22 HSG h 20 CHUONG MY v2

Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại I... b Kẻ đường thẳng vuông góc với AI tại A cắt đường thẳng BC tại K.. Chứng minhAB là tia phân giác của góc KAH.. c Chứng minh: AD BD AE E

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯƠNG MỸ VÒNG 2 - NĂM 2020 Câu 1: (3,0 điểm)

1 Chứng minh rằng: 2019201920212020M2020

2 Tìm các số tự nhiên n để n24 và n là số chính phương.65

H

Tìm x y, nguyên để H 20.

Câu 3: (3,0 điểm)

1 Cho các số a b c x y z, , , , , dương thỏa mãn:

1

y

a  b  c 

và

0

x  y  z 

Tính giá trị của biểu thức 2019

x y z M

a b c

   

2 Giải phương trình: 2x216x 6 4 x x 8 .

Câu 4: (4,0 điểm)

1 Tìm a b, để f x  x42x3 x2 x a   4 b 2 viết thành bình phương của một đa thức

2 Cho a b, là các số dương thỏa mãn 1a 1 b 4,5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q a4 1 b4 1

3 Cho a b c, , dương sao cho 1

a b c

b c a  

a  b  c 

Câu 5: (7,0 điểm)

1 Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC , đường cao AH (H thuộc BC ) Kẻ

,

HD HE lần lượt vuông góc với AB AC, (D thuộc AB, E thuộc AC ) Đường thẳng

qua A vuông góc với DE cắt BC tại I

I

b) Kẻ đường thẳng vuông góc với AI tại A cắt đường thẳng BC tại K Chứng minh

AB là tia phân giác của góc KAH

c) Chứng minh: AD BD AE EC.  . AI2.

2 Cho tam giác ABC , kẻ các đường phân giác trong AD BE CF, , của tam giác ABC

a) Chứng minh AB BD BD DC.  .  AD2.

b) Chứng minh:

AB ACBC  ADBE CF

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯƠNG MỸ VÒNG 2

NĂM 2020 Câu 1: (3,0 điểm)

1 Chứng minh rằng: 2019201920212020M2020

2 Tìm các số tự nhiên n để n24 và n là số chính phương.65

Lời giải

1 Ta có: 20192019 1 20212020 1 2019201920212020

Mà 20192019 1 2019 1 2019   20182019201720192016 K 1

(1)

2021  1 2021 1 2021 2021 2021  K 1

(2) Cộng vế (1) và (2) ta được:

2020 2019 2019 2019   K 1 2021 2021 2021  K 1 M2020

2 Đặt

2

2

24 65







Với k h, 0 ta có: k h k h     89 1.89 89.1 

+) TH1:

Khi k45 n 24 45 2  n 2001

+) TH2:

     

Vậy với n2001 thì n24 và n là số chính phương.65

H

Tìm x y, nguyên để H 20.

Lời giải

ĐKXĐ: x y, 1; ,x y0.

Ta có: x y xy y  x y y x y  x y1 y

x xy x y  x x y  x y  x y x

x  xy y  x  y x  x  y

Khi đó

H



x x x y y y xy x xy y H



H



x y x xy y xy H

y x



H



H



H

1

H

y





H  x  y  y  x xy y

Ta có H 20 x xy y 20 x y 1  y 1 19

 y 1 x 1 19 19.1 1.19   1 19  19 1  

TH1:

400

1 19

x x

    



TH2:

4

1 1

x x

    



TH3:

1 1

1 19

y x

   



  

TH4:

1 19

1 1

y x

   



  

Vậy với x400;y0 hoặc x4,y324 thì H 20.

Câu 3: (3,0 điểm)

1 Cho các số a b c x y z, , , , , dương thỏa mãn:

1

y

a  b  c 

và

0

x  y  z 

Tính giá trị của biểu thức 2019

x y z M

a b c

   

2 Giải phương trình: 2x216x 6 4 x x 8

Lời giải

1 Từ

a b c

a  b  c      ab  bc  ac 

2 ayz bxz cxy 1

x y z

(1)

Mà

0 ayz bxz cxy 0

0

ayz bxz cxy

Từ (1) và (2) suy ra 1

x y z

a  b c

Do đó 2019 1 2019 2020

x y z M

a b c

 

2

2x 16x 6 4 x x8

(1) Đặt t x x 8 t0 2 2

8

(1)

3

t

t

 



         

Ta thấy t  không thỏa mãn đk.1

Với

9

x

x





        (tmđk) Vậy tập nghiệm của phương trình là S  1; 9 .

