+ ] d =0

�

1

2 2 2 2

0

[ ( )]f x 2axf x( ) 2 ( ) 2bf x abx a x b dx 0

[ ( )] df x x 2a xf x x( )d 2b f x x( )d 2ab x xd (a x b)dx 0

2

a

Để có a thì D =(3b+7)2- 4(3b2+12b+13)� � -0 3(b+1)2� � = - � = -0 b 1 a 2, từ đó ta có lời giải Lời giải: Ta có:

1

2 0

[ ( ) 2f x - x- 1] dx=0

0

[ ( )]f x 4 ( ) 2 ( ) 4xf x f x x 4x 1 dx 0

[ ( )] df x x 4 xf x x( )d 2 f x x( )d 4 x xd (4x 1)dx 0

13 4.7 4 2 4 1 0 ( ) 2 1.

Khi đó:

1 1

3 3

0 0

[ ( )] d (2 1) d 10

Ví dụ 6 Cho hàm số f x( ) liên tục liên tục trên đoạn 0;

2

p

� �

� �

� � thỏa mãn

0

3 [ ( )] d 2

4

p

p

� Tính tích phân 2

0

( )cos d

p

Nhận xét: Giả thiết chứa [ ( )] , sin ( )f x 2 x f x và ( ) f x nên ta tạo bình phương dạng [ ( )f x +asinx b+ ] ,2

ta chọn ,a b sao cho 2

2 0

[ ( )f x asinx b x] d 0

p

�

2

0

[ ( )]f x 2 sin ( ) 2 ( ) 2 sina xf x bf x ab x a sin x b dx 0

p

[ ( )] df x x 2a sin ( )dxf x x 2b f x x( )d 2ab sin dx x ( sina x b)dx 0

2 2

3

� + + ��� + +�� ��� + +�� + + =

(a 1) 8(a 1)(b 1) 2 (b 1) 0

Để có a thì D =� 16(b+1)2- 2 (p2b+1)2� �0 (16 2 )(- p2 b+1)2� � = - � = -0 b 1 a 1 Từ đó ta có lời giải

Lời giải: Ta có: 2 2

0

[ ( ) sinf x x 1] dx

p

0

[ ( )]f x 2sin ( ) 2 ( ) 2sinxf x f x x sin x 1 dx 0

p

�

[ ( )] df x x 2 sin ( )dxf x x 2 f x x( )d 2 sin dx x (sin x 1)dx 0

= + - ��� + -�� ��� + + +�� = � = +

Khi đó: 2

0

3 (sin 1)cos d

2

p