18 HSG h 20 CAM THUY v2

M Biết đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ dương, cắt trục tung tại điểm B có tung độ dương.. 6,0 điểm Cho đường tròn O, r nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với

ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN CẨM THỦY (THANH HÓA) – V2

NĂM HỌC 2019-2020

Câu 1 (4,0 điểm)

1) Cho biểu thức:

2 2 :

1 1

        

P

x x x x

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

2) Với a, b, c là 3 số thực đôi một phân biệt Chứng minh rằng:

                   

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình: 3x 1 6 x 3x214x 8 0.

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x42x2 y3.

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì

2



 p

p

không là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

b) Cho hàm số bậc nhất y ax b  có đồ thị là đường thẳng đi qua

 1;4

M Biết đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm A có hoành

độ dương, cắt trục tung tại điểm B có tung độ dương Tìm a, b sao cho



Câu 4 (6,0 điểm) Cho đường tròn (O, r) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc

với cạnh BC tại D Vẽ đường kính DN của (O, r) Tiếp tuyến của (O) tại N cắt AB, AC theo thứ tự tại P và K.

a) Chứng minh rằng NK CD r.  2.

b) Gọi E là giao điểm của AN và BC Chứng minh rằng BD CE .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

  

OA OB OC r

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho

, , 0

1





 



a b c abc Chứng minh rằng:

3

a b b c c a S

HếtHƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 9 – NĂM HỌC 2019

-2020 (HUYỆN CẨM THỦY)

Câu 1 (4,0 điểm)

1) Cho biểu thức:

2 2 :

1 1

        

P

x x x x

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

2) Với a, b, c là 3 số thực đôi một phân biệt Chứng minh rằng:

                   

Hướng dẫn giải:

1) ĐKXĐ:

0 1





 



x x

a) Có:

2 2

1

           

P

1 2





x x

b) Có:



 

Co Si

0 ( )

    

             

Vậy P Min   4 x 4.

2) Đặt:





        



 1  1  1  2  2  2 9 3  3 

 x y z  x y z   xy yz zx   x y z 

3

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình: 3x 1 6 x 3x214x  8 0

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x42x2 y3.

Hướng dẫn giải:

a) 3x 1 6 x 3x214x 8 0 1 

ĐK:

1

6 3

  x

Ta có:  1   3x    1 4 1 6 x3x2  14x  9 0

     

1 6

3 1 16

3 1 5 0

3 1 4 1 6

 

 

   

x x

3 1 5 0

3 1 4 1 6

   

3 1 4 1 6

   

 5 0

  x Vì:

3 1 0

3 1 4 1 6    

1

6 3

  x

  5

 x TM Vậy phương trình có nghiệm là: x5.

b) Có: x42x2 y3  1 x x2 2 2 y3

Với y  0 x 0Do x: 2 2 2

           

     

y

Vậy x y;    0;0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì

2



 p

p

không là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

b) Cho hàm số bậc nhất y ax b  có đồ thị là đường thẳng đi qua

 1;4

M Biết đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm A có hoành

độ dương, cắt trục tung tại điểm B có tung độ dương Tìm a, b sao cho



Hướng dẫn giải:

a) Với

   p   

(không phải tích 2 số tự nhiên liên tiếp) Với

   p    

(không phải tích 2 số tự nhiên liên tiếp)

3

3 2

 



   p k ¥

p k

    p    k     k k k k

18 15 2

 

(không phải tích 2 số tự nhiên liên tiếp)

    p    k     k

2

 k k k  k k   k    k k  k 

(không phải tích 2 số tự nhiên liên tiếp)

Vậy với mọi số nguyên tố

2



  p

không phải là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp

b) Vì đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ dương, cắt trục tung tại điểm B có tung độ dương  a 0 1 

Do đồ thị là đường thẳng đi qua M 1; 4     a b 4 b 0 2  Do a: 0



Vì:   b       1 0 1 ( : 0)

a

Với a       1 b 5 y x 5

Vậy a   1 b 5 thì OA OB đạt giá trị nhỏ nhất là: 5 + 5 = 10.

Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O, r) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc

với cạnh BC tại D Vẽ đường kính DN của (O, r) Tiếp tuyến của (O) tại N cắt AB, AC theo thứ tự tại P và K.

a) Chứng minh rằng NK CD r  2.

b) Gọi E là giao điểm của AN và BC Chứng minh rằng BD CE .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

  

OA OB OC r

Hướng dẫn giải:

a) Có: PK//BC (cùng  DN)

 AKN ACB (đồng vị)

Gọi Kx là tia phân giác của

·



AKN Kx // CO (Vì CO là tia phân giác của

·

Mà: Kx KO (tia phân giác trong và phân giác ngoài)

· · ·

CO KO  C C O (cùng phụ với

·

1

K )

DO DC

.

b) Cách 1:

Ta có:

  2

B tan

Mà:

· · ·

 

2

C C O cmt NK r tan

Tương tự:

· · ·

 

2

2

B tan

B NP

B B O NP r tan

C

NK tan



Mặt khác: KP // BC NK  KP  4

Cách 2:

Ta có: NK CD NP BD r cmt.  .  2( )

EC BE (Vì: KP// BC)

EC CD BE BD EC EC ED  BD ED BD EC EC ED BD ED BD

EC BD EC ED ED BD   EC BD EC BD ED  

0

c)

Gọi S OAC S S1; OBC S S2; OAB S3

Ta có: OA OB OC   OA'  OB'  OC'

Mà:

1

'



S OA

Tương tự:

;

S S S S 

6

             

OA OB OC

Dấu “=” xảy ra S1S2 S3 hay  ABC đều

Vậy     6

OA OB OC

ABC

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho

, , 0

1





 



a b c abc Chứng minh rằng:

3

a b b c c a S

Hướng dẫn giải:

Ta có:

a b b c c a

3



Co si

3 1 1 1 3 3

       

Co si

abc

Dấu “=” xảy ra    a b c 1.