Bài 2 hàm số lũy THỪA

HÀM SỐ LŨY THỪAA.. Khái niệm hàm lũy thừa Hàm số lũy thừa là hàm số cĩ dạng y x= α,α∈¡.. Trong trường hợp tổng quát ta khảo sát hàm số y x= α trên khoảng này... HÀM SỐ LŨY THỪAB.. PHÂN

BÀI 2 HÀM SỐ LŨY THỪA

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1 Khái niệm hàm lũy thừa

Hàm số lũy thừa là hàm số cĩ dạng y x= α,α∈¡

Chú ý: Tập xác định của hàm số lũy thừa phụ thuộc vào giá trị của α

- Với α

nguyên dương thì tập xác định là R

- Với α

nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ¡ \ 0{ }

- Với α

khơng nguyên thì tập xác định là(0;+∞)

Theo định nghĩa, đẳng thức

1

n x=x n

chỉ xảy ra nếu x>0. Do đĩ, hàm số

1

n

y x=

khơng đồng nhất

với hàm số y=n x n( Ỵ ¥ *)

Bài tập

3

y= x

là hàm số căn bậc 3, xác định với mọi x Ỵ ¡ ; cịn hàm số

lũy thừa

1 3

y x=

chỉ xác định khi x>0

2.Đạo hàm của hàm số lũy thừa

( ) ( )

'

1 '

1

vớ i 0; ',vớ i 0 1

, vớ i mọi 0 nếu chẵ n, vớ i mọi 0 nếu lẻ '

, vớ i mọi u 0 nếu chẵ n, vớ i mọi u 0 nếu lẻ

n

n n

n

n n

n x u

n u

3.Khảo sát hàm số lũy thừa

Tập xác định của hàm số lũy thừa y x= α

luơn chứa khoảng (0;+∞)

với mọi α ∈¡

Trong trường

hợp tổng quát ta khảo sát hàm số y x= α

trên khoảng này.

*

α∈¥

*

2 ,n n

 Tập xác định: D=¡

 Sự biến thiên:

2n 2 2 1n

y x= ⇒ =y′ n x −

 Tập xác định: D=¡

 Sự biến thiên:

2n 1 2 1 2n 0

y x= + ⇒ =y′ n+ x ⇒ ≥ ∀ ∈y′ x D

0 0

 Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên (0;+∞)

Hàm số nghịch biến trên (−∞;0)

 Đồ thị:

⇒

Hàm số đồng biến trên D

 Bảng biến thiên

 Đồ thị:

\

α∈¢ ¥

2 ,k k \

 Tập xác định: D=¡ \{ }0

 Sự biến thiên:



2n 2 2 1n

y x= ⇒ =y′ n x −

 Giới hạn:

lim 0 0

là TCN

 Tập xác định: D=¡ \{ }0

 Sự biến thiên:

 y x= 2k+ 1⇒ =y′ (2k+1 ) x2k ⇒ < ∀ ∈y′ 0 x D

⇒

Hàm số nghịch biến trên D

 Giới hạn:

lim 0 0

là TCN

0

lim

0 lim

x

x

y

x y

+

−

→

→

= +∞



là TCĐ

 Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên (−∞;0)

Hàm số nghịch biến trên (0;+∞)

 Đồ thị:

0 0

lim

0 lim

x x

y

x y

+

−

→

→

= +∞



là TCĐ

 Bảng biến thiên

 Đồ thị:

α ∉¢

Trong giới hạn chương trình ta chỉ khảo sát trên

(0;+∞)

0

 Tập khảo sát: D=(0;+∞)

 Sự biến thiên:



1

y′ =α xα− > ⇒

hàm số đồng biến trên (0;+∞)

0

x

 Tập khảo sát: D=(0; +∞)

 Sự biến thiên:



1 α 0

′ = <

hàm số nghịch biến trên (0; +∞)

 Giới hạn:

Hàm số không có tiệm cận

 Bảng biến thiên

0 lim+ α

x x

TCĐ: x=0

lim α 0

→+∞ = ⇒

x x

TCN: y=0

 Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm A( )1;1

HÀM SỐ LŨY THỪA

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1 Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa

1 Phương pháp giải

Ta tìm điều kiện xác định của hàm số y= f x( )α,

dựa vào số mũ α

của nó như sau:

• Nếu α

là số nguyên dương thì không có điều kiện xác định của f x( )

• Nếu α

là số nguyên âm hoặc bằng 0 thì điều kiện xác định là f x( ) ≠0

• Nếu α

là số không nguyên thì điều kiện xác định là f x( ) >0

2 Bài tập

Bài tập 1 Tìm giá trị thực của tham số m

y = x + m

có tập xác định là ¡

A mọi giá trị m

Chọn C.