Câu 4: (4,0 điểm)

1 Tìm a b, để f x  x42x3 x2 x a   4 b 2 viết thành bình phương của một đa thức

2 Cho a b, là các số dương thỏa mãn 1a 1 b 4,5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q a4 1 b4 1

3 Cho a b c, , dương sao cho 1

a b c

b c a  

a  b  c 

Lời giải

1 Biến đổi

f x x   x x  x x  ax x b 

 2 2    

Để f x 

trở thành bình phương của một đa thức thì

     

Vậy với a2,b 1 thì f x 

trở thành bình phương của một đa thức

2 Ta có: 1a 1 b 4,5  a b ab   72

Ta xét 4 số thực a b x y, , , ta có bất đẳng thức sau:

 2    

a b  x y a   b x y  a b x y

Áp dụng vào bài toán ta có:

Q a   b   a b  

     

2

3 2 2 2

   

3 2 2

3 2 2

a b

(3) Cộng (1), (2) và (3) lại ta được:

2

  

11 6 2 3 2 2

Hay a2  b2 11 6 2

(Cách khác: 9 1  1  1 1 2 2 3 3 2 2

2

)

Do đó  2

11 6 2 4 87 12 2

Dấu “=” xảy ra

3 2 2 2

  

Vậy MinQ 87 12 2 khi a b  3 2 22

Câu 5: (7,0 điểm)

1 Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC , đường cao AH (H thuộc BC ) Kẻ

,

HD HE lần lượt vuông góc với AB AC, (D thuộc AB, E thuộc AC ) Đường thẳng

qua A vuông góc với DE cắt BC tại I

a) Chứng minh: I là trung điểm của BC

b) Kẻ đường thẳng vuông góc với AI tại A cắt đường thẳng BC tại K Chứng minh

AB là tia phân giác của góc KAH

c) Chứng minh: AD BD AE EC.  . AI2.

2 Cho tam giác ABC , kẻ các đường phân giác trong AD BE CF, , của tam giác ABC

a) Chứng minh AB BD BD DC.  .  AD2.

b) Chứng minh:

AB ACBC  ADBE CF

Lời giải

1

a) Gọi giao điểm của DE với AH, AI lần lượt tại J G;

Tứ giác ADHE là hình chữ nhật HAE· JAE· ?

Mà µ ·

A HAE  (hai góc phụ nhau)

µ ·

A JEA   ( AGE vuông)

Do đó µ µ

A A

Vì µ µ

1

A  (cùng phụ ·HAC ) µ µ C A3   C AIC cân tại I AI IC Tương tự: AIBI

Vậy IB IC IA.

b) Ta có AIB cân tại I ·IBA IAB ·

mà

¶ ·

µ ·

4

1

90 90

A IAB





 và HAC IBA· · (cùng phụ µA )1

Do đó: µ ¶

A  A AB

 là phân giác của ·HAK

c) Ta có:

2

2

AD DB HD

AD DB AE EC HD HE DE AH

AE EC HE



Xét AHI vuông tại H, ta có AH2 AI2

Do đó AD DB AE EC.  . AI2.

2

a) Lấy K thuộc tia đối của tia DA sao cho ·AKB ACB·

AKB

AD AC

AB AC AD AK

AB AK

Vì DAC ∽ DBK (g.g) . .

DC AC AD

DC BD DK AD

DK BK BD

(2) Trừ (1), (2) suy ra AB AC DC BD AD AK KD      AD AD AD  2

b) Kẻ BM AD , cắt đường thẳng AC tại // M

ABM

  cân tại A  AM  AB

Theo BĐT tam giác: MB AM ABMB2AB

Do AD BM //

BM CM AC AM AC AB

  (do CM AC AM AM ;  AB)

BM AC AB



AC AB

Tương tự:

2

2

Cộng vế với vế, ta được:

ADBE CF  ABBC  AC