Bài 1 lũy THỪA – hàm số lũy THỪA

HÀM SỐ LŨY THỪA.. Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n là một số nguyên dương, a là một số thực tùy ý.. Ta thừa nhận hai khẳng định sau:  Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ cĩ một căn bậc n..

CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

BÀI 1 LŨY THỪA

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I Khái niệm lũy thừa

1 Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương, a là một số thực tùy ý Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa

số a

1 thừa số ;

n

n a

a =a a a a1442443 =a

Trong biểu thức a n, a được gọi là cơ số, số nguyên n là số mũ

Với a¹ 0, n=0 hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc n của số a là số a n xác định bởi:

0 1; n 1

n

a

Chú ý:

 Kí hiệu 0 , 0 0 n

( n nguyên âm) khơng cĩ nghĩa

 Với a¹ 0 và n nguyên, ta cĩ n 1

n a

a

-=

2 Phương trình n

x b

a) Trường hợp nlẻ: Với mọi số thực b, phương trình cĩ nghiệm duy nhất

b) Trường hợp n chẵn

 Với b  , phương trình vơ nghiệm0

 Với b  , phương trình cĩ một nghiệm 0 x 0

 Với b  , phương trình cĩ hai nghiệm đối nhau0

3 Căn bậc n

a)Khái niệm: Với n nguyên dương, căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho b n=a

Ta thừa nhận hai khẳng định sau:

 Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ cĩ một căn bậc n Căn đĩ được kí hiệu là n a

 Khi n là số chẵn, mỗi số thực dương a cĩ đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau là n a ( cịn gọi là căn bậc số học của a) và - n a

b) Tính chất căn bậc n: Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta cĩ:

.

n ab=n a b n ; n n ( 0)

n

a a b

b= b > ; ( )p( 0)

n a p= n a a> ; m n a=mn a

Nếu p q n p m q ( 0)

thì a a a

n =m = > ; Đặc biệt n a=mn a m

 

,

,

a

a n chan







4 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a dương và r là một số hữu tỉ Giả sử r m

n

= , trong đĩ m là một số nguyên, cịn n là một số nguyên dương Khi đĩ, lũy thừa của a với số mũ r là số a r xác định bởi a r=a m n =n a m

4 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: ( SGK)

II TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

Cho a b, là những số dương;  ,  

a a  a  

b



 









Nếu a  thì a1  a

Nếu a  thì a1  a

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Các phép toán biến đổi lũy thừa

1 Phương pháp:

Ta cần nắm các công thức biến đổi lũy thừa sau:

 Với a 0;b 0   và    , ta có



 

 

.

a a a ; a ; (a ) a ; (ab) a b ;

b

 Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có:



nab n na b;  

n n n

a a (b 0)

p

n p a n a (a 0); m na mna

 n p  m q 

p q

Neáu thì a a (a 0)

n m ; Đặc biệt namn ma

Công thức đặc biệt

 

x

x

a

f x



 thì f x  f1 x 1

Thật vậy, ta có:

1 

x

x x

a

a a

a





1  x a



Nên: f x  f1 x 1

2 Bài tập

Bài tập 1 Viết biểu thức 3

0,75

2 4

16 về dạng lũy thừa 2

m ta được m ?

A 13

6

6



Hướng dẫn giải Chọn A

 

5 13

6 2

6 3

4 4

2 4 2 2 2

2

2



Bài tập 2 Chox 0;y 0 Viết biểu thức x45.6 x x5 về dạngx m và biểu thức

4 5 6

5:

y y y về

dạngyn Ta có m n ?

A 11

6

5



Hướng dẫn giải Chọn B

5 6

60

5 6

60

y y y y y y y  n

11 6

m n

Bài tập 3 Biết 4x 4 x 23

  tính giá trị của biểu thức P 2x 2 x:

Hướng dẫn giải Chọn A

Do 2 2x x 0, x

Nên 2x 2 x 2x 2 x2 2 2x 2 2  2x 4x 4 x 2 23 2 5

Bài tập 4 Biểu thức thu gọn của biểu thức 1 1  1 

1

a

có

dạng P m

a n

 Khi đó biểu thức liên hệ giữa m và n là:

A m3n1 B m n 2 C m n 0 D 2m n 5

Hướng dẫn giải Chọn D

     

P

Do đó m 2;n 1

Bài tập 5 Cho số thực dương x Biểu thức

x x x x x x x x được viết dưới dạng lũy

thừa với số mũ hữu tỉ có dạng x a b, với a

b là phân số tối giản Khi đó, biểu thức liên hệ giữa

a và b là:

A a b 509 B a2b767 C 2a b 709 D 3a b 510.

Hướng dẫn giải Chọn B

x x x x x x x x  x x x x x x x x 12

3 2

x x x x x x x



 3 21 2

x x x x x x x



7 4

x x x x x x



7 8

x x x x x x

15 8

x x x x x



15 16

x x x x x

31 16

x x x x



31 32

x x xx



63 32

x x x



63 64

x x x

127 64

x x



127 128

x x



255 128

x x

255 128

x



255 256

x

 Do đó a 255,b 256

256 2

x x x x x x x x x x



Bài tập 6 Cho a 0; b 0 Viết biểu thức a a23 về dạng a m và biểu thức

2

3:

b b về dạng b n Ta

có m n ?