y = x + m

có tập xác định là ¡

thì

2

0

Bài tập 2 Tìm tập xác định D

của hàm số

1

x

x

+

−

A D= −[ 2;2 ]

B D= −[ 2;2 \ 1 ] { }

C D= −∞ − ∪( ; 2) (2;+ ∞)

D D= −( 2; 2 \ 1 ) { }

Hướng dẫn giải Chọn B

Hàm số xác định khi và chỉ khi

1 1

x x

x x



Vậy tập xác định của hàm số là D= −[ 2;2 \ 1 ] { }

Bài tập 3 Tìm tập xác định D

của hàm số

y= −x + x − + − −x x

A D= −∞ − ∪( ; 3) (3;+ ∞)

B D=(2;+ ∞)

C D=(3;+ ∞)

D D=¡ \ 3,3,2 {− }

Hướng dẫn giải Chọn C

Hàm số xác định khi và chỉ khi

2

2

2 0

3

3

9 0

3

x x

x x

x

x

>



− >

 ⇔ < − ⇔ >

− >

  >

Vậy tập xác định của hàm số là D=(3;+ ∞)

Bài tập 4 Tìm tập xác định D

y= x − x+ − − x + x+ +x− +x − x+

A D= −∞ ∪( ;1) (4;+ ∞) { }\ 0

B D= −∞ ∪( ;1) (4;+ ∞)

C D=( )1;4

D D=[ ]1;4

Hướng dẫn giải Chọn A

Hàm số xác định khi và chỉ khi

4 0

0

x

x x

x

 <

 − + >

Vậy tập xác định của hàm số là D= −∞ ∪( ;1) (4;+ ∞) { }\ 0

Bài tập 5: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m∈ −( 2018;2018)

y= x − x m− +

cĩ tập xác định là ¡ ?

Hướng dẫn giải Chọn C.

khơng phải là số nguyên nên hàm số xác định với ∀ ∈x ¡

⇔ − − + > ∀ ∈¡

0

0 luôn đúng vì 1 0

′

∆ <



⇔  > = >



1 m 1 0

⇔ − − + >

0

m

⇔ >

Mà

1,2,3, ,2017

m

m m

 ∈ −



∈

 ¢

Vậy cĩ 2017 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu.

Dạng 2: Đồ thị hàm số lũy thừa

Bài tập 1 Cho các hàm số lũy thừa y=x , y=x trên

(0;+¥)

có đồ thị như hình vẽ Mệnh đề nào sau đây

đúng?

A 0< < <b a 1.

B a< < <0 b 1.

C 0< < <b 1 a.

D b< < <0 1 a.

Hướng dẫn giải.

Chọn C.

Từ hình vẽ ta thấy hàm số

• y x

a

=

đồng biến trên ( )

1;+¥

và nằm trên đường thẳng y x= nên a >1.

• y x

b

=

đồng biến trên ( )

1;+¥

và nằm dưới đường thẳng

y x= nên 0< <b 1.

Vậy 0< < <b 1 a.

Bài tập 2 Cho các hàm số lũy thừa y x ,

a

= y=x b,

y=x g

trên

(0;+¥)

có đồ thị như hình vẽ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A g a< <b.

B b g a< < .

C a< <g b.

D g b a< < .

Hướng dẫn giải.

Chọn D.

Từ hình vẽ ta thấy hàm số

• y x

g

=

nghịch biến trên ( )

0;+¥

nên g <0.

• như câu trên ta có 0< < <b 1 a. Vậy g< < < <0 b 1 a.

Bài tập 3 Cho các hàm số lũy thừa y x ,

a

= y=x b,

y=x g

trên ( )

0;+¥

có đồ thị như hình vẽ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A g b a< < <0.

B 0< < < <g b a 1.

C 1< < <g b a.

D 0< < < <a b g 1.

Hướng dẫn giải.

Chọn C.

Dựa vào đồ thị, ta có

• Với 0< <x 1 thì

x a<x b<x g<x ¾¾ ® > > >a b g

• Với x>1 thì

x <x g<x b<x a¾¾ ® < < <g b a

Vậy với mọi x>0, ta có a> > >b g 1.

Nhận xét Ở đây là so sánh với đường

1

y= =x x

Bài tập 4 Cho hàm số

( 1) 14

y= x-

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

B Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x =- 1.

C Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x =0.

D Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x =1.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Bài tập 5 Cho hàm số

1

2

y=x

Cho các khẳng định sau:

i) Hàm số xác định với mọi x.

ii) Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm ( )

1;1

iv) Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng?

A 1. B 2. C 3. D 4.

Hướng dẫn giải.

Chọn B.

Ta có khẳng định ii) và iv) là đúng

i) sai vì hàm số đã cho xác định khi x>0.

iii) sai vì hàm số nghịch biến trên

(0; +¥).