4 Chứng minh rằng: Hcách đều ba cạnh của ∆DEF... Tìm số a b, trong sơ đồ sau: b Lời giải Quy luật: Tổng hai số hàng dưới chia 2 rồi trừ 2 được số ở hàng trên giữa hai số đó... 1 Chứng mi
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN CHƯƠNG MỸ - NĂM HỌC 2019 – 2020
Câu 1: (1,25 điểm) Tìm số a b, trong sơ đồ sau:
b
Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức
4
x A
x
−
1) Tìm x để A<1
19 8 3 19 8 3 1 2
, hãy tính giá trị của
( )
3 : 2 2
x
x
+
=
−
3) Tìm giá trị của x nguyên để biểu thức
3 :
2
x
x
−
=
− nhận giá trị nguyên?
4) Tìm x để A.( x− +2) 5 x = + +x 4 x+16+ 9−x
Câu 3: (3,25 điểm).
1) Tìm mđể phương trình:
1
x m x
vô nghiệm
2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y x= + 2 1( −x)
với 0≤ ≤x 1
3) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x+ +y xy =
Câu 4: (3,5 điểm)
1) Cho x− 2 1=
, hãy tính giá trị của
D x= − −x x − x + x+
2) Tìm a b, để P x( ) =3x3+ax2+ +bx 9
chia hết cho Q x( ) = −x2 9
3) Cho a b c, , là ba số thực bất kỳ Chứng minh đẳng thức:
2
a + +b c a b c+ +
≥ ÷
ABC
Trang 22) Gỉa sử
· 45o
BAC=
, hãy tính diện tích tứ giác BCEF, biết diện tích ∆ABC
là
2
60cm
3) Chứng minh rằng:
=
4) Chứng minh rằng: Hcách đều ba cạnh của ∆DEF
5) Chứng minh rằng:
3
BC + AC + AB ≥
Trang 3LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BÌNH GIANG - NĂM 2019
Câu 1: (1,25 điểm) Tìm số a b, trong sơ đồ sau:
b
Lời giải
Quy luật: Tổng hai số hàng dưới chia 2 rồi trừ 2 được số ở hàng trên giữa hai số đó Theo quy luật đó thì a b= =5
Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức
4
x A
x
−
1) Tìm x để A<1
19 8 3 19 8 3 1 2
, hãy tính giá trị của
( )
3 : 2 2
x
x
+
=
−
3) Tìm giá trị của x nguyên để biểu thức
3 :
2
x
x
−
=
− nhận giá trị nguyên?
4) Tìm x để A.( x− +2) 5 x = + +x 4 x+16+ 9−x
Lời giải
1) Rút gọn:
4
x A
x
−
điều kiện:
4; 0
x≠ x≥
( 22)( 22)
A
=
A
+
=
( 2)
x A
x
=
−
Do A<1
1 2
x x
⇒ <
−
Trang 41 0 2
x x
⇔ − <
− 2 0 2
x
⇔ <
−
⇒ − < ⇔ <
Kết hợp điều kiện x≠4;x≥0
ta có: 0≤ <x 4
2) Ta có:
1
4 3 4 3 1 3 2
x
x
−
Thay x=9,A=3
vào biểu thức
( )
3 : 2 2
x
x
+
=
−
ta được ( )
: 2.3
3) Ta có:
P A
Để P nguyên thì
3
3 3; 1;1;3
3 x∈ ⇒ −Z x∈ − −
−
Ta có bảng sau:
Do x≠4
nên x∈{0;16;36}
4) Thay ( 2)
x A
x
=
−
vào biểu thức A.( x− +2) 5 x = + +x 4 x+16+ 9−x
ta được:
2
x
−
Trang 56 4 16 9
⇔ − + − = + + −
( )2
Với x≠4;x≥0
, ta có:
( )2
VT = − x− ≤
, dấu “=” xảy ra ⇔ x− = ⇔ =3 0 x 9
VP= x+ + − ≥x x+ + − =x
, dấu “=” xảy ra ⇔ =x 9
Do VT ≤5;VP≥ ⇒5 VT VP= ⇔ =x 9
Câu 3: (3,25 điểm).
