Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất.. M là điểm di động trên đoạn thẳng AB, kẻ CM ^AB tại M C thuộc nửa đường tròn tâm O.. b Chứng minh trong 8 số tự nhiê
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯ SÊ - NĂM HỌC 2019 – 2020
Câu 1: (6,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức:
4 5 3 5 48 10 7 4 3
b) Giải phương trình:
2
3
- +
Câu 2: (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( )d
có phương trình (m- 4)x+(m- 3)y=1
(m
là tham số) Tìm m
để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( )d
là lớn nhất
Câu 3: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC sao cho
BPC = °
Chứng minh rằng:
2PB +PC =PA
Câu 4: (5,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB =2R
M là điểm di động trên đoạn thẳng AB, kẻ CM ^AB tại M (C thuộc nửa đường tròn tâm O) Gọi D và E
là hình chiếu vuông góc của M trên CA và CB Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của
AM
và MB Xác định vị trí của điểm M để diện tích của tứ giác DEQP đạt giá trị lớn nhất
Câu 5: (3,0 điểm)
a) Giả sử x y z, , là các số thực thỏa mãn điều kiện: x+ + +y z xy+yz+zx=6
Chứng minh rằng:
x +y +z ³
b) Chứng minh trong 8 số tự nhiên có 3 chữ số bao giờ cũng chọn hai số mà khi viết liền nhau ta được một số có 6 chữ số chia hết cho 7
HẾT
Trang 2-LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯ SÊ - NĂM HỌC 2019 – 2020
Câu 1: (6,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức:
4 5 3 5 48 10 7 4 3
b) Giải phương trình:
2
3
- +
Lời giải
a)
4 5 3 5 48 10 7 4 3 4 5 3 5 48 10 2 3
28 10
-4 25 9 3
b) Điều kiện: x > - 1
1
x x
+ +
+
Đặt
1
x x
x
- +
+
Phương trình trở thành:
1
6t 5
t
- =
( ) ( )
6
t t
é = ê ê
-ê = ê
Với
( ) ( )
2
é =
Vậy phương trình có hai nghiệm x=0;x=2
Câu 2: (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy
, cho đường thẳng ( )d
có phương trình (m- 4)x+(m- 3)y=1
(m
là tham số) Tìm m
để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( )d
là lớn nhất
Lời giải
Với mọi giá trị của m
thì đường thẳng ( )d
không đi qua gốc tọa độ
Trang 3 Với m =4, ta có đường thẳng
( )d y =: 1
Do đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( )d
bằng 1
Với m =3, ta có đường thẳng x = - 1 Do đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường
thẳng ( )d
bằng 1
thì đường thẳng ( )d
cắt trục Oy Ox;
lần lượt tại
1 0;
3
A m
æ ö÷
ç
và
1 ;0 4
m
æ ö÷
ç
, suy ra
- Kẻ đường cao
OH ^AB H Î AB
Ta có
2 2
= çç - + ÷÷+ ³
Từ (1), (2) và (3) suy ra khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( )d
lớn nhất bằng
2 khi
7 2
m =
Câu 3: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC sao cho
BPC = °
Chứng minh rằng:
2PB +PC =PA
Lời giải
Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB không
chứa điểm P , vẽ điểm P' sao cho DPBP ' vuông cân tại
B
Khi đó
Xét DAP B' và DCPB có
(giả thiết);
Trang 4· ' ·
ABP =CBP
(cùng phụ với ·ABP
;
(theo cách vẽ)
Suy ra DAP B' = CPBD (cạnh – góc – cạnh)
· ' ·
AP B CPB
Mà
· · ' 180 · ' · ' 180
CPB +BPP = ° Þ AP B +BPP = °
· ' · ' · ' 180 · ' 90
Do đó DAP P' vuông tại P' Theo định lý Py-ta-go, ta có
AP =AP +P P =PC + BP +BP =PC + BP
(do AP B CPB
¢ =
) Vậy
AP =PC + BP
Câu 4: (5,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB =2R
M là điểm di động trên đoạn thẳng AB, kẻ CM ^AB tại M (C thuộc nửa đường tròn tâm O) Gọi D và E
là hình chiếu vuông góc của M trên CA và CB Gọi P và Q
lần lượt là trung điểm của
AM
và MB Xác định vị trí của điểm M để diện tích của tứ giác DEQP
đạt giá trị lớn nhất
Lời giải
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính
AB
nên vuông tại C Từ đó tứ giác MDCE là hình chữ nhật DE =CM Do đó
1 2
SD = S
Tam giác ADM có DP là trung tuyến nên
1 2
SD = SD
(2)
Tương tự, EQ
là trung tuyến của DMEB nên
1 2
SD = SD
Từ (1), (2) và (3) ta có
Trang 5( )
S =SD +SD +SD = S +SD +SD = SD
Mà
2
ABC
SD = CM AB× £ CO AB× = × × =R R R
(khổng đổi)
Suy ra
2
1 2
PDEQ
Dấu “ = ” xảy ra khi M º O
Vậy PDEQ
S
lớn nhất bằng
2
1
2R khi M º O
Câu 5: (3,0 điểm)
a) Giả sử x y z, , là các số thực thỏa mãn điều kiện: x+ + +y z xy+yz+zx=6
Chứng minh rằng:
x +y +z ³
b) Chứng minh trong 8 số tự nhiên có 3 chữ số bao giờ cũng chọn hai số mà khi viết liền nhau ta được một số có 6 chữ số chia hết cho 7
Lời giải
a) Ta có
2 1 2 ; 2 1 2 ; 2 1 2
x + ³ x y + ³ y z + ³ z
và 2(x2+y2+z2) ³ 2(xy yz+ +zx)
Cộng vế theo vế 4 bất đẳng thức trên, ta được
3 x +y +z + ³3 2 x y+ + +z xy yz+ +zx
Theo đề bài, ta có x+ + +y z xy+yz+zx=6 nên
3 x +y +z + ³3 2.6Û x +y +z ³ 3
(điều phải chứng minh) b) Lấy 8 số chia cho 7, ta nhận được 8 số dư nhận được 7 trong 7 số sau: 0; 1; 2; 3; 4; 5;
6 Theo nguyên lý Di-rich-le thì có ít nhất 2 số có cùng số dư
Giả sử hai số abc
và def
là hai số khi chia cho 7 có cùng số dư là r
Suy ra 7
abc= k+r
và def =7m r+
Khi đó
abcdef = abc def+ = k r+ + m r+ = k m+ + rM
Vậy ta có điều phải chứng minh