A 1

2

Hướng dẫn giải Chọn C

.

6

6

1

m n

Bài tập 7 Viết biểu thức 2 24

8 về dạng2x và biểu thức 2 83

4 về dạng2

y Ta có x2  y2  ?

A 2017

576

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:

3 4 8

2

8

8  2   x ;

3 11 2 6 2 3

3

2

6

2 2 53

24

x y 

Bài tập 8 Cho a 1 2 x

  , b  1 2x Biểu thức biểu diễn b theo a là:

1

a a



a



1

a a



1

a

a 

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có: a  1 2 x 1,   x nên 2 1

1

x

a





Do đó: 1 1

a b

Bài tập 9 Cho các số thực dương a và b Biểu thức thu gọn của biểu thức

P a  b  a  b  a  b có dạng làPxayb Tính xy?

A xy 97 B xy 65 C x y 56 D y x 97

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:

P a  b  a  b  a  b  a  b  a  b

4a 9b 4a 9b

       1 2 1 2

4a 9b 16a 81b

Do đó: x 16,y 81

Bài tập 10 Cho các số thực dương phân biệt a và b Biểu thức thu gọn của biểu thức

4

P

  có dạng P m a n b  4  4 Khi đó biểu thức liên hệ giữa m và

n là:

A 2m n 3 B m n 2 C m n 0 D m3n1

Hướng dẫn giải Chọn A

P

4 4  4 4  4 4 4 

2

4 a 4b 24 a 4b 4 a

Do đó m 1;n 1

Bài tập 11: Cho   2018

2018 2018

x x

f x 

 Tính giá trị biểu thức sau đây ta được

S f   f   f  

Hướng dẫn giải Chọn C

2018x 2018

f  x   f x  f  x 



Suy ra 1 2 2018 1 2018

S f  f   f  f f 

Bài tập 12: Cho 9x 9x 23

  Tính giá trị của biểu thức 5 3 3

1 3 3

P   

  ta được

A.2 B 3

2



Hướng dẫn giải Chọn D

3 3 5 loại







Từ đĩ, thế vào  

1 3 3

P







Dạng 2: So sánh, đẳng thức và bất đẳng thức đơn giản

1 Phương pháp

Ta cần lưu ý các tính chất sau

Cho    , Khi đĩ

 a > 1 : aa    ;

 0 < a < 1 : aa    

Với 0 < a < b, m ta cĩ:

 Với a b , n là số tự nhiên lẻ thì a n b n

 Với a,b là những số dương, n là một số nguyên dương khác khơng a n  b n  a b 

Chú ý: Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì nanb

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì nanb

2 Bài tập

Bài tập 1 Với giá trị nào của a thì đẳng thức 3 4 24 5

1

1

2

a a a



Hướng dẫn giải.

Chọn B

Ta có

1

24 5

1

1

1

2 1

2















Bài tập 2 Cho số thực a 0 Với giá trị nào của x thì đẳng thức 1  1

2

a a  đúng?

a



Hướng dẫn giải Chọn B

2

x

a



a x 12 0 a x 1 x 0

Bài tập 3 Tìm tất cả các giá trị của a thỏa mãn 15a7 5 a2

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có 15a7  5a2  a157 a25  a157 a156   a 1.

Bài tập 4 Tìm tất cả các giá trị của a thỏa mãn a 123 a 113

A a 2 B a 1 C 1a2 D 0a1

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có 2 1

   , kết hợp với    

   Suy ra hàm số đặc trưng ya1x

đồng biến    cơ số a1 1  a2

Bài tập 5 Nếu a12 a16và b 2  b 3 Tìm mối các điều kiện của đáp án a và b

A a 1; 0 b 1 B a 1;b 1

C 0 a 1;b 1 D a 1; 0 b 1

Hướng dẫn giải Chọn D

Vì

1 1 6 2















và

0 b 1









Bài tập 6 Kết luận nào đúng về số thực a nếu (a 1)23 (a 1)13

Hướng dẫn giải Chọn A

Do 2 1

   và số mũ không nguyên nên ( a  1)23  ( a  1)13 khi a1 1  a2

Bài tập 7 Kết luận nào đúng về số thực a nếu (2 a 1) 3 (2 a 1) 1

A

1

0 2

1

a a



  





 



2 a

1

a a

 



  

 D a  1

Hướng dẫn giải Chọn A

1

2

1

a

a







Bài tập 8 Kết luận nào đúng về số thực a nếu 1 0,2 2

a a



 



 

 

Hướng dẫn giải Chọn C

0,2

1

a



 

 

 

Do 0, 2 2  và có số mũ không nguyên nên a0,2 a2khi a 1