1) Tìm mđể phương trình:
1
x m x
vô nghiệm
2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: y x= + 2 1( −x)
với 0≤ ≤x 1
3) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x+ +y xy =
Lời giải
1) Điều kiện: x m x≠ ; ≠1
Ta có:
1
x m x
(x 2) (x 1) (x m x) ( 1)
2
+ Nếu m=0
, ta có phương trình: 0x=2
, phương trình vô nghiệm
+ Nếu
2
m
−
≠ ⇒ =
Để phương trình vô nghiệm thì x m=
hoặc x=1 + Khi
( ) ( )
2
2
m
m
−
2−m
Trang 6Vậy m−1;m= −2
thì phương trình đã cho vô nghiệm
2) Đặt 1 x t− =
với 0≤ <t 1
suy ra
2
1
x= −t
, thay vào y x= + 2 1( −x)
ta được:
2
2 2 2
y= − +t t = − −t + ≤
GTLL của
y
là
3 2
y=
khi
2 2
t= ⇒ =x
3) Ta có:
(x 6) (y 6) 37
Ta có bảng sau:
6
6
Câu 4: (3,5 điểm)
1) Cho x− 2 1=
, hãy tính giá trị của
D x= − −x x − x + x+
2) Tìm a b, để P x( ) =3x3+ax2+ +bx 9
chia hết cho Q x( ) = −x2 9
3) Cho
, ,
a b c
là ba số thực bất kỳ Chứng minh đẳng thức:
2
a + +b c a b c+ +
≥ ÷
Lời giải
x− = ⇔ = −x ⇔ x = − ⇔x − x− =
5 2 4 3 4 2 3 2 3 2 6 3 2019
D x= − x − + −x x x − −x x + x+ +
D x x= − x− +x x − x− − x − x− +
2019
D=
Ta có: Q x( ) =x2− = −9 (x 3) (x+3)
Để P x Q x( ) ( )M
thì P( )3 =0;P( )− =3 0
Ta có:
( )3 3.33 32 3 9 9 3 90 0 3 30 0
P = +a +b + = a+ +b = ⇒ a b+ + =
Trang 7( ) ( )3 ( )2 ( )
3 3 3 3 3 9 9 3 72 0 3 24 0
P − = − +a − +b − + = a− −b = ⇒ a b− − −
Xét
Vậy a= −1;b= −27
thì P x Q x( ) ( )M 2)Ta có:
( )2 2
a b c
a + +b c a b c+ + a + +b c + +
3 a b c a b c 2 ab bc ac
2 a b c 2 ab bc ac
( ) (2 ) (2 )2
0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng, kéo theo bất đẳng thức cần chứng minh cũng đúng Dấu “=” xảy ra ⇔ = =a b c
Câu 5: (2,0 điểm) Cho ∆ABC
nhọn Các đường cao AD BE CF, , của ∆ABC
cắt nhau tại H 1) Chứng minh rằng ∆ABC
đồng dạng với ∆AEF
2) Giả sư
· 45o
BAC=
, hãy tính diện tích tứ giác BCEF, biết diện tích ∆ABC
là
2
60cm
3) Chứng minh rằng:
=
4) Chứng minh rằng: Hcách đều ba cạnh của ∆DEF
5) Chứng minh rằng:
3
BC + AC + AB ≥
Lời giải
1) Vẽ hình:
Trang 8Do BE⊥AC CF; ⊥AB
nên ta có
cosA AE AF; A
AB AC
chung
AEF
⇒ ∆
đồng dạng ∆ABC
(c.g.c)
2) ∆EAB
vuông tại A có 45
o
EAB
2 cos cos 45
2
o
AE
A AB
AEF
∆
đồng dạng ∆ABC
theo tỷ số đồng dạng
2 2
AE k AB
30
AEF
AEF ABC ABC
S
S
60 30 30
BCEF ABC AEF
3) Ta có:
AC =AD +DC BC = DB DC+ AB = AD +DB
2
2
2
2
=
2
=
Trang 9( )
2 2
2
DC DC BD
+ +
4) Do ∆AEF
đồng dạng ∆ABC
( câu a)
AFE ACB
Chứng minh tương tự câu a) ta cũng có ∆BDF
đồng dạng ∆BAC
( câu a)
BFD ACB
DFC EFC
FC
⇒
là tia phân giác của ·EFD
Chứng minh tương tự ta cũng có EB là tia phân giác của ·FED
H
⇒
là giao điểm của ba đường phân giác của ∆DEF
H
⇒
cách đều ba cạnh của ∆DEF
5) Ta có: ABC AHC HBC ABH
S =S +S +S HEC
∆
đồng dạng ∆AFC
(g.g)
HBC ABC
S
HC CE HC HB CE HB
AC CF AC AB CF AB S
Tương tự:
;
ACH ABH
S S
AC BC = S AB BC = S
Do đó:
1
BCH ABH ACH ABC
HC HB HA HB HA HC
Với ba số không âm x y z, , ta có:
x + y ≥ xy x + ≥z xz z +y ≥ zy
2
x y z+ + =x +y + +z xy xz yz+ +
3
x y z xy xz yz
Áp dụng bài toán trên ta có:
2